超視距目標跟蹤的卡爾曼濾波算法研究

朱嘉穎，游世勛

哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

日益復雜的電磁作戰環境對雷達系統的探測及跟蹤技術提出了新的要求。特別是在對非線性目標進行無源探測和超視距跟蹤時，由于目標定位數據的高度非線性，跟蹤算法初期的收斂性能會大打折扣。卡爾曼濾波是公認速度快且性能穩定的濾波算法之一，近幾十年來，學者們針對非線性系統對其進行了一系列改進。其中擴展卡爾曼濾波(EKF)、無跡卡爾曼濾波(UKF)和容積卡爾曼濾波(CKF)在許多工程場合得到了成熟運用。這些算法常被用來處理探測得到的非線性量測，以增強雷達目標跟蹤的精度。李炳榮等[1]提出一種采用修正增益的擴展卡爾曼濾波算法，提高了單站目標無源跟蹤的穩定性和跟蹤精度。曲長文[2]和LIU Changyun[3]均對UKF算法進行改進，提高了濾波精度和收斂速度。胡振濤[4]和Liu H[5]通過改進CKF算法提高了目標跟蹤算法性能。文獻LIU Changyun[6]、武勇[7]和BAO Shuida[8]對多種濾波算法進行結合，以提高算法魯棒性。而Chavez-Garcia[9]又提出一種新的多傳感器多目標跟蹤算法。

以上文獻均把研究重點落在了算法性能的改進方面。另一方面，濾波初值的選取是否得當同樣對目標跟蹤效果發揮著重要作用[10]，但少有深入研究。文獻[1]、[2]、[4]、[8]中均未提到目標初始狀態的確定。文獻[3]設定目標狀態初始值為其期望值。文獻[5]在仿真時直接給定初始值且與目標真實初始狀態相同。文獻[7]仿真時設定初始值與實際值有一定偏差。實際上，在工程中目標真實運動狀態是無法直接得到的，均需利用量測來進行估計。

目前，目標跟蹤時大致獲取目標初始位置普遍采用三點法(TPM)，但該方法對探測精度影響十分敏感，特別是在惡劣的電磁環境下對超視距目標進行跟蹤時，易導致量測不可靠(本文定義距離誤差大于0.5 km或角度誤差大于0.1°的量測為不可靠量測)，此時利用TPM估算出的目標運動初始狀態與真實狀態差距很大甚至遠超出目標物理性能限制，從而導致目標跟蹤初期收斂速度變慢且濾波精度較差。這種現狀下，雷達往往放棄精準跟蹤而等待目標靠近，如此便失去了該段時間來對目標進行評估反應。若在超視距目標跟蹤時探測效果不理想的情況下依舊能得到較好的目標跟蹤效果，提高跟蹤算法的前期收斂速度和精度，便可贏得前期這段寶貴時間來對目標進行預先識別和評估。為達到這一目的，本文對現有方法進行改進，提出了一種自適應濾波初值確定方法，即投影修正法(PCM )。

1 傳統卡爾曼濾波算法

傳統卡爾曼濾波的系統方程如下：

X(k+1)=FX(k)+ΓW(k)

Z(k)=ΗX(k)+V(k)

(1)

式(1)為狀態轉移方程和量測方程。式中：k為離散時間，目標在時刻k的狀態為X(k)；W(k)是均值為零、協方差為Q的高斯白噪聲；F為狀態轉移矩陣；Γ為噪聲驅動矩陣。式中：Η為量測矩陣；V(k)為協方差為R的觀測噪聲序列。以下為濾波遞推過程：

1)分別預測目標狀態及噪聲協方差矩陣：

2)卡爾曼濾波增益的求取

3)結合量測值Z(k+1)估計下一時刻的目標狀態向量和噪聲協方差矩陣：

(2)

卡爾曼濾波算法是一種高斯噪聲背景下的最優估計跟蹤算法。但在實際的跟蹤系統中，無論是目標的運動狀態還是量測信息，往往都具有某些非線性特性，這種情況下，線性卡爾曼濾波的作用效果將受到限制，由此非線性的卡爾曼濾波算法應運而生。

2 非線性卡爾曼濾波算法

非線性系統描述為

式中：f(·)是非線性狀態轉移函數；h(·)是非線性觀測函數；W(k)和V(k)都是均值為零的高斯白噪聲，W(k)的協方差為Q，V(k)的協方差為R。

以下簡單介紹3種常用的非線性卡爾曼濾波算法，分別為擴展卡爾曼濾波、無跡卡爾曼濾波和容積卡爾曼濾波算法。

2.1 擴展卡爾曼濾波

EKF的主要思路是充分利用非線性模型的特性，對其進行局部線性化，進而將非線性模型近似為線性模型。

將非線性系統函數展開成Taylor級數如下：

只保留等式右側的線性部分即可得到近似的線性系統模型如式(3)所示。其中F(k)和H(k)分別為f(·)和h(·)在k時刻的雅可比矩陣，n為狀態向量維數。

(3)

變換之后再通過線性卡爾曼濾波完成對目標的濾波估計。

2.2 無跡卡爾曼濾波

UKF仍采用卡爾曼濾波的基本框架，其主要思想是以UT變換為基礎，選取采樣策略來模擬逼近非線性分布。其中UT變換指在確保不改變采樣點原分布均值和協方差的前提下，依照某種策略隨機選取Sigma 點集，并針對各點進行非線性變換，變換后狀態分布的均值和協方差即可通過求取轉換后點集的統計變量來得到。具體變換過程如下：

無跡卡爾曼濾波算法通過對將非線性變換作用于sigma點集，再通過變換后的點集求取變換后的均值和協方差，求得的非線性變換后的均值和協方差至少具有2階精度(Taylor函數展開式)，可明顯降低非線性系統中的濾波誤差。

2.3 容積卡爾曼濾波

CKF是一種濾波精度更高的非線性濾波算法，該算法同無跡卡爾曼濾波一樣，基本思想也是通過采樣的方式來逼近狀態分布，同樣采用經典卡爾曼濾波算法的算法迭代框架。但使其區別于無跡卡爾曼濾波的是對采樣點的選取遵循球面徑向積分原則：

對Pk|k進行cholesky分解得到Sk|k，即

Pk|k=Sk|k(Sk|k)T

本文結合以上3種非線性卡爾曼濾波算法，對初值確定方法進行仿真驗證。

3 初值確定方法

在研究目標跟蹤濾波算法時，現有大多文獻設定目標初始狀態已知，忽略了確定初值的過程，或直接采用三點法粗略估計目標初始狀態。事實上，初值確定的合理性明顯影響著目標跟蹤的收斂速度和跟蹤精度。

3.1 三點法

設通過處理量測信息依次得到目標在跟蹤初期的3組位置信息分別為s0,s1和s2，則目標在前2個時刻的速度和初始加速度分別為：

3.2 投影修正法

無源探測技術的高隱蔽性和遠距離作用范圍使其得到極大重視，但探測精度不高的問題也一直制約其發展，特別是在進行機動目標超視距跟蹤時，探測量測的誤差進一步增大。由式(2)可知，在濾波迭代過程中，若量測擾動過大時，會帶來很大的新息誤差， 導致目標狀態估計誤差明顯增大，濾波前期調整過程更加漫長，無法快速收斂于真實值。經過長時間的迭代處理后，通過不斷調整卡爾曼濾波增益，最終實現目標跟蹤濾波的收斂。

為解決上述問題，本文提出利用投影修正法對TPM粗略估算的目標初始狀態進行自適應修正，使其滿足目標的物理特性，確定更合理的目標初值，從而減小濾波前期的慢收斂/發散現象。

在三維空間建立大地坐標系，如圖1所示，將目標速度‖vmax‖，分別向x-y-z3個坐標軸投影。圖中灰色陰影部分為由于探測所得量測誤差導致的目標速度方向波動范圍，且陰影中速度矢量長度不超過目標運動最大速率。

圖1 速度分解示意

如果三點法估算出的速度矢量超出這一范圍，則需修正。分析圖1中幾何關系，求得目標最大速度‖vmax‖在3個坐標軸上的分量分別為：

vmax,x=‖vmax‖sinθ1cosθ2

vmax,y=‖vmax‖sinθ1sinθ2

vmax,z=‖vmax‖cosθ1

對3個分量值分別求取關于俯仰角θ1和方位角θ2的偏導數，得到如下結果：

在修正速度分量前需先對其有效性進行判定，為防止因量測誤差擾動而造成誤判，本文規定，i方向上的有效(無需修正)的速度分量vi和最大速度分量vmax,i間需滿足如下條件：

‖vi+Δvi(Δθ1,Δθ2)‖≤‖vmax,i‖

則速度分量的判決邊界為

Vi=‖vmax,i‖-max(‖Δvi‖)=

又由于

所以

Vi≈

依次對三點法估計得到的3個初始速度分量進行有效性判決后，修正不可靠分量，這樣不僅充分利用了量測中攜帶的目標運動信息，同時也得到了與先驗知識匹配性更高的速度初值。具體修正方案如式(4)：

(4)

式中vc,i表示速度修正矢量vc的i方向分量，且i∈{x,y,z}。

同理可得到對初始加速度的修正方案：

式中：Ai為加速度在i方向上的判決邊界；ac,i表示加速度修正矢量ac的i方向分量，i∈{x,y,z}。算法實現框圖如圖2所示。

圖2 基于投影修正法的卡爾曼濾波流程圖

投影修正法的實現步驟如下：

1)根據對所測目標的已有先驗知識分析其物理性能，確定目標運動最大速率‖vmax‖和最大加速度‖amax‖；

2)在有效范圍內選取相應修正值；

3)利用三點法粗略估計目標初始運動狀態；

4)判別目標初值有效性，并修正不可靠初值分量；

5)利用修正后的目標初值開始迭代濾波。

并分別設定修正值‖vc‖和‖ac‖。再利用TPM求取目標初始速度和加速度。最后對量測可靠性進行判決，并對不可靠信息進行修正，利用新的初始狀態進行濾波。

4 仿真結果

本文采用Singer模型[11]，跟蹤模擬目標運動軌跡，機動時間設為[12]為60 s，對三維空間中的機動目標進行跟蹤仿真。觀測站位置設置為[150,490,100]T，單位為km，距離量測相對誤差為0.001，角度量測誤差為0.1°。探測采樣周期T=0.5 s，采樣點數N=200。假設目標與觀測站的相對速度不超過2馬赫(1馬赫≈340 m/s)[13]，相對加速度不超過10g(g=9.8 m/s2)，即0≤‖vc‖≤‖vmax‖=680，0≤‖ac‖≤‖amax‖=98。

場景1 假定目標的初始位置在大地坐標系下的坐標為[630 km,778 km,316 km]T，距離觀測臺600 km，目標初始速度矢量為[-100 m/s, 400 m/s, 200 m/s]T，加速度矢量為[5m/s2,-8m/s2,-5m/s2]T，并由此開始做勻加速運動。采用3種非線性卡爾曼濾波算法，并分別結合 PCM、TPM和真實值替代法(true value substituting method，TVSM)3種初值確定方法對目標進行跟蹤，x-y-z3個方向上的跟蹤絕對誤差(AD)隨采樣點數n的變化曲線如圖3所示。

(a)EKF在x方向的跟蹤誤差

(b)EKF在y方向的跟蹤誤差

(c)EKF在z方向的跟蹤誤差

(d)UKF在x方向的跟蹤誤差

(e)UKF在y方向的跟蹤誤差

(f)UKF在z方向的跟蹤誤差

(g)CKF在x方向的跟蹤誤差

(h)CKF在y方向的跟蹤誤差

(i)CKF在z方向的跟蹤誤差圖3 目標與觀測臺相距600 km時跟蹤誤差對比

由圖3可以看到，在量測誤差影響下，當n∈[0,80]時，直接采用TPM確定的初值誤差較大，導致對目標的跟蹤濾波結果嚴重偏離真實位置，在各方向上的跟蹤誤差均明顯超過了PCM和TVSM。而采用PCM對初值進行適當修正后，跟蹤濾波誤差大幅減小，僅略高于真實值法。在n>80時，3種初值確定方法下的卡爾曼濾波均收斂至同一水平。由此可得出結論，PCM和TVSM相較TPM算法能明顯改善目標跟蹤初期的跟蹤精度，在場景1設定的條件下，PCM和TVSM的收斂時間比TPM加快約80個采樣周期。而在工程應用中，往往難以直接得到目標實際初始狀態，所以與TVSM相比，在對機動目標進行超視距跟蹤的現實場景下，PCM算法能夠發揮更有效的作用。

場景2 假定目標的初始位置在大地坐標系下的坐標為[630 km,778 km,316 km]T，距觀測臺600 km，目標初始速度矢量為[100 m/s,400 m/s,100 m/s]T，加速度矢量為[10 m/s2,-10 m/s2,10 m/s2]T，并由此開始做勻加速運動。采用PCM確定初值，并分別結合3種非線性卡爾曼濾波算法對目標進行跟蹤，進行100次Monte-Carlo仿真，求取跟蹤軌跡的相對均方根誤差。在PCM算法中選取不同的修正值時對應的誤差變化趨勢如圖4。

(a)EKF在PRMS

(b)EKF在PRMS50

(c)EKF在PRMS100

(d)UKF的PRMS

(e)UKF的PRMS50

(f)UKF的PRMS100

(g)CKF的PRMS

(h)CKF的PRMS50

(i)CKF的PRMS100圖4 目標與觀測臺相距600 km時的相對誤差對比

場景3 假定場景2中目標初始位置在大地坐標系下的坐標變為[750 km,1 130 km,580 km]T，與觀測臺之間的距離為1 000 km，并由此開始做勻加速運動。在相同條件下進行仿真，結果見圖5。

(a)EKF在PRMS

(b)EKF在PRMS50

(c)EKF在PRMS100

(d)UKF的PRMS

(e)UKF的PRMS50

(f)UKF的PRMS100

(g)CKF的PRMS

(h)CKF的PRMS50

(i)CKF的PRMS100圖5 目標與觀測臺相距1 000 km時的相對誤差對比

圖4、5表現了當選取不同的修正值‖vc‖和‖ac‖時，得到目標跟蹤相對誤差的變化趨勢。PRMS為濾波前200個周期(即n∈[0,200])的相對誤差平均值，同理PRMS50表示n∈[50,200]時求得的PRMS，PRMS100表示n∈[100,200]時求得的PRMS。其中，圖(a)～(c)、圖(d)～(f)和圖(g)～(i)分別為運用EKF、UKF和CKF算法求得的結果。

從圖4和圖5中PRMS的變化趨勢不難看出，當采用PCM分別結合EKF、UKF和CKF進行目標跟蹤時，零值修正(即‖vc‖=0，‖ac‖=0)可明顯減小濾波初期的相對誤差值。從PRMS50和PRMS100的變化趨勢可看出，隨著算法繼續迭代，濾波相對誤差對修正值‖vc‖和‖ac‖的敏感度逐漸下降，算法后期收斂精度基本不受影響。由此可見，在選取PCM修正值時，零值修正能在保證算法最終精度基本不變的前提下得到更好的初始濾波效果，即目標跟蹤的收斂時間至少縮短了50個采樣周期。

5 結論

本文對超視距無源探測情況下，有界范圍內的非線性目標跟蹤問題進行研究，通過改進初值選取方法對跟蹤濾波收斂速度和精度進行改善。

1)提出一種適用于工程實踐的初值確定方法——投影修正法(PCM)。

2)結合3種非線性卡爾曼濾波算法，對比以往的TPM和TVSM兩種初值確定方法進行仿真驗證。仿真結果表明PCM可明顯提高對非線性目標進行超視距跟蹤時的卡爾曼濾波算法收斂速度。此外，采取零值修正的PCM算法在相同條件下，能取得更快的濾波收斂速度，且整體濾波跟蹤精度不下降。

3)實際工程應用中，在對非線性目標進行超視距無源探測和跟蹤時，采用零值修正的PCM進行初值確定可提高目標跟蹤前期精度和收斂速度，便于快速準確地鎖定目標，為探測方贏取更多反應時間。