三角規(guī)

蕭淑芬

研究背景

我擔任數(shù)學教師多年，教學生涯中時常感到學生學習數(shù)學的動力不足，認為數(shù)學學習是枯燥乏味的。為此，我嘗試在教學中加入不同課堂活動或其他教學元素，希望學生能通過這些教學活動擺脫對數(shù)學學習的不良印象及恐懼，領(lǐng)略學習的樂趣，尤其能領(lǐng)略數(shù)學學習中最有趣的“發(fā)現(xiàn)”過程。

中學生普遍最抗拒的是幾何課，因為當中涉及大量圖形，陌生難懂。但如能讓學生多些機會畫圖，從中了解邊長、角度等幾何條件之間的關(guān)系，必能增進學生的學習興趣和對知識的理解。

在中學數(shù)學課程中，學生要學習的圖形不外乎三角形、圓形等?？上?，學生認為畫圖時要動用很多工具，不容易掌握，把畫圖視作一件苦差。以此為出發(fā)點，我開始思考如何改善這一問題。的確，在市面上的工具中，畫三角形可利用三角尺和量角器，畫圓形可利用圓規(guī)，但是沒有一件可以同時滿足上述功能且方便使用的文具。基于自己的工程學背景，我開始著手設(shè)計教具三角規(guī)。

研究原理

設(shè)計這個畫圖工具之前，需要了解三角形的特性，才能找到設(shè)計的方向。一個任意三角形有不同的心，三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點，這個交點同時也是三角形外接圓的圓心，且這個外接圓的圓心角和三角形的內(nèi)角有一定的關(guān)系。

我們從圖1開始思考。連接三角形的3個頂點，形成1個三角形（圖2）。圖形的圓心亦是三角形的外心。從圓周上的兩點出發(fā)，連接圓心的角為圓心角，連接圓周的角為圓周角。以下運算顯示圓心角和圓周角的關(guān)系：

因為AD=AC=AE（半徑），所以∠CDA=∠DCA=a（等腰三角形底角），∠DAF=2a（三角形外角）。同理，∠FAE=2b，所以∠DAE=2a+2b=2（a+b）=2∠DCE，即∠DAE=2∠DCE。由此，得出結(jié)論：圓心角=2×圓周角。在此基礎(chǔ)上，我們可將繪畫三角形的2個內(nèi)角轉(zhuǎn)移為沿三角形外心繪畫2個圓心角的問題，進而簡化畫圖過程。

假如需要繪畫1個其中2個銳角角度分別為a、b的三角形，我們只需以三角形外心O為圓心，從點A出發(fā)順時針數(shù)至2a度，標記為點B;再由點A出發(fā)逆時針數(shù)2b度，標記為點C;最后以直線連接A、B和C點，2個銳角分別為a和b的三角形就可繪圖完畢，十分方便直接（圖3）。

三角規(guī)結(jié)構(gòu)

經(jīng)歷數(shù)次改進，最終設(shè)計的三角規(guī)主要由刻度轉(zhuǎn)盤（圖4）和指針（圖5）2部分組成。

刻度轉(zhuǎn)盤上刻了2圈刻度。外國刻度設(shè)計為每刻度為1°，正上方定為0°，順時針數(shù)由0刻度至180刻度，逆時針數(shù)也是0刻度至180刻度，每10度有標記，一共360刻度。為方便使用，內(nèi)圈刻意設(shè)計為每刻度為2°，正上方定為0°，順時針數(shù)由0刻度至90刻度，逆時針數(shù)也是0刻度至90刻度，一共180刻度。如此，如繪畫內(nèi)角為a和b的三角形，只需依內(nèi)圈數(shù)a和b刻度就行，不需再作轉(zhuǎn)換。

圓盤上的穿透部分是為了方便使用者畫少于5cm的邊長。圓心位置也是穿透的，方便作圖時定點。

此教具附2支指針。指針充當直尺作用。2支指針上都有刻度，刻度設(shè)計為每刻度1mm，共長15cm，其規(guī)格與一般直尺無異。其中1支指針上每隔1cm有洞，方便繪畫圓形。當指針裝在刻度圓盤上后，可以360°隨意轉(zhuǎn)動，方便使用者繪畫任意角度的角或者任意長度的邊長。此外，為使指針可水平放置于刻度圓盤上，我在指針末端加設(shè)弧形承托點，可于指針旋轉(zhuǎn)時降低摩擦力。

教學用途

三角規(guī)是一件實用的工具，利用三角規(guī)能便利地繪畫任意角度和邊長的三角形及不同大小的圓形。不僅可以大大加快學生的畫圖速度，在教授三角形或者圓的性質(zhì)等課題中亦有實質(zhì)的幫助，還可通過筆者設(shè)計的教學活動經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)學習”的過程，發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律和性質(zhì)，從而幫助學生學習和記憶。

以繪畫已知3個角度的三角形為例（圖6），我們把三角規(guī)放在紙上，把指針置于0刻度，用筆在0刻度上標記一點（圖7），然后順時針方向在你想要的度數(shù)下標記另一個點（圖8）、逆時針方向在你第2個想要的度數(shù)標記一點（圖9）。拿開三角規(guī)，用直尺將3點連在一起，最后列明3點的度數(shù)（圖10）。利用指針上長度的標記，我們可以繪畫不同大小但相同形狀的相似三角形。限于篇幅，有關(guān)三角規(guī)在教學上的其他應(yīng)用及使用方法不再一一詳述。

改進方向

在實際應(yīng)用中，本教具存在3方面不足。一是因為刻度圓盤的樣式限制，此教具只能繪出1～4cm或6～15cm半徑大小的圓形和1～4cm或6～15cm邊長范圍的三角形;二是三角規(guī)可繪畫提供角度、邊長中任意3個條件的任意三角形，但不能繪畫提供三邊邊長的三角形;三是因使用鐳射切割機制作此文具，制作過程會使膠片模糊，有可能令刻度模糊，而且因為制作方法限制，不能制作更小的模型。這也是本教具下一步需要改進和完善的方向。

該項目獲得第33屆全國青少年科技創(chuàng)新大賽科技輔導員創(chuàng)新成果科教制作類一等獎。

專家評語

該項目研制設(shè)計了一種三角規(guī)，能便利地繪畫任意角度和邊長的三角形及不同大小的圓形，有助于提高畫圖的速度。項目選題新穎，原理科學、概念清晰、構(gòu)思巧妙、設(shè)計合理，作品實用性強，具有推廣價值。