“錯(cuò)誤”不容錯(cuò)過(guò)
——對(duì)勾股定理典型解題錯(cuò)誤的分析與思考

沈忠良

江蘇省蘇州市吳江區(qū)銅羅中學(xué)，江蘇蘇州 215237

1.概念模糊導(dǎo)致的知識(shí)性錯(cuò)誤

知識(shí)性錯(cuò)誤是指學(xué)生對(duì)有關(guān)概念、定理、公式和法則等理解不清、運(yùn)用不當(dāng)，因而未能正確陳述解題過(guò)程和結(jié)論而導(dǎo)致錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)概念和定理是學(xué)生解題的基本依據(jù)，若對(duì)基本數(shù)學(xué)概念理解不透徹，對(duì)相近的概念混淆不清，或不能區(qū)分判定定理與性質(zhì)定理，則容易造成解題錯(cuò)誤。

【案例1】

教學(xué)思考：只有讓學(xué)生深入理解有關(guān)概念，準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，才能防止知識(shí)性錯(cuò)誤的發(fā)生。為了預(yù)防知識(shí)上的缺漏，在平時(shí)的教學(xué)中要做到既不脫離教材，又不拘泥于教材，要讓學(xué)生體驗(yàn)概念的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程.在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)做到以下五步：①?gòu)哪Ｐ汀?shí)物等直觀形象中抽象出概念，讓學(xué)生初步領(lǐng)悟概念產(chǎn)生的背景，并嘗試用自己的語(yǔ)言表達(dá)新概念；②把握概念的內(nèi)涵與外延，抓住其本質(zhì)，使學(xué)生明確概念的來(lái)龍去脈；③建立新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有概念的內(nèi)在聯(lián)系，明確概念之間的從屬關(guān)系；④進(jìn)一步運(yùn)用概念，針對(duì)學(xué)生的困惑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，設(shè)計(jì)靈活多樣的變式題，從不同角度進(jìn)行訓(xùn)練，鞏固新的認(rèn)知平衡；⑤學(xué)生從正面接觸概念后，再?gòu)姆疵鎰?chuàng)設(shè)一些錯(cuò)誤情境，并引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去分析錯(cuò)因，嘗試糾正錯(cuò)誤，讓學(xué)生在反思中深化對(duì)概念的理解。

2.以偏概全導(dǎo)致的邏輯性錯(cuò)誤

邏輯性錯(cuò)誤主要是指由于違反邏輯思維的形式和規(guī)律而產(chǎn)生的計(jì)算、推理或論證上的錯(cuò)誤.邏輯性錯(cuò)誤本質(zhì)上也是知識(shí)性錯(cuò)誤，但究其導(dǎo)致錯(cuò)誤的知識(shí)盲點(diǎn)主要在于邏輯。

【案例2】

如圖1，一架長(zhǎng)10m 的梯子AB 斜靠在豎直的墻上，梯子的底端A到墻根O 的距離為6m。當(dāng)梯子的頂端B 沿墻下滑1m 到處時(shí)，梯子的底端A 向外移動(dòng)到處，此時(shí)的長(zhǎng)（ ）。

A.小于1m B.大于1m C.等于1m D.無(wú)法確定

錯(cuò)解1：在這個(gè)變化過(guò)程中，梯子底端移動(dòng)的距離始終比頂端下滑的距離小，所以的長(zhǎng)小于1m。

錯(cuò)解2：在這個(gè)變化過(guò)程中，梯子底端移動(dòng)的距離不一定比頂端下滑的距離大。因?yàn)楫?dāng)梯子頂端下滑到地面時(shí)，頂端下滑了8m，而底端只向外移動(dòng)4m，所以的長(zhǎng)無(wú)法確定。

錯(cuò)解3：梯子底端移動(dòng)的距離始終等于頂端下滑的距離.因?yàn)楫?dāng)梯子頂端下滑2m 后，頂端離地面6m，此時(shí)由勾股定理可得梯子的底端到墻根的距離為8m，那么底端也移動(dòng)了2m，所以長(zhǎng)度必定相等。分析：錯(cuò)解1 中，學(xué)生沒(méi)有運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，僅憑主觀臆斷得出結(jié)論，顯然是不可靠的.錯(cuò)解2、3 主要是由于學(xué)生在解題時(shí)對(duì)問(wèn)題缺乏深入、全面的思考，從而產(chǎn)生了以偏概全的錯(cuò)誤。

教學(xué)思考：讓學(xué)生養(yǎng)成解題時(shí)遵循正確的邏輯規(guī)律的習(xí)慣，并提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和推理的嚴(yán)密性是減少學(xué)生發(fā)生邏輯性錯(cuò)誤的重要途徑。由于邏輯性錯(cuò)誤是由學(xué)生對(duì)邏輯規(guī)律的模糊或無(wú)意識(shí)而造成的，糾錯(cuò)時(shí)可以適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生介紹一些有關(guān)邏輯的知識(shí)，使學(xué)生解題時(shí)能夠及時(shí)意識(shí)到所犯的邏輯性錯(cuò)誤。講評(píng)本案例中的題目時(shí)，可先運(yùn)用《幾何畫(huà)板》進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生初步感受梯子的頂端與底端移動(dòng)的距離不一定相等，然后讓學(xué)生運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，從而發(fā)現(xiàn)的長(zhǎng)大于1m.事實(shí)上，梯子上端下滑的距離與下端外移的距離之間的大小關(guān)系跟梯子的初始位置有關(guān).假設(shè)梯子初始放置時(shí)AO=a,BO=b 梯子上端下滑的距離為x，下端外移的距離為y.若b ＞a，則當(dāng)x ＜b－a 時(shí)，x ＜y；當(dāng)x ＝b－a 時(shí)，x ＝y(tǒng)；當(dāng)x ＞b－a 時(shí)，x ＞y.若b ≤a，則x ＞y 恒成立.經(jīng)歷了這個(gè)探究過(guò)程以后，學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)會(huì)更深刻，對(duì)梯子滑動(dòng)問(wèn)題的把握會(huì)更準(zhǔn)確。

總而言之，糾錯(cuò)是跨過(guò)障礙、達(dá)到目標(biāo)的必經(jīng)之路，也是接受洗禮、走向成熟的必要磨煉，糾正解題錯(cuò)誤需要找原因、挖根源。學(xué)生出現(xiàn)解題錯(cuò)誤在所難免，面對(duì)錯(cuò)誤解法撥亂反正固然重要，還應(yīng)該對(duì)錯(cuò)誤持有積極的態(tài)度，幫助學(xué)生消除出錯(cuò)帶來(lái)的挫敗感，保護(hù)學(xué)生的自尊心，引導(dǎo)每一個(gè)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)。教師只要善于將錯(cuò)誤資源轉(zhuǎn)化為有效資源，那么“錯(cuò)誤”會(huì)變得美麗，學(xué)生會(huì)更愿意接近和走進(jìn)數(shù)學(xué)！