一種適用于多普勒高階變化率的載波跟蹤算法

宋青平1，余 躍1，齊建中，王 樂

(1.北京控制與電子技術研究所 信息系統工程重點實驗室，北京 100038；2.北方工業大學 電子信息工程學院，北京 100144)

0 引言

在無線通信系統中，當通信發射端和接收端存在速度、加速度、加加速度時，會導致接收端本振與接收信號之間出現多普勒頻偏、多普勒一、二階變化率[1](通常最高只考慮二階變化率)，從而影響信號的載波跟蹤性能。現有的載波跟蹤算法通常采用二階鎖頻環輔助三階鎖相環[2-4]，可以無誤差地跟蹤含有多普勒一階變化率的信號。但是當接收信號由于加加速度而存在多普勒二階變化率成分時，三階鎖相環會存在一個固有相差，無法保證對此種信號的無誤差跟蹤。也有文獻采用了單一四階鎖相環的方式，但是能夠跟蹤的頻率范圍有限，而且缺乏對環路相位誤差和環路濾波器參數的系統性分析和計算。

本文提出了一種三階鎖頻環輔助四階鎖相環的載波跟蹤算法，分析了環路結構，根據環路傳遞函數和環路帶寬，從理論上推導出了環路所有參數的計算方法，以及環路的穩態相位誤差。該環路可以對含有多普勒二階變化率成分的信號進行無誤差跟蹤。最后采用環路模式切換策略及環路帶寬設置策略，進一步提高了頻率精度，保證了跟蹤的穩定性。仿真結果表明，當存在多普勒頻偏、多普勒一、二階變化率時，本文載波跟蹤算法依然能夠正常跟蹤和解調。

1 頻率動態特性

當發射源與接收體之間存在相對運動時，接收體接收的發射源發射信息的頻率與發射源發射信息頻率不相同，這種現象稱為多普勒效應[5-6]，接收頻率與發射頻率之差稱為多普勒頻移或頻偏。無線電波的傳播也存在多普勒效應，當發射源與接收體之間有相對運動時，接收體接收的載波頻率f′與發射端載波頻率f存在多普勒頻移Δf(doppler shift)，即:

Δf=f′-f

(1)

可以證明若接收體與聲源相互靠近或相互遠離的速度為v，光速為c，則接收體接收信息的多普勒頻率為：

(2)

其中:f為發射頻率，f′為接收頻率。

若物體相對運動時，還存在加速度，加加速度等分量，則相應會產生多普勒變化率等變化量。

接收機接收到信號的頻偏可表示為[7]:

(3)

其中:fi表示信號的第i階變換，例如f0表示多普勒頻偏，f1表示多普勒一階變化率，f2表示多普勒二階變化率。通常最高只考慮運動的加加速度分量，則可將頻偏模型建為:

(4)

對應相位的變化為:

(5)

2 載波跟蹤

當數字通信接收機采用相干解調時，接收機首先需要提供一個與發射機載波同頻同相的相干載波，這個相干載波的獲取就是載波同步，因此載波同步是實現相干解調的前提條件。載波同步首先要生成一個本地振蕩信號，本地振蕩信號是一個固定頻率的自由振蕩信號，它往往和輸入信號的載波頻率不相同，會產生一個頻偏；相位噪聲也會引起載波相位和頻率偏差；同時第1節所述的多普勒效應也會對通信系統產生惡劣影響，使接收系統性能下降。因此，如何抵御噪聲的干擾，從噪聲中高質量提取相干載波，是載波同步的一個關鍵技術問題。

載波同步過程通常包括載波捕獲和載波跟蹤兩個階段[8]。經過載波捕獲后，本振與接收信號依然存在一定多普勒頻偏、多普勒一、二階變化率[9]。載波跟蹤是在載波捕獲完成的基礎上，進行載波頻率和相位的精細跟蹤，實現本地載波與接收信號載波同頻同相，從而實現信號的正確解調。載波跟蹤原理如圖1所示。

圖1 載波跟蹤整體結構框圖

載波跟蹤可分為頻率跟蹤和相位跟蹤，頻率跟蹤一般通過鎖頻環實現對載波多普勒頻率的本地復現[10]，相位跟蹤一般通過鎖相環實現對載波多普勒頻率的本地復現。多普勒變化率的存在，使得多普勒頻差會隨著時間急劇變化，從而使得跟蹤環路的鑒頻和鑒相精度下降，為后級的同步解調帶來很大的困難。本文采用三階鎖頻環輔助四階鎖相環的跟蹤環路，通過環路模式切換及鎖頻鎖相環路帶寬設置策略，對較大范圍內的頻差進行頻率牽引，并通過高階環路的精確鑒頻鑒相和濾波，保證了跟蹤精度。

3 相位跟蹤

相位跟蹤通常采用Costas環，結構如圖2所示。

圖2 Costas環跟蹤單元框圖

環路中，本地振蕩器(NCO)產生兩路相互正交的本地載波信號，與接收信號分別相乘，經過低通濾波(LPF)后濾除倍頻項，二者鑒相后可以得到誤差信號，經環路濾波器(LF)平滑處理后，輸出一個控制信號，反饋至NCO，從而對NCO的頻率和相位進行精確調整。

設載波跟蹤環路中的輸入信號為BPSK調制信號，對輸入信號進行數字化采樣，設采樣頻率為fs，采樣時間間隔為1/fs，k為采樣點序號，則輸入信號的時間離散化表示方式如下:

sBPSK(k)=Ab(k)sin(2π(fi/fs)k+ψ)

(6)

式中,b(k)為信息比特，取值1或-1，A為輸入信號幅度，fi和ψ分別為輸入信號的頻率和相位。此時NCO產生的本地載波信號為:

snco_s(k)=sin(2π(f0/fs)k+ψ0)

snco_c(k)=cos(2π(f0/fs)k+ψ0)

(7)

式中,f0和ψ0分別為NCO信號的頻率和相位。sBPSK(k)與snco_s(k)和snco_c(k)分別相乘，可得到如下結果:

I(k)=Ab(k)sin(2π(fi/fs)k+ψ)sin(2π(f0/fs)k+ψ0)

Q(k)=Ab(k)sin(2π(fi/fs)k+ψ)cos(2π(f0/fs)k+ψ0)

(8)

經過LPF后輸出為:

I(k)=A1b(k)cos(2π(Δf/fs)k+ψ-ψ0)

Q(k)=A1b(k)sin(2π(Δf/fs)k+ψ-ψ0)

(9)

對于相位鑒別器，本文采用反正切鑒相器，鑒相結果表示為[11-13]。

(10)

式中,Δφ=2π(Δf/fs)k+ψ-ψ0。鑒相結果經過LF平滑處理后得到NCO相位控制值。

3.1 四階鎖相環的相位誤差

四階LF的基本傳遞函數為[14]:

(11)

環路的開環傳遞函數以及閉環傳遞函數為:

(12)

(13)

式中，K為環路增益。環路的誤差傳遞函數為:

(14)

當輸入信號為多普勒頻偏信號時，信號的相位變化為:

θ1(t)=f0t

(15)

環路的相位誤差為:

θe=He(s)θ1

(16)

環路穩定后的穩態相位誤差為:

(17)

當輸入信號為多普勒變化率信號時，信號的相位變化為:

(18)

環路穩定后的穩態相位誤差為:

(19)

當輸入信號為多普勒二階變化率信號時，信號的相位變化為:

(20)

環路穩定后的穩態相位誤差為:

(21)

由此可以看出，即使當信號由于加加速度而存在多普勒二階變化率時，四階鎖相環的穩態相差依然為0，可以對此種信號進行無誤差跟蹤。

3.2 四階鎖相環的環路參數計算

四階鎖相環的LF結構如圖3所示。

圖3 四階鎖相環LF框圖

圖中Ts為每次采樣時間間隔，pc1～pc4為鎖相環LF參數。經過拉式變換后的結構如圖4所示。

根據圖4，四階LF的基本傳遞函數可表示為:

(22)

將式(11)四階LF的基本傳遞函數轉化為:

(23)

將式(22)和式(23)對比可得:

(24)

(25)

(26)

(27)

其中:τ1、τ2與環路自然角頻率、阻尼系數存在如下關系:

(28)

(29)

式中，ωn為環路自然角頻率，ξ為阻尼系數。因此，根據ωn、ξ即可計算出τ1、τ2，從而計算出環路參數pc1～pc4。為了保持四階環路的穩定性，需要滿足以下條件[14]。

(30)

(31)

4 載波頻率跟蹤

鎖頻環直接跟蹤載波頻率，通過載波環路鑒頻器輸出頻偏估計誤差，具有較好的動態性能。其中叉積鎖頻環(CPAFC)抗噪聲性能較好，且運算量最小，在工程中應用廣泛，所以本文選用CPAFC，用來對載波頻率進行直接跟蹤。叉積鑒頻器由同相和正交信號的叉積運算獲得，可以去除相位信息。鑒頻后的誤差信號經過LF平滑處理后，反饋至NCO，控制NCO的振蕩頻率向接收信號頻率靠近，最終使頻差接近為0。鎖頻環的輸出為頻率分量，接入LF后經過積分，使得頻率轉化為相位。鎖頻環的環路階數通常比鎖相環低一階，當鎖相環為四階時，鎖頻環為三階。CPAFC環路結構如圖5所示。

圖5 CPAFC頻率跟蹤單元框圖

對于式(9)中經過LPF的I(k)和Q(k)，叉積運算后的輸出表示如下:

Ecross(k)=I(k-1)Q(k)-I(k)Q(k-1)

(32)

則由式(32)可得:

Ecross(k)=A2sin(2π(Δfd/fs)k)

(33)

式中,Δfd為多普勒頻率估計殘差。鑒頻器輸出的頻率誤差為:

(34)

對于三階鎖頻環，LF結構如圖6所示。

圖6 三階鎖頻環LF框圖

圖中，fc1～fc3為鎖頻環的LF參數。LF采用通用的三階環路參數計算方法，表示如下：

ω0f=Bnf/0.7845

(35)

fc1=2.4ω0f

(36)

(37)

(38)

其中:Bnf為鎖頻環環路噪聲帶寬，Ts為每次采樣時間間隔。

5 三階鎖頻環輔助四階鎖相環

鎖頻環用于跟蹤較大的多普勒初始頻差和變化率，通過精確的頻率鑒別，將計算得到的多普勒頻率信息傳遞給鎖相環。四階鎖相環能無誤差跟蹤含有多普勒二階頻率變化率的信號，但是在鎖相環路開始工作時，仍然需要較為準確的多普勒頻差及變化率信息才能快速入鎖，而且鎖頻環的跟蹤門限比鎖相環低，具有良好的動態及抗干擾性能，但鎖頻環的缺點是頻率跟蹤誤差較大。鎖相環能夠精確跟蹤信號相位，跟蹤誤差較小，但是動態范圍也較小。所以采用三階鎖頻環輔助四階鎖相環的工作方式，可以既提高整個環路的閉合速度，降低信噪比門限，又能保證跟蹤精度。

圖7給出了三階鎖頻環輔助四階鎖相環的LF結構框圖。該環路對來自鎖頻環和鎖相環的鑒別誤差同時加以應用，因此對相位抖動較為敏感的同時具有較寬的動態范圍。圖7中fc1、fc2、fc3可由式(36)～(38)得出，pc1、pc2、pc3、pc4可由式(24)～(27)得出。鎖頻環的作用是為了提高鎖相環的跟蹤范圍，但鎖頻環永久接入并非能持續保證良好的性能，信噪比較低時，鑒頻器難以區分信號和噪聲，并且在圖7中的LF工作過程中，是將鎖頻環輸出的頻率誤差和鎖相環輸出的相位誤差進行融合處理，這種處理方式會引入較大的環路誤差，因此鎖頻環和鎖相環同時工作的方式會使得環路誤差增大。所以鎖頻環完成頻率牽引后，可以關閉鎖頻環，轉為單一的鎖相環工作模式，進一步提高頻率精度。

圖7 三階鎖頻環輔助的四階鎖相環LF設計框圖

鎖頻鎖相環路能捕獲跟蹤的多普勒頻偏和變化率大小和接收信號的信噪比是一對矛盾約束關系。當需要跟蹤的頻偏和變化率較大時，則噪聲帶寬需要設置的較寬，但較寬的環路帶寬會導致進入環路的噪聲功率增加，使得環路的信噪比惡化。為了能正確解調出原始信號，環路內的信噪比必須保持在某個門限值以上，所以信號本身的信噪比就不能太低。反之，當信號本身的信噪比較低時，要想成功捕獲跟蹤載波信號，則環路噪聲帶寬需要設置的較窄，這樣，進入環路的噪聲功率會相對較小，依然可以保持環路內的信噪比在門限值以上，但是此時對頻偏和變化率的跟蹤能力就相對較差，而且當頻率變化較快時，則環路有可能永遠無法達到穩態，即LF的輸出變化永遠跟不上輸入信號頻率的變化。因此，本文在鎖頻環和鎖相環初始同時工作時設置較大的鎖頻環帶寬值，關閉鎖頻環之后，設置較小的鎖相環帶寬值或環路自然角頻率。這種設置方式可以保證在頻率牽引階段，環路能夠跟蹤的頻偏和變化率范圍較大，鎖定時間也較短；在單一鎖相環工作階段，環路能夠保持穩定跟蹤并開始解調信號。

6 算法仿真

針對本文提出的算法進行仿真。采樣頻率取為4 kHz，碼速率取為100 bps，多普勒頻偏取為300 Hz，多普勒變化率取為50 Hz/s，多普勒二階變化率取為10 Hz/s2，加入高斯白噪聲，比特信噪比Eb/N0取為12 dB。鎖相環環路自然角頻率設為4π，為了增大頻率牽引范圍，鎖頻環環路噪聲帶寬設為30 Hz。當環路增益K取為1，阻尼系數ξ為0.707時，經過計算得到的τ1、τ2滿足式(30)、(31)的環路穩定性條件。仿真過程中取前20 000個采樣點，在10 000個采樣點處關閉鎖頻環。

頻率鑒別結果如圖8所示，接收本振頻率跟蹤結果如圖9所示。從圖8可以看出，鑒頻誤差小于0.1 Hz；從圖9可以看出，鎖頻環輔助鎖相環狀態可以快速消除多普勒頻偏、多普勒一、二階變化率，快速達到鎖定狀態，但此時本振頻率誤差較大，當轉變至單一鎖相環精確跟蹤狀態后，可以看出本振頻率誤差明顯減小，并且頻率抖動幅度恒定。

圖8 頻率鑒別后結果

圖9 接收本振頻率跟蹤圖

圖10為LPF輸出的解調后的原始信號波形。可以看出，經過本文環路跟蹤解調后，可以正常恢復出原始數字方波信號。

7 結論

本文針對多普勒條件下的載波跟蹤問題，提出了一種三階鎖頻環輔助四階鎖相環算法，首先從理論上證明了該環路能夠無誤差跟蹤多普勒二階變化率信號，然后根據環路傳遞函數和環路帶寬，推導出了環路所有參數的計算方法，并在環路設計中考慮了環路的穩定性條件，最后通過環路模式切換，既提高了整個環路的閉合速度，降低了信噪比門限，又保證了跟蹤精度。因此，此法在多普勒高階變化率的情況下具有較高的應用價值。