基于“復雜性科學”視角：建構數學課堂教學

姚宏書

“復雜性”“非線性”是世界、物質、生命和人類生活最為顯著的特征。二十世紀誕生的“復雜性科學”，超越了十九世紀自笛卡爾、牛頓以來一直統治科學、哲學領域的本質的、線性的、還原的思維模式。世界是多種因素的耦合，二十一世紀的科學——“復雜性科學”的逐步興起，提供了研究、思考、探究人類、世界、物質的可能的最好方式。數學課堂教學同樣如此。

一、復雜性：數學課堂教學新的認識論視角

“復雜性科學”肇始于1928年貝塔朗菲的系統論之研究。基于“復雜性科學”視角，數學課堂教學就是師生的共同探險，對未知世界的探險。這個過程充滿了無限的可能，有著不同的路向。從“復雜性科學”視角打量課堂，我們發現課堂具有一系列復雜性特質：整體性、非線性、自組織性，等等。以“復雜性科學”理論研究小學數學課堂教學，具有現實的、有效的指導性意義。

1. 數學課堂具有“不確定性”

課堂，是向未知領域挺進的旅程。在這個過程中，學生隨時都能遭遇意外的陌生風景。數學課堂具有不確定性、動態生成性。在課堂學習中，由于每個學生不同的經驗背景、認知特質等差異，讓數學課堂教學呈現著一種非線性特征。課堂教學預案對學生的課堂學習只能發揮有限的調控作用，而不能完全被預設。比如教學《三角形內角和》（蘇教版四上），預設的導學單中給學生的友情提醒是運用“撕角法”“折角法”等進行探究。但在真正的課堂探究實踐中，學生經過彼此的多元對話，誕生出遠遠超預設的方法。比如“作輔助線法”“邏輯推理法”“鉛筆旋轉法”等等。

2. 數學課堂具有“自組織性”

系統論認為，系統有一種自我完善的功能，這就是“自組織性”。所謂“自組織”，是在沒有外界特定干預下，系統能獲得時空、功能、結構的協同，通過相互作用而有序化，這是一種自我演化的過程。對于一個系統來說，外因是變化條件，內因是變化根據。課堂不能被程序化，因此教師不必對課堂教學過度、精致預設，而應采用大框架，引領課堂，讓課堂自身不斷自我生成、發展、協同、運作。可以設置“大問題”，運用“大任務”驅動。比如教學《圓的周長》（蘇教版五下），筆者設置了這樣的兩個活動：[活動一]認識圓的周長;[活動二]探究圓的周長。其中在“活動二”中，設置了兩個“主問題”：問題一是怎樣探究圓的周長？問題二是猜想圓的周長和什么有關系？有著怎樣的關系？通過“主任務”“主問題”，學生展開自主思考、小組交流、展示。數學課堂不斷地在“有序”“無序”“有序”間運作，從而讓數學課堂自我生成、發展。

3. 數學課堂具有“開放性”

基于“復雜性科學”視角，數學課堂要成為一種“耗散結構”。為此，要讓課堂從封閉走向開放，因為只有從封閉走向開放，只有讓課堂信息與外界不斷地流動、讓課堂能量與外界不斷地交換，課堂這一耗散結構才能煥發出生命的活力。比如教學《解決問題的策略——畫圖》（蘇教版四下），這樣的問題——“小張家距離學校600米，小李家距離學校800米。小張家距離小李家多少米？”就具有開放性。在討論問題的過程中，學生不斷誕生新想法，比如小張和小李家在同一條直線上，小張和小李家在同側;小張和小李家在同一條直線上，小張和小李家在異側;小張和小李不在同一條直線上等。數學課堂教學應當較好地保持生活原貌，應當盡可能貼合現實。只有這樣，才能打通學生的思維通道，讓課堂學習向生活開放、向經驗開放，從而不斷對接、彌合。

二、復雜性：數學課堂教學新的方法論視角

學生的復雜性以及教育教學本身的復雜性，決定了數學課堂教學是一個具有不確定性、自組織性、開放性的系統。華東師范大學葉瀾教授深刻地指出：“把復雜事物看作可分解為簡單來分別認識……不可能真正對復雜性整體形成突破性認識……我們要學會用復雜思維的方式來研究復雜事物。”

1. 善于跟進，處理好課堂教學的“不確定性”

課堂教學是一個“確定性”與“不確定性”的對立統一體。只有善于跟進，才能把握課堂教學的“不確定性”。作為教師，對于課堂動態的、不確定性的事件有時要順水推舟，有時要倒行逆施，有時要臨時轉舵，有時要將錯就錯，通過教師的教學機智，將課堂教學諸多的不確定性，轉化、發展、提升為數學課堂教學的“動態資源”。

比如一位教師教學《6的分與合》（蘇教版一上），教學中，教師的一只紐扣“啪”的一聲掉在地上，引發了課堂的小小騷動。“老師的紐扣掉了”，學生有的竊笑，有的議論，有的趁機調皮“搗蛋”（畢竟是剛入學的一年級學生）。應該說，“紐扣”掉在地上是課堂教學中的一個“不和諧音符”。但教師靈機一動，迅速調整、運用這個“課堂意外”，化解教學尷尬。“同學們，你能根據剛才發生的事，用‘6的分與合知識來說一句話嗎？”這一下，學生從無序的議論交流轉變為有序的、目的性很明確的數學議論、交流。有學生說，“老師身上的衣服原來有六只紐扣，掉了一只，還剩多少只？”“老師身上的衣服掉了一只紐扣，還有五只紐扣，原來有多少只紐扣？”“老師身上的衣服原來有六只紐扣，現在只有五只紐扣，掉了多少只紐扣？”等等。

數學教學是一種探險，一種對未知領域的探險，因此充滿了“不確定性”。作為教師，要善于“跟進”，或“放大”，追問深入;或“縮小”，迂回突破。只有善于抓住課堂不確定性的資源、契機，才能讓數學課堂教學成為一種創造。

2. 著眼整體，把握好課堂教學的“無序性”

課堂是一個動態的、生成性的結構、系統。在數學教學中，教師要把握好課堂教學的“有序性”與“無序性”。數學課堂，從整體上看是有序的，是由此及彼、由淺入深的螺旋上升過程。但從局部看，卻充滿了諸多的不確定性，是無序的。作為教師，要從結構入手，把握好數學課堂關鍵的節點，將課堂從無序引向有序。

比如教學《相遇問題》（蘇教版四下），很多教師在教學中都會讓學生表演，這種表演多半是對“相遇問題”的片段式擷取。“掐頭去尾燒中段”式的數學教學，讓學生“知其然”而“不知其所以然”。筆者在教學中，立足于學生數學學習的整體視角，將甲方、乙方從“未相遇”到“相遇”，從“相遇”到“相離”的整個過程展示。在這個過程中，筆者將“相遇問題”分成幾個不同方式，引導學生思考、探究，如相向而行、相背而行等。不僅如此，筆者還將“相遇問題”“追及問題”等進行比較，從而讓學生對直線上的行程問題形成一個整體的、系統的、結構性的認知。這樣的課堂，既體現了教學的不確定性，如相向、相背，如相遇、追及等，又彰顯了教學的確定性，如“速度和乘相遇時間等于路程和”“速度差乘相遇時間等于路程差”，等等。

行程問題是復雜的，許多教師在實踐中將其割裂“相向”“相背”，揉碎成“相遇”“追及”等，由此造成學生思維的斷裂。著眼整體，就是把握好課堂教學的“無序性”。因為無論哪一種行程問題，都可以用“速度乘時間等于路程”來表征。“復雜性科學”認為，整體性是系統科學的一個基本屬性。整體不是各部分、局部的簡單累積，整體大于各部分之和。把握整體，需要教師擁有一種“非線性思維”，從而防止教學機械化、模式化、單一化，讓教學走向“有序”“共生”。

3. 敏銳捕捉，駕馭好課堂教學的“可能區間”

“復雜性科學”認為，系統的現象與本質是一體的。在某些條件下，系統內部的偶然性、特例性等有可能是系統的本質顯現。對一個系統進行研究，要避免簡單的“還原論思維”“決定性思維”。通常情況下，偶然性只是未被發現的必然性。同時，必然性也不一定就比偶然性優越，并不一定比偶然性具有合法地位。作為教師，要善于捕捉資源，駕馭好課堂教學的“可能性區間”。

比如教學《圓的面積》（蘇教版五下），學生在例題學習以及“練一練”“做一做”以及后續練習中，遭遇的問題都是已知直徑或半徑或周長，要求圓的面積。這是日常、普遍、一般性問題。通過解決這些問題，學生就形成這樣的思維定式，即“要求圓的面積，首先就必須求出圓的半徑”。但是，這樣的具有普遍意義的認識，卻并不反映解決圓的面積的問題本質。當學生偶然遇到“已知圓的半徑的平方是5，要求圓的面積”時，學生也是想方設法地求半徑，但是囿于小學階段沒有學習開方，因此學生就感到一籌莫展了。當筆者啟發學生，已知圓的半徑的平方是否要先求出圓的半徑時，學生方才恍然大悟。在這里，偶然性反而蘊含著圓的面積的本質、反而揭示出解決圓的面積的本質性方法。這正說明，在數學教學中，必須讓學生秉持一種復雜性思維。只有秉持復雜性思維，才能捕捉到有意義、有價值的資源，從而駕馭好課堂教學的“可能區間”。

在數學教學中，教師不能偏執于普適性、一般性的數學教學規律發現及運用，而必須關注數學教學中的特殊性、個別性。不僅數學知識教學是如此，數學教學場域中的人更是如此。教學中，“并沒有簡單事物，只有被簡化的事物”。“復雜性科學”視域中的數學教學提醒教師，要保有多元意識、敏感意識和開放意識。只有這樣，才能實現教師教學思維由簡單到復雜的轉換。