基于數據，精準診斷，促進教學深度發生

姚超

課堂教學到達鞏固環節，教師出示如下一題：

學生認真完成。

教師在提問時候學生對①②④回答的正確率是百分之百，卻對③圖的回答結果出現了分歧：

師：第三個圖認為填的請舉手（學生舉手后，筆者數了數有55人，約占全班總人數的81%）。

師：第三個圖認為填的請舉手（學生舉手后，筆者數了數有11人，約占全班總人數的16%）。

師：不確定填或的請舉手（學生舉手后，筆者數了數僅有2人，約占全班總人數的3%）。

數學里只有對錯之分，沒有少數服從多數的慣例。81%的學生認為是，16%的學生認為填，和到底哪個正確呢？

這是蘇教版三年級數學下冊《認識一個整體幾分之一》中“想想做做”第6題。《認識一個整體幾分之一》的教學重點與難點是初步理解一個整體的幾分之一，學習該內容也是學生理解分數含義重要的一環，為今后進一步抽象分數的意義、理解分數的性質奠定基礎，是分析和解決“求一個數的幾分之一是多少”實際簡單問題的前提。其關鍵是學生對“一個整體”的理解與把握，在思維層面形成的表征應是：無論多少個、無論什么物品……無論放在盤子里、放在筐里……都是“一個整體”“1”。

本節課教學內容先從把1個桃子平均分給2只小猴，每只猴子分得這個桃子的開始，到把2個桃子平均分給2只小猴，同樣得到每只猴子分得這些桃子的，到有6個桃子平均分給2只小猴，每只猴子依然分得這些桃子的。由實物圖啟發學生聯系對已有的認識，想到：把一盤桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的，由“一個”到“一盤”或“一些”的變化，強調把“一個整體”平均分的數學思想。這個“把一盤桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的”的抽象結論，把學生引向了對“份數”關系的思考，根據學生已有的知識和認知發展心理，就得出結論是一個、一盤、一些乃至許多桃子或其他物體，都可以認作是“一個整體”，在這里初步形成單位“1”的思想觀。教材中出現的兩個實物分別表示每盤的，是繼續豐富對“一個整體”的整體認知。如圖2：

例2的教學是在例1的基礎上推進的，平均分成2份，其中一份是它的;平均分成3份，每份是它的;平均分成4份，每份是它的等。

整節課教學中學生表現很好，為什么會有81%學生認為是，16%學生認為是呢？作為聽課的筆者課后了解了這16%學生中部分人的想法，當時他們的理解是這樣的：有4個桃平均分成4份，每份是它的，他們把“4份”和“4個桃”的“1份”和“1個桃”等同了起來，正因為有了這個思維基礎，后邊的8個桃平均分成4份，雖然認識了平均分，但是有了前邊的等同思維遷移，一共是8個桃平均分的，每一份中是2個桃在一起的，這不就是嗎？這種等同思維的起因是在哪里呢？經分析得知：學生在例1學習中的兩個實物圖表示出“每盤桃的”這里“斷片”了，將4個桃的和8個桃的進行兩相對比，比同是“”，一個是4個桃平均分成2份，一個是8個桃平均分成2份，其中1份的“1”和1份中桃子個數有沒有關系，用反逆思維的方式來豐富對“一個整體”的感知。

課堂中出現了16%的無可厚非，教師可以初步地就題論題引導比較，4個桃中1份和8個桃中1份，它們都是在平均分成4份的情況下，學生思維里形成一個集合點，這個集合點就是無論有多少個桃，它都是一個整體，是對這個整體進行平均分4份的，其中的一份中無論有多少個物體依然是1份，就是整體的。對比題③和題④，它們具有類似的情況，為什么題④是而不是呢？這讓學生茅塞頓開，原來是其中一份和整體平均分成份數的關系與物體的個數沒有任何關系呀！這樣學生思維中形成的表征是眼里只有平均分成的份數和取其中的份數，由此下來學生就不會出現給出這個答案的現象了。

在此種情況下正確的只能是，不能是，如果學習了分數基本性質后再來看這題的和又都是對的。但這里的不是正確的，因為該內容重點是豐富“一個整體”的感知，就是為學習后邊的分數意義、理解分數的性質做基礎，為下節課學習“求一個數的幾分之一是多少”埋下伏筆。

教師的課堂教學關注點只是放在結果的對與錯上，大多數學生答案對了也就手抬而過。提升學生的學科素養，我們應關注81%后邊缺失了什么，16%后邊獲得了什么，這才是我們課堂教學應該關注的焦點。由此，課堂教學中出現上述的和對決的時候，教師要立馬警覺停下來，不能因為僅占16%就放棄，而應“一個都不能少”地引導學生，從哪里跌倒就從哪里爬起來，豐富自己的“整體”感知，讓“教”為了后邊的“不教”搭好橋梁，確保每名學生都平穩過“渡”。

聽課后的思考：

課堂教學中無論教師或學生出錯都是正常的，人非圣賢孰能無過。但對于“錯”來說，教師應具備課堂教學機智，抓住所謂的“錯”，或許有意想不到的驚喜。

1. 教師課堂教學中應善于捕捉知識的思維分叉點，引導學生辨別是非

課堂教學中同一內容出現了兩個答案，一個是，另一個是，從分數的基本性質上講，一個分數的分子和分母同時乘上或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。無論填或都是正確的，但這是學生初步認識分數的內容，他們對于分數的基本性質無從了解，若讓學生去了解分數的基本性質，從和的分子、分母變化去觀察，只能作為課后的興趣進行，這節課還是應該突出“一個整體”性。所以，學生在“是”“非”不分的情況下，即學生思維出現了分叉，其中一定有部分學生心里想到底是正確，還是正確，即使老師肯定了答案的正確性，這部分學生依然會在心里追問為什么正確。這時就需要組織學生共同討論或的合適性，學生在交流與思維的碰撞中，通過自我信息共享，體會出“一個整體幾分之一”的真正內涵，為他們今后學習分數的其他內容做好一個心理基礎。再遇到該內容時就不會出錯了，并且與涇渭分明了。常說小學生就是一張白紙，教師就是那位作水墨丹青的人，你給他什么顏色他就會說什么顏色，在知識的“真理”面前學生缺乏辨別的能力，教師要努力改進教學方法，依據教材緊密聯系學生生活實際等對學生進行“是非”辨別引導。如筆者在教學《加法交換律與加法結合律》，讓學生從大量的實例中能夠發現“加法交換律”這個定律，但學生的理解大多停留在“加數交換位置，結果不變”“加數位置前后交換，結果不變”，為了能規范地引出“兩個數相加交換加數的位置，和不變”的定律，于是筆者追問一個問題：“加數+加數=”，學生迅速地明白自己的表述應修正成“和不變”。有時學生心里明白在語言表述上欠妥或成“默會知識”，教師就要因地制宜結合實際情況科學處理，使學生在思維的分叉處擰成一股繩。所以，教學不能只看到對與錯，要看到對與錯背后的成因，針對成因相機引導，讓“教”變為“不教”。

2. “容”錯在“融”錯中的“榮”錯

心理學家蓋耶指出：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學習時刻”。學生（抑或教師）的一個差錯，說不定正好是教師需要的用以幫助學生發現真知的東西。學生在課堂中出錯，教師不能視作沒有發生，不能打擊壓抑其成長，而應懷著一顆“容錯”的心，使學生處在“融”化錯誤的最佳狀態，讓學生快樂地從錯誤中走出來。授課教師內心已經意識到和誰對誰錯，或有經驗原因，或因面子需求，沒有正確引導那少部分學生走出“錯”的誤區。筆者想到以前在評講習題時，有這樣一題：“老鷹和小雞一共13只，被老鷹抓走2只，還有幾只小雞？”學生迅速地完成“13-2=11只”，這明顯是沒有把老鷹給去掉，連續提問5個學生都是這樣回答的，訓斥學生行嗎？不行。直接講也不行。古有“相克相生，相反相成”的哲學思想，既然學生出現了“錯”，就用“錯”的方法來解決。隨機找了13名學生來做這個游戲，把習題變為學生喜歡的游戲，即“習題”變“學材”，于是在扮演老鷹的學生身上貼有“老鷹”紙條，在小雞們身上貼“小雞”紙條，告訴他們游戲的規則，按照題意開始游戲，游戲重復了2遍，再詢問該題如何解答時，學生齊刷刷地舉起小手，正確地說出了答案，也領悟了該題的實際意義。對于一年級學生來說在說教行不通時，形象生動的實際活動效果最好，這與學生思維發展邏輯相關。筆者適時表揚學生該題雖然做“錯”了，但錯得值！讓學生從此明白一個道理：生活中的游戲可以幫助我們解決數學問題，并更好地學習數學。本來是做“錯”題的，但學生并沒有自慚，而是在“錯”中尋求真理，并以此為榮。

3. 教師的教學著眼點放在素養提升處，要為“教”而“不教”教學

教師要成為學生學習的優秀掌舵者。小學數學教師的數學觀念、數學知識結構、對數學思想方法的理解、對數學人文精神的領會都會在其實施數學教育過程中體現出來，從而影響到學生對數學的認識，影響到數學育人功能的發揮。教師的每一節數學課教學著眼點都應放在素養提升處，不能為教知識而教知識。

學生學科素養的提升，通過課堂教學進行是必要的手段，教師在課堂教學中不能僅僅為了“1+1=2”，而應探究“1”背后、“2”背后的內容，還要探究“1+1”為什么等于“2”等。也就是說教師的教學，不僅要關注課堂知識的掌握，最主要關注學生的可持續發展。課堂教學中總會出現這樣或那樣的美中不足，就要引導學生進行質疑，使學生養成質疑的好習慣，科學的發展是在質疑中前進的。為什么這節課練習中有學生填寫，有學生填寫，他們各自的理由是什么，這樣學生就會尋找出“一個整體”的含義，也許能從中發現分數基本性質的雛形。引導學生質疑要從數學角度用有條理的理性思維進行。筆者教學三角形穩定性時，引導學生思考為什么活動的板凳腿斜釘上一根木條，就不晃動了呢？學生在思考當中思維里有清晰的畫面，首先構成一個三角形，接著三角形三個頂點固定了，三角形大小就不變了，最后得出三角形大小不變就是三角形的穩定性。

數學教學不同于其他學科的教學，它有嚴謹性、科學性、發散性、發生性、生成性等特點，一名優秀的數學教師，不以教會學生知識為終極目標，而以引領學生形成自我的數學教育觀為數學生命的血脈。學生經過若干年的數學學習，對生活、對數學、對數學與生活有了全新的理解，能從數學角度思考生活，能從生活角度分析數學，這時學生的數學素養有多高就可想而知了！