全國名校解三角形測試題（A卷）

■河南省汝陽縣第一高級中學 劉俊報

一、選擇題

1.在△ABC中,下列等式正確的是( )。

A.a：b=A：B

B.a：b=sinA：sinB

C.a：b=sinB：sinA

D.asinA=bsinB

2.在△ABC中,已知,則角A為( )。

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.在△ABC中,內 角A,B,C滿 足,則cos 2A=( )。

4.以下關于正弦定理或其變形的敘述錯誤的是( )。

A.在 △ABC中,a：b：c=sinA：sinB：sinC

B.在 △ABC中,若 sin 2A=sin 2B,則a=b

C.在 △ABC中,若sinA＞sinB,則A＞B

D.在 △ABC中,

5.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若A=,a=3,b=2,則sinB=( )。

6.在△ABC中,A=60°,b=1,其面積為,則等于( )。

7.在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,若a=2bcosC,則△ABC的形狀是( )。

A.等腰三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.銳角三角形

8.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若a=,b=2,sinB+cosB=,則角A的大小為( )。

A.60° B.30° C.150° D.45°

9.在△ABC中,C=60°,AC=,AB=,則A=( )。

A.15° B.45° C.75° D.105°

10.在△ABC中,B=60°,AD是∠BAC的平分線,且交BC于D,BD=,cos∠BAC=,則AD=( )。

11.在△ABC中,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為( )。

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.等腰三角形

12.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,根據下列條件解三角形,其中有兩解的是( )。

A.a=2,b=3,A=30°

B.b=6,c=4,A=120°

C.a=,b=6,A=60°

D.a=3,b=6,A=30°

13.已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,AD為角A的角平分線,且交BC于D,B=,AD=,BD=2,則b=( )。

14.設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B,則a的值為( )。

15.在△ABC中,D是BC邊上一點,∠BAD=∠CAD=60°,BD=2CD=4,則tan∠ABC=( )。

16.在△ABC中,B=,M為AC邊上的一點,且BM=2,若BM為∠ABC的角平分線,則的取值范圍為( )。

17.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若△ABC為銳角三角形,且滿足b2-a2=ac,則的取值范圍是( )。

18.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別 為a、b、c,若a2tanB=b2tanA,則△ABC的形狀為( )。

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

19.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若3bcosC=c(1-3cosB),則sinC：sinA=( )。

20.如 圖 1,在△ABC中,已知A：B=1∶2,CD為∠BCA的平分線,且S△ACD∶S△BCD=3∶2,則cosA等于( )。

圖1

21.△ABC中,若,則△ABC中最長的邊是( )。

A.aB.bC.cD.b或c

22.在銳角△ABC中,已知a、b、c分別是角A、B、C的對邊,且,a=4,則△ABC面積的最大值為( )。

23.已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且(a2+b2-c2)·(acosB+bcosA)=abc。若△ABC的外接圓半徑為,則△ABC的周長的取值范圍為( )。

A.(2,4] B.(4,6]

C.(4,6) D.(2,6]

24.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,S表示△ABC的面積。若ccosB+bcosC=asinA,S=(b2+a2-c2),則B=( )。

A.90° B.60° C.45° D.30°

25.若△ABC為鈍角三角形,其中C為鈍角,并且A+C=的取值范圍是( )。

A.(1,2) B.(2,+∞)

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

26.在△ABC中,C=,BC=4,點D在邊AC上,AD=DB,DE⊥AB,E為垂足。若DE=,則cosA=( )。

27.在△ABC中,角Α、Β、C所對的邊分別為a、b、c,若,且b=,則下列關系一定不成立的是( )。

A.a=cB.b=c

C.2a=cD.a2+b2=c2

28.在△ABC中,已知a=x,b=2,B=60°,如果△ABC有兩組解,則x的取值范圍是( )。

29.在△ABC中,A=45°,a=λ,b=,那么滿足條件的△ABC( )。

A.無解 B.有一個解

C.有兩個解 D.不能確定

30.在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C的對邊,若△ABC的面積為S,且S=(a+b)2-c2,則。

31.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別 是a、b、c,若cosA=,a=3,且△ABC的面積為,則b+c=( )。

32.平面四邊形ABCD中,∠ABC=150°,AB=2BC,AC=13,BD⊥AB,CD=3,則四邊形ABCD的面積為( )。

33.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知,且b2+c2-a2=4,則△ABC的面積為( )。

34.在某個位置測得某山峰仰角為θ,對著山峰在平行地面上前進600 m 后測得仰角為原來的2 倍,繼續在平行地面上前進后測得仰角為原來的4 倍,則該山峰的高度為( )。

A.200 m B.300 m

C.400 m D.100 m

35.若△ABC的面積為(a2+c2-b2),且C為鈍角,則B的度數以及的取值范圍為( )。

36.已知△ABC的三邊長是三個連續的自然數,且最大的內角是最小內角的2倍,則最小角的余弦值為( )。

37.某炮兵陣地位于A點,兩個觀察所分別位于C,D兩點,已知△ACD為等邊三角形,且DC=。當目標出現在B點(A,B兩點位于CD兩側)時,測得∠CDB=45°,∠BCD=75°,則炮兵陣地與目標的距離約為( )。

A.1.1 km B.2.2 km

C.2.9 km D.3.5 km

38.某小區打算將如圖2的一直三角形ABC區域進行改建,在三邊上各選一點連成等邊三角形DEF,在其內建造文化景觀。已知AB=20 m,AC=10 m,則△DEF區域內面積(單位：m2)的最小值為( )。

圖2

39.趙爽是我國古代數學家、天文學家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的)。類比“趙爽弦圖”,可類似地構造如圖3所示的圖形,它是由3 個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形,設DF=2AF,則( )。

圖3

二、填空題

40.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,a=2,B=45°,若三角形有兩解,則b的取值范圍是____。

41.△ABC的三邊長是三個連續的自然數,且最大角是最小角的2倍,則此三角形的面積為_____。

42.已知△ABC的邊a、b、c的對角分別為A、B、C,若sinA∶sinB∶sinC=1∶∶1,則B=____。

43.若△ABC的周長等于20,面積是,A=60°,則BC邊的長是_____。

44.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c。若b=6,a=2c,B=,則△ABC的面積為_____。

45.已知△ABC的邊a、b、c的對角分別為A、B、C,若a＞b且,則角A的大小為_____。

46.在△ABC中,內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若,則B=____。

47.在△ABC中,邊a、b、c所對的角分別為A、B、C,若a2=b2+c2-3bc,sinC=2cosB,則A=_____,C=____。

48.在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,且,則AC邊上的高的最大值為____。

49.在銳角三角形ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對的邊,且,,且△ABC的面積為,a+b的值為____。

50.在銳角△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c。且則a+c的取值范圍為____。

51.鈍角三角形的三邊為a,a+1,a+2,其最大角不超過120°,則a的取值范圍是____。

52.在△ABC中,已知BC=8,cosC=,AB邊上的中線CD=,則sinB的值為____。

53.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,BC邊上的高為的最大值是_____。

54.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,其中最大的角等于另外兩個角的和,當最長邊c=1時,△ABC周長的最大值為____。

55.如圖4,四邊形ABCD中,AB=4,BC=5,CD=3,∠ABC=90°,∠BCD=120°,則AD的長為____。

圖4

56.已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=2,P為△ABC內一點,∠BPC=135°,則AP的最小值為_____。

57.如圖5,在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是_____。

58.△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,則下列命題正確的是_____。

圖5

①若sinAsinB=2sin2C,則；

②若a+b＞2c,則；

③若a4+b4=c4,則△ABC是銳角三角形；

④若(a+b)c＜2ab,則。

59.下列是有關△ABC的幾個命題：

①若tanA+tanB+tanC＞0,則△ABC是銳角三角形；②若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形；③若acosB+bcosA=b,則△ABC是等腰三角形；④若cosA=sinB,則△ABC是直角三角形。其中所有正確命題的序號是_____。

三、解答題

60.在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C所對的邊,且2csinB=3atanA。

(2)如果a=1,且角A最大時,試求△ABC的面積。

61.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且2acosB=2c+b。

(1)求A的大小；

(2)若△ABC的面積為,且其外接圓的半徑為,求△ABC的周長。

62.已知△ABC的三個內角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c,且cos2A+cos2Ccos2B=1-sinAsinC。

(1)求B的大小；

(2)若b=2,求△ABC面積的最大值。

63.如圖6,在△ABC中,D是邊BC上一點,AB=AC,BD=1,sin ∠CAD=3sin ∠BAD。

圖6

(1)求DC的長；

(2)若AD=2,求△ABC的面積。

64.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,設(sinB-sinC)2=sin2AsinBsinC。

(1)求A的大小；

65.在△ABC中,A、B、C的對邊分別a、b、c,A=60°,cosB=。

(1)若D是BC上 的 點,AD平分∠BAC,求的值；

(2)若ccosB+bcosC=2,求△ABC的面積。

66.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,且

(1)求角B的值；

(2)若b=且b≤a,求的取值范圍。

67.△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,并且

(1)求角B的值；

(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍。