確定排列片橫縱比的方法
——85%法則再分析

張 華 王梅生 李康虎 寧宏曉 韓志雄 辜 勇

(東方地球物理公司采集技術中心，河北涿州 072751)

0 引言

在本世紀初，地球物理工作者就提出寬方位采集概念并逐步嘗試。早在2003年前，凌云研究小組[1]通過對中國西部寬方位資料的研究，認為寬方位角地震勘探在巖性和方向性裂縫勘探領域具有廣闊應用前景。受當時設備條件和成本限制，寬方位高密度采集技術的推廣舉步維艱。凌云等[2]進一步分析了在上覆地層相對平緩、資料具有一定信噪比的情況下，寬方位比窄方位三維采集能獲得更高成像分辨率資料，并不需很高覆蓋次數，如60～80次。也有其他地球物理工作者根據中國東部灘海地區特點構建地質模型，對比寬方位與窄方位三維采集正演模擬資料，在上覆地層相對平緩、速度橫向變化不大的背景下，寬方位和窄方位三維采集都能實現地下目標可信的地震成像，且兩者的成像分辨率基本相當[3]。此階段地震資料評價僅限于成像效果，且前提是地質條件簡單的較高信噪比資料。

自從第七代十萬道級地震儀誕生后，“兩寬一高”地震采集技術、高效采集技術才真正得到推廣應用[4]。如在塔里木[5]、柴達木[6]、渤海灣[7]、準噶爾[8]、大慶[9]、吐哈[10]以及乍得邦戈[11]等盆地或地區都取得了較好應用效果。

寬方位采集技術也促進了處理、解釋技術的發展，如催生了面向寬方位地震數據的炮檢距向量片(OVT)處理技術[5]、寬方位角地震資料噪聲壓制技術[12]、寬方位層析速度建模技術、深度域成像技術[13]和針對斷層的“兩寬一高”地震資料[14]處理—解釋配套技術，這些技術日臻完善并被推廣應用。同時，寬方位高密度處理、解釋技術的進步也反推“兩寬一高”現場數據采集技術的逐步完善。

高密度寬方位采集技術是當今石油物探采集領域重要的方法創新，以此集成的“高密度寬方位地震勘探技術創新及重大成效”成功入選了2015～2016年“中國石油石化科技創新十大進展”。

寬方位地震采集的目的是獲取觀測方位、炮檢距和覆蓋次數分布盡可能均勻的三維數據體，但寬方位高密度觀測必然會帶來現場采集成本的大量增加。因此，研究高效便捷、經濟實用的觀測系統及相應的采集方法，就成為寬方位高密度地震采集設計的核心理念[15]，而其中三維排列片尺寸及其縱橫比的設計顯得尤為重要。

Cordsen等[16]給出了一種“折中”方法，這就是一直指導大家進行三維地震勘探觀測系統設計的“85%法則”——排列片縱向長度選擇為最大炮檢距長度的85%，橫向長度又選擇為縱向長度的85%。李慶忠[17]隨后指出“Andreas Cordsen主張排列片的最佳縱、橫比為85%，而沒有深入討論其缺點”，顯然此處的“缺點”有更寬泛的地球物理內涵。然而，Cordsen等二十多年前提出的85%法則，至今尚未見到有人深入分析其合理性并詳細論證何種排列片才是更經濟高效的？

本文質疑依據85%法則設計出來的排列片是否就是最佳排列片？進而探討是否還有其他更佳方案或能否給設計者更大的選擇自由度？因此，本文基于數學積分計算，得到基于最大炮檢距限制的有效和無效地震采集信息及其相對變化信息隨排列片縱、橫長度的函數關系，生成函數圖像； 通過研究函數圖像，提供有助于三維觀測系統設計的系列圖表。在數學推導過程中，剖析了Cordsen的“85%法則”； 提供了設定三維觀測系統排列尺寸和橫縱比更理想的方案。

1 數學模型

排列片通常縱向選為x方向、橫向為y方向，取排列片中心為原點，建立直角坐標系。以論證的最大炮檢距為半徑(R)畫圓，圓心與坐標原點重合(圖1)。

在三維采集設計時，根據動校拉伸限制、反射系數穩定性、主要目的層埋藏深度和實際資料效果分析等方面論證設定最大炮檢距。大于最大炮檢距的地震信號，由于動校拉伸畸變等原因，無益于偏移疊加成像，也會造成反射系數不穩定，在后期資料處理時常須切除大于最大炮檢距的信息。定義大于論證最大炮檢距的地震道信息為“無效信息”，小于最大炮檢距地震道信息為“有效信息”。

結合數學模型(圖1)，排列片在圓內部分接收道為采集有效信息，圓外部分接收道為無效信息。排列片右上角M點坐標為M(x′，y′)，該坐標值決定了排列片尺寸和橫縱比，即縱向最大炮檢距、橫向最大炮檢距及其比值。M(x′，y′)變化會引起采集有效信息和無效信息的面積變化。為研究方便，選取最大炮檢距長度R為單位1，則M(x′，y′)坐標即為排列片縱、橫向炮檢距與論證最大炮檢距的比值(倍數)。

圖1 通用數學模型

2 數學分析

2.1 坐標點M(x′，y′)在圓內或圓周上

從圖2可知，坐標點M(x′，y′)在外接圓內和圓周上時，采集到的數據都是有效炮檢距信息。考察圓周上四個點，它們構成的矩形的面積為

Srect=2Rsinθ×2Rcosθ=2R2sin2θ

(1)

圖2 點在圓周上的矩形排列片數學模型

2.2 坐標點M(x′，y′)在圓外

坐標點在圓內移動，最大采集面積僅為圓面積的64%，這顯然是不夠的。希望在圓外尋找合適點，使采集的有效信息(灰色面積)盡可能地多，無效信息(ABM)盡可能少(圖3)。當x′、y′大于1(R)時，增加的均為無效信息，故坐標點M(x′，y′)取值范圍應在圓外、且在正方形OCxCCy之內區域。較合理的數學方程式是以(x′，y′)為自變量，以有效信息面積Sv和無效信息面積Sinv及其間的差值Sv-inv、比值Sinv/v為因變量，建立二元函數關系，分析隨M點變化時有效信息和無效信息的變化規律。因四個象限是對稱的，故只需研究第一象限即可。

圖3 點在圓外的矩形排列片數學模型

(2)

有效信息面積為

(3)

有效信息面積減去無效信息面積，可得

(4)

式(2)反映了M點位置變化引起的無效信息面積變化； 式(3)反映了M點位置變化引起的有效信息面積變化； 式(4)反映M點位置變化有效信息面積與無效信息面積相互關系的變化。這三個函數式較為復雜，很難用求導法或極值法等數學手段了解它們隨M點移動的變化規律。隨后分析函數值隨M點的移動的空間變化規律。為了表達方便，以下文(圖表)中x′、y′均用x、y代替。

2.3 數據分析

圖4為無效信息面積Sinv變化函數圖，鄰近圓周的點的Sinv值接近0或非常小； 隨著M點遠離原點O，無效信息急劇增加，且沿OC方向移動，增加速度最慢，OC是Sinv圖形下凹軸線。

圖5為有效信息面積Sv函數圖，M點在x軸或y軸上時面積為0，隨著遠離坐標軸面積迅速增加。與圖4相反，Sv是個上凸形狀，OC為高點軸線。但隨著M點接近C點，Sv增加變慢。M點在圓周上移動時，射線OC與圓交點處有效信息面積最大，佐證了2.1節結論。

圖4 無效信息面積變化函數圖

圖5 有效信息面積變化函數圖

圖6是無效信息與有效信息面積函數疊合圖，在軸線部位Sinv表現為向下凹，Sv表現為上凸。這為M點最佳位置選擇提供了思路。

圖7是據式(4)得到的Sv-inv函數圖，可見并不是M點移動到C點函數達到極大值； 連接OC，從與圓周的交點到C點，考察函數Sv-inv在OC向的方向導數，數值由大逐漸變小，至“0”，再到負值。函數在OC向的方向導數巧妙地反映了有效信息與無效信息相對空間變化。隨著遠離中心點，有效信息面積雖然持續增加，但增加的“加速度”逐漸減小，且在到達極值點前比無效信息面積增加的快； 再往C點方向移動，有效信息面積增加逐漸變慢，無效信息面積的增加卻逐漸加快； 在達到最大值時，有效信息面積增量與無效信息面積增量相同，極值點附近區域都是函數值變化平緩帶； 從極值點到C點，為無效信息面積增量大于有效信息面積增量的區域。

圖8是函數Sv-inv數值的等高線平面圖，反映了函數Sv-inv空間梯度變化。連接對角線OC，發現等高線是關于OC軸對稱的，在趨向極大值點前，沿著OC方向等高線最密，也是函數Sv-inv增長最快的方向。

圖6 無效信息與有效信息面積變化疊合圖

圖7 有效信息面積與無效信息面積差函數(Sv-inv)圖

圖8 Sv-inv函數等高線平面圖

3 確定排列片橫、縱參數

三維地震采集排列片橫、縱參數包括排列片橫、縱長度和橫縱比兩個方面。由2.3節分析可知，M點應選擇在圖8等高線最密處，有效信息面積增加速度遠大于無效信息面積增加速度； 極值對應的點為T(0.895，0.895)。當設計排列片的縱、橫向炮檢距大于該極值點坐標時，有效信息面積增加速度迅速減小、而無效信息面積迅速增大。因此，設計時應盡量避免使縱、橫向炮檢距大于論證的最大炮檢距的0.895倍，點T也被稱為90拐點。

Cordsen等提出的85%法則在圖8中如紅線交點所示，排列參數對應的Sv=0.5999，Sinv=0.0142，Sv-inv=0.5857。排列片有效面積相對于R圓面積為4Sv/π=76.4%，該比值并不等于Cordsen等提出的78%[16]，而85%法則點和原點構成的矩形面積與四分之一圓面積比為0.85×0.852/(π/4)=78%，該比值顯然包含了無效信息的面積，可見Cordsen在提出85%法則時，并沒有經過嚴謹的微積分計算； 其所有數值都是基于幾何學關系近似求得，“85%法則”雖然較為理想，但數學論證并不充分、系統。

當M點移動至C點時，排列片相當于最大炮檢距半徑圓的外接正方形(圖2)，這時Sv=0.785，Sinv=0.215，則Sv-inv=0.570，排列片無效信息面積相對于R圓面積為4Sinv/π=27%。

除27%無效信息面積外，外接正方形排列片還存在一個隱形的無效信息面積，即當接收線距較大時，最外邊的第一條排列與圓相切的有效信息只有一道，而這一道占據了第二條排列與圓弧(切點)構成的有效信息面積。造成實際的無效信息與R圓面積之比大于27%的情況。接收線距越小，比值越接近27%。

因此，排列片長和寬不應大于論證的最大炮檢距的0.895倍(M點沒超出T點與坐標軸構成矩形的范圍)。

用面積絕對差值函數還不能直接反映無效信息相對于有效信息面積大小。圖9是無效信息面積除以有效信息面積函數Sinv/v的函數值空間分布圖。與Sinv圖像有些相似，反映出在M點移動過程中，無效信息面積變化影響函數Sinv/v較大。

圖9 Sinv/v函數圖

將Sv-inv函數等高線與Sinv/v函數等高線疊合起來(圖10)，取名為排列片橫縱參數量板，圖中藍線為Sinv/v函數等值線，色標值為Sv-inv值(為顯示效果，圖件在前文等高線圖基礎上抽稀一半)。為最大限度增加有效信息面積和減少無效信息面積，M點最佳選擇區域應為Sv-inv等值線密集且穿越Sinv/v(藍)函數等值線值盡可能小、線數盡可能少的區域，即理想區域是等高線與OC交點附近(T點前)，最佳位置點在等值線與OC交點上。

圖11在量板上標注了85%法則點對應的M點位置，可見85%法則雖較為理想，但不是最經濟的，沿0.5858等值線靠近OC線，都是不錯的選擇。

圖10 排列片橫縱參數量板

圖11 Sinv/v(藍)與Sv-inv函數等高線疊合圖

結合排列片橫縱參數量板，提供兩個表格供三維設計參考，表1是空間20×20個樣點的無效信息面積Sinv真值表，對角線連線即為OC連線，對角線上真值都較左右數值小；表2為有效信息面積Sv真值表，對角線上真值都較左右數值大。所以，觀測系統設計從經濟效益來說，沿對角線是最佳選擇，這時排列片橫縱比為1。實際應用中，結合勘探地質任務和設備條件，可在對角線附近數值差別不大范圍內選擇排列片橫、縱長度和比例。

表1 無效信息面積Sinv真值表

表2 有效信息面積Sv真值表

在實際運用中，還可以根據式(2)～式(4)制作更加精細表格和不同精度的量板。

4 結束語

在觀測系統設計時，一方面考慮盡可能多地獲取各個方位的有效炮檢距信息，另一方面還要考慮盡可能減少大于有效炮檢距的道數所占的比例。Cordsen給出了觀測系統設計的雙“85%”法則，但未給出嚴格的論證。數學計算證明，只要縱橫向最大炮檢距小于設計的最大炮檢距的0.895倍，就可以達到既盡可能多地獲取有效信息又最大程度減少無效信息的目的。所提供的“一板二表”是三維觀測系統設計的經濟效益參考指標，對寬方位高密度觀測系統設計具有一定的指導作用。通過分析也說明，在“兩寬一高”實施中，如果縱、橫向最大炮檢距均取為工區論證的最大炮檢距，橫縱比選為1，至少27%的采集信息都是無效信息，從經濟效益角度考慮是不科學的。