薄壁圓筒強度計算的相對誤差分析

黃 云，林鴻志，杜長城

(1.西南石油大學 機電工程學院，成都 610500，2.西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031)

圖1 薄壁圓筒受扭示意圖

圖2 薄壁圓筒受內(nèi)壓示意圖

在求解薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)和受內(nèi)壓的強度時，如果直徑選擇不恰當，其相對誤差將大于工程中所允許的5%。在有些材料力學教材中，其近似計算公式中直徑的選擇也沒有給出合理的解釋，因此,很有必要討論材料力學中薄壁圓筒受扭和受內(nèi)壓作用時其強度公式中取不同直徑的相對誤差，以便確定近似公式中應選何種直徑。在材料力學中，薄壁圓筒的定義與薄壁圓筒的變形形式有關(guān)[1-3]，(1)薄壁圓筒受扭時：t/D1/20的圓筒才為薄壁圓筒，其中t為薄壁圓筒的壁厚；D為薄壁圓筒的平均直徑Dm，如圖1所示。(2)薄壁圓筒受內(nèi)壓時：D為薄壁圓筒的內(nèi)徑Di。在壓力容器中[4-5]，Do/Di1.2稱為薄容器，如圖2所示。

1 薄壁圓筒的強度計算及相對誤差分析

1.1 薄壁圓筒受扭時其強度計算和相對誤差分析

1.1.1 薄壁圓筒受扭時應力分析

在材料力學中假設薄壁圓筒橫截面上的切應力均勻分布，其切應力τ可近似表示為[6]：

1.1.2 薄壁圓筒受扭時應力相對誤差分析

如取λ為壁厚與平均直徑之比(λ=t/Dm)，式(3)可表示為：

(式4)。

由式(4)可知，當0<λ1/20時，δ1為增函數(shù)，可以得出，在薄壁圓筒受扭時，壁厚與平均直徑之比越小，采用(2)式計算其切應力與最大切應力的相對誤差越小。即滿足薄壁圓筒的條件下，相對于平均直徑，壁越薄，采用(2)式計算其應力相對誤差越小。

現(xiàn)討論用式(2)來近似計算τmax，如式(2)中D取不同的直徑，其相對誤差的最大值(即D/t=20時)如表1所示。

表1 薄壁圓筒受扭D取不同的直徑最大的切應力的相對誤差

由表1可知，薄壁圓筒受扭時，采用式(2)來近似計算其最大切應力，如式中D取平均直徑Dm，此時的相對誤差小于5%。如取內(nèi)徑Di，其相對誤差已大于5%，如取外徑Do時，其相對誤差高達14.025%，所以，式中的D取薄壁圓筒的平均直徑Dm才相對合理。

圖3 薄壁圓筒受內(nèi)壓示意圖

1.2 薄壁圓筒受內(nèi)壓時其強度計算和相對誤差分析

1.2.1 薄壁圓筒受內(nèi)壓時的應力分析

(1)軸向應力

如圖3(a)所示的薄壁壓力容器厚度為t，內(nèi)徑為Di，受內(nèi)壓p作用，現(xiàn)討論其軸向應力、周向應力和徑向應力。

在材料力學中，由于壁厚遠小于直徑，其橫截面面積近似取為A=πDt，則其軸向應力為[7]：

(2)周向應力和徑向應力

1.2.2 薄壁圓筒受內(nèi)壓時應力相對誤差分析

(1)薄壁圓筒周向應力相對誤差分析

(2)薄壁圓筒軸向應力相對誤差分析

(3)薄壁圓筒強度理論等效應力相對誤差分析

在滿足薄壁圓筒的前提下，以碳鋼為例，取材料的泊松比υ=0.3，δ4b的最大相對誤差(即Di=20t時)為6.336%。

在滿足薄壁圓筒的前提下，δ4c的最大相對誤差(即Di=20t時)為4.545%。

在滿足薄壁圓筒的前提下，δ4d的最大相對誤差(即Di=20t時)為4.414%。

現(xiàn)討論式(6)、(11)中直徑取不同的直徑所引起的最大相對誤差(即Di=20t時)如表2所示(在計算δ4b時泊松比υ=0.3)。

表2 薄壁圓筒受內(nèi)壓材料力學中近似公式中直徑取不同的直徑引起的相對誤差

由表2可以看出：在計算軸向應力時，取內(nèi)徑最為合理，如取平均直徑和外徑，其相對誤差遠大于5%，是不合理的；在計算周向應力時，材料力學中取平均直徑時相對誤差最小，也最為合理，如取內(nèi)徑和外徑是其相對誤差仍小于5%，仍可取；在計算等效應力時，取平均直徑相對誤差最小，如取內(nèi)徑和外徑，除第二強度理論等效應力取內(nèi)徑時的相對誤差大于5%以外，其它等效應力的相對誤差均小于5%，仍可取。取平均直徑相對誤差最小的主要原因是薄壁圓筒受內(nèi)壓時內(nèi)表面上危險點的三個主應力中σ1為周向應力，而且周向應的絕對值遠大于其它兩個主應力，因此周向應力的相對誤差起主導作用，通過分析周向應力在取平均直徑時相對誤差較小，僅為0.226%，因此，薄壁圓筒受內(nèi)壓在計算等效應力時取平均直徑更為合理。

2 結(jié)語

通過前面的分析可知，在材料力學中薄壁圓筒受扭以及薄壁圓筒受內(nèi)壓進行強度分析時必須正確的選取直徑，其相對誤差才能最小并滿足工程的要求，其具體結(jié)論為：

(1)薄壁圓筒受扭采用式(2)近似計算切應力應選薄壁圓筒的平均直徑Dm。

(2)薄壁圓筒受內(nèi)壓采用式(6)近似計算軸向應力應選薄壁圓筒的內(nèi)徑Di。

(3)薄壁圓筒受內(nèi)壓采用式(11)近似計算周向應力應選薄壁圓筒的平均直徑Dm。

(4)薄壁圓筒受內(nèi)壓計算四種強度理論的等效應力時應選薄壁圓筒的平均直徑Dm。