淺談平面解析幾何中比例問題的常見題型和解題方法

張楚寧 沙伯胤

【中圖分類號】G633.66 ? ? ? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）18-0295-02

前言

解析幾何是用代數方法研究幾何對象的關系和性質的一門學科。作為解析幾何的一大分支，平面解析幾何在歷屆高考中占有超過百分之二十的比重，重點考察學生們的方法選擇、計算能力和綜合思維能力。其中，求解元素之間的數值比例關系是考試十分常見的一種題型。本文著重以三種不同的例題為案例，就該類問題常見題型和解題方法做以簡要論述。

平面解析幾何離不開圓錐曲線，因此在高考中該類型題目第一問一般是圓錐曲線方程或者直線方程，從而使得方程求解是解出整題的基礎。方程求解不難，但是要注意在高考難度逐漸降低的形勢下，題目中出現的“文字游戲”則十分考察考生細心程度，所以不要輕視第一問。以下對于解題思路的討論均是建立在第一問解答正確基礎上。

平面解析幾何的比例問題大致可分為兩類，即：面積和邊長之比問題，角度之比問題。分別論述如下。

2.解題方法。

無論是三角函數值還是角度值，在我們應用了上述理論公式后，多會化為邊長之比的問題。由于涉及到三角函數值，我們不難想到平面向量公式中存在著帶有三角函數值的子項。故這類題利用向量法反而更加簡便。由于向量內積公式中存在一個夾角余弦值，我們只需要表示出各個點的坐標，利用向量內積逐個求出余弦值，而后轉換為我們熟悉的邊長之比問題，得出答案。

3.易錯知識點。

此題雖然少見，但是十分容易出錯。由于涉及到大量的三角函數計算，難免會出現由于向量法較為簡便，學生在使用向量法的時候可能會出現忘記“末減初”的問題，而向量模長的大量計算，再加上待定系數的介入，進一步考驗計算和邏輯的嚴謹性，加大了正確解題的難度。

4.建議。

解題思路依舊是往我們熟悉的問題上靠攏。把三角函數值這層“外衣”剝去是永恒的目標。靈活的利用向量法，能在解題路線上提供一條捷徑。

三、結論

比例問題作為平面解析幾何考試題型中常見問題，本質上仍是脫離不了高考試卷中“側重基礎知識和計算”的主旨。

1.比例問題屬于解析幾何題目中計算量比較大的題目，但是思維量不大，考驗的是細心和耐心。其側重基礎計算和基礎公式的熟練程度，學生需要重視平時的習題演練。

2.歸納總結，舉一反三。通過典型題型、典型問題，剔除題型描述中文字部分的干擾，及時歸納總結，為將來學習高等數學等學習打好基礎。

3.比例問題的基礎是邊長之比問題。能夠靈活的處理各種邊長之比問題后，努力將其他問題轉換為邊長問題予以求解。

4.比例問題在平面解析幾何中，突出體現了幾何與代數的結合關系，需牢記點、線、面三者關系，樹立起坐標系中的平面幾何圖形概念。

作者按：

在當今高考的形式下，全卷越來越重視基礎知識的考察。高考卷中最后壓軸的三道大題的類型一般為：數列、立體幾何、平面解析幾何。相比與數列題型考驗的思維新穎性、立體幾何題型考驗的空間思維想象能力，解析幾何在思維量上講無疑是最小的。因此，此類型題目更考驗扎實的基礎和嚴謹的計算證明。而這一點，大部分學生都可以通過訓練而做到極致，從而使得此道壓軸大題變成必拿分題型。本文旨在總結常規的思路和公式方法，文中也反復強調——大量的基礎練習才是解題的重中之重。