空間低溫杜瓦瓶凱夫拉支撐結構多約束優化設計

王國鵬，李建國，趙雅楠，洪國同

(1. 中國科學院理化技術研究所空間功熱轉換技術重點實驗室，北京100190；2. 中國科學院大學，北京100190)

0 引 言

對低溫制冷技術的需求隨著紅外探測、低溫超導、航空航天等前沿科技的發展越來越廣泛。傳統低溫制冷技術包括機械制冷機以及低溫液體貯存杜瓦瓶。其中機械制冷機由于存在振動、功耗需求較大以及低溫下制冷量較小等限制，難以在一些特殊的空間場合應用，因此低溫液體貯存杜瓦瓶依然是空間主流制冷技術[1]之一。在低溫杜瓦瓶設計中，漏熱損失是衡量其性能的重要指標，而通過支撐結構進入杜瓦瓶的熱量占到了漏熱損失的30%以上。除此之外，支撐結構還必須保證系統結構具有足夠的力學穩定性。這就要求杜瓦瓶結構本身足夠穩定，同時，所采用的支撐材料在低溫下具有較高強度以及較低的熱導率。而針對空間應用的低溫杜瓦瓶其支撐材料還要求具有較輕的質量以降低發射成本[2]。傳統低溫杜瓦瓶的支撐結構多從減小漏熱損失角度考慮，因而在其力學性能方面做出了一定妥協，能夠基本滿足地面使用要求，卻難以適應航天器發射及空間復雜外部環境。而目前對于低溫杜瓦瓶支撐結構的熱力學性能的耦合研究涉及較少，絕大多數分析都將支撐結構的力學分析和熱學性能分別進行研究。Kittel[4]對柔性繩索結構以及桿系結構的支撐采用一維簡化模型進行分析，并在此基礎上比較了二者的漏熱損失。Bushnell[5]對火箭低溫燃料貯箱采用的剛性、柔性以及被動軌道斷開式管型支撐(Passive orbital disconnect struct,PODS)三種支撐的性能進行了比較分析。Hopkins[6]則以COBE衛星杜瓦瓶為背景，分別采用柔性支撐帶及PODS兩種支撐形式進行了結構設計，并對兩種形式的力學性能及漏熱損失分別進行分析，認為柔性支撐帶更適合于液氦及液氫杜瓦瓶，而PODS結構更適合于液氮及液氧杜瓦瓶[3-6]。吳紅[7]針對某超導磁體設計了采用柔性拉帶的冷質量支撐結構，建立了相應的力學模型，在此結構上分析了其漏熱損失。除此之外，還有學者針對不同的支撐形式及材料進行了較多研究[8-10]。近年來，一種新型的高分子材料對位芳綸纖維(凱夫拉),由于其極低的熱導率以及優異的力學性能而在低溫系統中獲得了越來越多的關注。其與不銹鋼材料的性能對比如表1所示。英國的詹姆·斯克拉克·麥克斯韋望遠鏡(JCMT)、美國SABER紅外探測器組件等結構均采用了凱夫拉纖維并設計了相應的支撐形式[11]。

表1 材料性能對比Table 1 Comparison of the material property

圖1所示為凱夫拉繩索的拉伸試驗，圖1(a)為分別采用了四股及兩股纖維原絲合股成的繩索及測試工裝，圖1(b)為通過拉伸試驗機測出的拉伸試驗曲線。從試驗結果來看，2股凱夫拉原絲合股的最大拉力達到了380 N，而4股凱夫拉原絲合股的最大拉力達到了大約980 N(實際最大拉力與纖維合股時加捻程度也有關系，此處僅為說明凱夫拉力學性能，工程應用時應加以注意),充分表明了凱夫拉纖維優越的力學性能。

圖1 凱夫拉纖維測試工裝及拉伸曲線Fig.1 Test specimens and tensile curve of the Kevlar fiber

文章針對空間用小型低溫杜瓦瓶采用凱夫拉纖維設計了繩索支撐結構，進行了纖維的拉伸試驗，并從漏熱損失和力學性能耦合角度建立了數學模型，在其固有頻率、熱應力以及發射環境應力約束條件基礎上，通過一種新的“離散點加密”的約束優化方法，對其進行了最優化設計。

1 支撐結構設計及數學模型構建

1.1 模型構建與簡化

杜瓦瓶內膽外筒均為圓柱狀結構，支撐結構采用空間杜瓦瓶常見的柔性繩索上下對拉形式，繩索呈一定空間角，能夠承受來自三個方向上的拉力。上、下半部分各六根繩索與杜瓦瓶內膽接觸位置分別在同一橫截面內。在這一思路下，可得系統支撐結構的物理模型如圖2(a)所示，其實際驗證結構如圖2(b)所示。結構由外筒、凱夫拉繩索、內膽以及凱夫拉繩索與杜瓦瓶外筒及內膽的連接接頭組成。

為便于分析，將杜瓦瓶實際結構進行適當簡化。忽略支撐結構的冷端與熱端接頭，認為二者分別鉸接在杜瓦瓶外筒和內膽上；由于凱夫拉繩索質量極輕，因此在分析中將其質量忽略，在外筒及內膽結構參數確定的情況下，可得出確定支撐結構所需的設計參數為：杜瓦瓶內膽支撐結構接觸點上端點到杜瓦瓶重心所在橫截平面的距離Ls；支撐繩索水平角θ；支撐繩索傾斜角γ；支撐繩索的橫截面積A；每個支撐上所需施加的預緊力F，即確定支撐結構需要上述Ls，θ，γ，A，F共五個參數。在上述假設下，通過支撐結構的漏熱量可以表示為：

q=NKAΔT/L

(1)

式中：N為支撐數目，K為凱夫拉繩索熱導率，A為繩索橫截面積，L為凱夫拉繩索長度，ΔT為繩索兩端溫差。

根據圖2所示模型，可得出繩索長度L為平面角θ及傾斜角γ的函數：

(2)

圖2 系統實際支撐結構圖Fig.2 Actual support structure of the system

1.2 約束條件

1.2.1熱應力約束

低溫燃料貯箱在加注低溫液體時繩索結構應滿足一定的熱應力約束條件[12]。考慮由于杜瓦瓶內膽、外筒的熱膨脹系數不同而在支撐結構上產生的應力，表達式如式(3)～(6)所示：

(3)

σpre=Eε2+F/A

(4)

σpre/σmax≤1

(5)

εr=ε2+F/EA>0

(6)

其中，ε2為貯箱沿繩索方向上的應變，α2為貯箱材料的熱膨脹系數，σpre為繩索上的應力值，式(5)表示繩索上的應力值應當小于抗拉強度，式(6)表示繩索上的應變不能為零。而由于凱夫拉繩索在低溫下會發生膨脹，其應變應當被考慮進去，表達式如式(7)所示：

(7)

其中，α1為凱夫拉材料的熱膨脹系數。因此表達式(4)、(6)修正為：

σpre=E(ε2+ε1)+F/A

(8)

(9)

1.2.2發射環境下的應力約束

空間用杜瓦瓶要經歷嚴苛的發射環境，在發射環境下，系統在水平及豎直方向要承受大約10g的加速度。此時需要保證受拉繩索應力值σlau小于最大許用應力，同時繩索上的應變ecri不能為零(即繩索不能松弛)。因此，繩索支撐結構應滿足一定的應力約束條件,表達式如式(10)～(13)所示:

σlau/σmax≤1

(10)

σlau=Eelau

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

其中，elau,eaxi,elat分別為繩索上的總應變以及沿杜瓦瓶中軸線方向和垂直中軸線方向的應變分量，Q為重力加速度倍數，在式(12)及式(13)中，總應變作保守處理，即橫向應變、軸向應變絕對值與預緊力應變三者之和大于零，而預緊力應變與橫向應變及軸向應變之差大于零。式(14)、式(15)分別為繩索在加速度條件下的軸向應變與徑向應變表達式，由結構在徑向和軸向的應變能公式得到。此外，在進行分析時，模型還應當滿足以下自然條件限制：

(16)

1.2.3固有頻率約束

空間用低溫杜瓦瓶其固有頻率應當滿足一定要求，以避免在外界環境下發生共振而使結構遭到破壞。系統固有頻率與支撐結構的形式密切相關。將結構模型置于圖2所示坐標系下，根據第1.1節中所做假設，系統的總動能及應變能可以表示為：

(17)

(18)

x=Xsin(ωt+φ)

(19)

其中，X與ω為主振型與固有頻率，根據主振動表達式可得最大動能與勢能分別為

(20)

由于主陣型之間的正交性，系統的動能(勢能)等于各階主振動單獨存在時系統的動能(勢能)之和，系統機械能守恒

T=U

(21)

根據式(22)可得出系統某階主振動的固有頻率為

(22)

固有頻率約束條件可以表示為

ωmin≥fs

(23)

式中:fs為固有頻率下限值。

2 多約束優化設計方法及求解分析

由第1節分析可知，支撐結構的漏熱損失受結構參數及材料物性參數限制，其優化需要滿足集中約束條件的限制，因而模型可以量化為多約束條件下的優化設計問題。其中以漏熱損失作為被優化函數，而此優化函數受到條件(5)、(6)、(9)、(10)、(12)、(13)、(16)、(23)約束，其中式(23)中固有頻率約束6個，式(16)中共5個約束條件，因此函數共受17個約束條件限制，并且其中約束條件多為非線性。針對此類約束優化問題，有多種方法可以進行，例如可行方向法、罰函數法、二次規劃法等[14-16]，然而這些優化方法需要選取滿足約束條件的初始值，并且往往只能給出初始值附近的局部最優值。支撐結構模型中共5個變量，約束條件較多，并且滿足約束條件的初始值范圍較大，直接選取某一初始值進行計算，難以得出約束條件范圍內的最優解。因此，對模型采取所謂“離散點加密”的方法：首先對5個變量中的每一自變量，在其取值范圍內從下限到上限按順序取有限個值N，此5個自變量將會組成N5組初始值，再將這些初始值按滿足約束條件與否進行篩選，選出滿足所有約束條件的初始值組合，這些組合稱為“離散點”，對篩選出的所有離散點組合分別求解最優值，再將所有最優值進行比較，選出最小值作為第一輪計算的最優值，此后進行第二輪計算，此輪計算中，將N的個數加倍，也即加密離散點個數，而后重新進行計算，以后的每輪計算中，每次將N的個數加倍，重復計算最優值，當計算出的最優值不再隨加密次數發生變化時，認為所取得的優化值為約束條件范圍內的最優值。這種方法相當于通過取遍滿足條件的取值組合來比較得出最優結果，從而避免了因局部優化導致的最優值遺漏。圖3為程序計算框圖。

圖3 算法流程圖Fig.3 Flow chart of the algorithm

優化函數的表達式歸結如下：

minf(Z),Z∈Rn

s.tgi(Z)≤0,j=1,2,…,p

(24)

式(24)中，f(Z)為目標函數，即需要被優化的參數，此處為支撐結構的漏熱損失，gi(Z)為受約束的邊界條件，此處為支撐結構的發射應力及熱應力約束條件以及固有頻率約束條件。支撐結構的目標函數為式(1)，而式(5)、(6)、(9)、(10)、(12)、(13)、(16)、(23)構成本方法中的約束條件。在此將邊界條件中的五個參數表示為向量Z：

(25)

則目標函數漏熱量可以表示為：

q=f(Z)

(26)

所有邊界條件整合后如式(27)所示。通過Matlab軟件工具箱內的fimcon函數作為局部優化函數，同時編寫離散點加密程序進行計算。在給定一組初值的情況下，可得到目標函數的變化值如圖4所示，設計參數的迭代變化值如圖5所示，各約束條件的迭代變化值如圖6所示。

(27)

圖4 漏熱損失Fig.4 Heat leakage

圖5 設計參數計算結果Fig.5 Computations of design parameters

圖6 約束條件值計算結果Fig.6 Computations of the constraint values

從圖4可以看出，在自變量離散點個數從0增加到5時，支撐結構漏熱損失從0.0073 W逐步下降到0.0046 W，由于共5個設計參數，此時所計算的參數組合數共55組；當離散點個數從5增加到11時，參數組合數變為115組，而漏熱損失的計算值已經基本不再發生變化，由于逐步進行離散點加密已不能改變漏熱量的優化值，此時認為漏熱損失已達到全局最優值。圖5為5個設計參數隨離散點增加的變化曲線，為表達方便，各參數分別作了按比例放大或縮小處理。對比圖4可以看出，當漏熱損失隨離散點數增加趨于平穩時，設計參數并沒有一同趨于某一平穩值，而是在不同離散點處發生不規則跳動，但所有取值均處于取值范圍內。如Ls取值隨離散點個數增加呈現出先增加后下降進而進一步增加的趨勢，無明顯規律可循。圖6為各約束條件計算值隨離散點數增加的變化曲線，改變后的約束條件值中，各階固有頻率均大于100 Hz，均滿足大于100 Hz的下限，熱應力約束條件值以及發射應力約束條件值在0.2～0.5范圍內波動，均小于1。但同圖5類似，隨離散點數增加同樣沒有明顯規律，即使在離散點加密到目標函數優化值已不再變化時，設計參數和約束條件值依然有劇烈跳動。

圖5及圖6的計算結果表明了兩點，首先，在多個非線性的約束條件下，目標函數的局部最優值分布很廣，并且局部最優值所對應的設計參數之間并無太大關系，從而證明了從單一初始值進行優化尋找最優值可能會導致最優值遺漏，而采用“離散點加密”方法通過最大限度地獲取初始值組合并通過比較局部最優值從而得出取值范圍內最優值方法的有效性。再者，圖4所示結果也表明了目標函數取得的最優值可能對應存在多組滿足約束條件的設計參數。在這種情況下，可以根據力學性能要求或者實際結構特點來決定所采用的最佳設計參數組合，同時也表明了采用取值范圍內離散點加密計算的必要性。通過計算點加密來對所有可能的局部優化值進行掃描，這樣能夠避免采用單組優化函數所造成的優化值遺漏，從而找出約束條件取值范圍內的最優值。

3 結 論

對一種空間低溫杜瓦瓶支撐結構采用高強度低熱導率的凱夫拉纖維繩索進行了設計，并進行了合股纖維的拉伸試驗，在此基礎上建立了支撐結構在發射環境下的熱力學優化模型，利用離散點加密聯合局部優化函數的方法得出了最優設計。結果表明此種優化分析方法能夠在滿足力學環境條件的前提下找出全局范圍內的最小的漏熱損失，同時可根據設計要求來選擇最佳設計參數。本文中的建模及優化方法將杜瓦瓶支撐結構的熱學性能與力學設計耦合進行考慮，為空間杜瓦瓶的設計提供了參考。