淺析電磁感應“單桿導軌”模型中的基本規律

楊學云

(重慶市云陽縣教育科學研究所，重慶 云陽 404500)

1 發電式導軌的基本特點和規律

如圖1所示,間距為l的平行導軌水平放置,與電阻R相連,裝置處在大小為B,垂直于導軌平面向上的勻強磁場中,質置為m,電阻為r的導體棒在恒定拉力F的作用下,從靜止開始沿導軌運動,導體棒與導軌的動摩擦因數為μ,像這樣的導軌模型稱為“發電式導軌”．

(1) 電路特點.

圖2

導體棒運動切割磁感線,產生感應電流,導體棒等效為電源,電動勢大小由導體棒的運動速度決定,即E=Blv．速度增大,速度變化率減小,電動勢減小,電流減小．通過導體棒電荷量-時間圖像如圖2所示．

(2) 安培力的特點.

導體棒在磁場中受到安培力作用,方向與導體棒相對運動方向相反,安培力為阻力,大小為

由此可知,F安與v成正比．

(3) 加速度特點.

根據導體棒運動時受力如圖3所示可得加速度

加速度隨速度增大而減小,導體棒做加速度減小的加速運動．最終勻速運動．時間-速度圖像如圖4所示．

圖3

(4) 兩個極值.

(5) 勻速運動時能量轉化.

當導體棒以最大速度運動時,拉力的機械功率等于安培力功率(電功率)和摩擦力功率之和．

PF=P安+Pf，

(6) 導體棒開始運動到最大速度過程中:

① 設導體棒在恒定拉力F的作用下開始運動到最大速度經歷時間為t0,設水平向右為正方向,對導體棒應用動量定理

(1)

通過導體棒的電荷量

(2)

(3)

由(1)～(3)式得

Ft0-umgt0-Blq=mvm.

(4)

由(1)～(4)式求得通過導體棒的電荷量

② 在時間t0內通過導體棒的電荷量有

可求出導體棒運動的位移

③ 當導體棒開始運動到最大速度過程中,能量轉化和守恒定律

(5)

由(5)式得系統產生的焦耳熱量

電阻R產生的焦耳熱量

2 電動式導軌的基本特點和規律

圖5

如圖5所示,間距為l的平行導軌水平放置,與電動勢為E、內阻為r的電源連接,處在大小為B、豎直向上的勻強磁場中．質量為m,電阻為R的導體棒從靜止開始沿導軌運動,與導軌的動摩擦因數為μ．像這樣的導軌模型稱為“電動式導軌”．

(1) 電路特點.

導體棒與電源構成一個回路,導體棒在安培力作用下運動，切割磁感線,從而產生反電動勢,方向與原電流方向相反,如圖6所示,電路總電動勢、電流減小．通過導體棒電量——時間圖像如圖7所示．

圖6

圖7

(2) 安培力特點.

導體棒在安培力作用下運動,安培力充當動力，大小為

(3) 加速度特點.

圖8

當v增大時,I減小,F安減小，導體做加速度減小的加速運動，最終勻速，速度-時間圖像如圖8所示．

(4) 兩個極值.

當v=0時,E安=0，電流、安培力和加速度最大且分別為

當a=0時,∑F=0,速度最大,電流最小,安培力最小．

(5) 勻速運動時的能量轉化.

導體棒以最大速度時,電源功率等于電路中的焦耳熱功率和摩擦力功率之和．

IminE=Imin2(R+r)+μmgvm.

當μ=0時,電源的功率等于焦耳熱功率,滿足能量轉化和守恒定律，即

IminE=Imin2(R+r).

(6) 導體棒開始運動到最大速度的過程中.

① 設導體棒在安培力作用下開始運動到最大速度經歷時間為t0,選水平向右為正方向,對導體棒應用動量定理,有

(1)

(2)

(3)

由(1)-(3)式得Blq-ft0=mvm.

所以

在時間t0內通過導體棒的電荷量有

設系統產生的焦耳熱為Q,電源損失電能:

3 電容器充電式導軌的基本特點和規律

圖9

如圖9所示,光滑水平軌道的間距為l處在大小為B,豎直向上的勻強磁場中．導軌上有電容為C的電容器,開始時不帶電,在恒定拉力F作用下,導體棒作切割磁感線運動,像這樣的導軌模型稱為“電容器充電式導軌”．

(1) 運動特點.

在拉力F作用下,導體棒開始做切割磁感線運動,產生感應電動勢,回路中形成感應電流,給電容器充電(充電電壓小于耐壓值)．設某時刻通過導體棒的電流為i,由牛頓第二定律

F-Bil=ma.

(1)

由于電容器兩極板的電壓U與導體棒的電動勢相等,所以

ΔU=BlΔv,

(2)

圖10

因為加速度a是一個定值,所以導體棒做勻加速運動,導體棒速度-時間圖像如圖10所示．

(2) 電流特點.

圖11

電路中恒定電流i．電容器充電-時間圖像如圖11所示．

(3) 電容器充電電量.

ΔQ=it0=CBlat0.

(4) 恒力F做功.

經過時間t0導體棒的動能為

(5) 電容器儲存的電能.

根據能量守恒,電容器儲存的電能為

4 電容放電式導軌的基本特點和規律

圖12

如圖12所示,光滑水平軌道的間距為l處在大小為B,豎直向上的勻強磁場中．導軌與電動勢為E的電源和電容為C的電容器相連,一根質量為m的導體棒靜止在導軌上,若將單刀雙擲開關S先擲于位置1,對電容器充電;然后擲于位置2,電容器放電．像這樣的導軌模型稱為“電容器放電式導軌”．

(1) 電流特點.

圖13

電容器對電路放電時,導體棒在安培力作用下開始向右運動,同時產生阻礙放電的反電動勢,使電流減小直到電流為0．電容器放電-時間圖像如圖13所示．

(2) 運動特點.

圖14

導體棒在安培力作用下,做加速度減小的加速運動,當電流為0時,速度達到最大,導體棒最終作勻速運動．導體棒速度-時間圖像如圖14所示．

(3) 勻速運動的條件.

設導體棒的反電動勢為E反,電容器的電壓為U,當電路中電流I=0,即導體的反電動勢等于電容器的電壓U=E反=Blvm,導體棒開始以最大速度vm勻速運動．

(4) 最大速度的計算.

設電容器的充電電壓為E,根據電容器所充電量為Q0=CE,放電結束時的電量為Q=CU=CBlvm,所以電容器放電過程中改變的電量

ΔQ=Q0-Q=CE-CBlvm.

(1)

又根據動量定理有

mvm=∑FΔt=∑BilΔt=BlΔQ.

(2)

由(1)、(2)式得導體棒的最大速度為

(5) 改變電量.

(6) 安培力沖量、做功.

根據動量定理和動能定理,安培力對導體棒的沖量

安培力做功

5 應用

圖15

如圖15所示,豎直放置的兩根足夠長的光滑金屬導軌相距為L,導軌的兩端分別與電源(串有一滑動變阻器R)、定值電阻、電容器(原來不帶電)和開關S相連;整個空間充滿了垂直于導軌平面向外的勻強磁場,其磁感應強度大小為B;一質量為m,電阻不計的導體桿ab橫跨在導軌上;已知電源電動勢為E,內阻為r,電容器的電容為C,定值電阻的阻值為R0,不計導軌的電阻．

(1) 當開關S接1時,導體桿ab在磁場中恰好保持靜止,則滑動變阻器接入電路的阻值R多大?

(2) 當開關S接2后,導體桿ab從靜止開始下落,下落距離s時達到穩定速度,則此穩定速度的大小為多大?下落距離s的過程中所需的時間為多少?

(3) 先把開關S接通2,待ab達到穩定速度后,再將開關S接到3.試通過推導,說明導體桿ab此后的運動性質如何?求導體桿ab再下落距離s時,電容器儲存的電能是多少?(設電容器不漏電,沒被擊穿)

導體桿ab下落距離s過程,由動量定理得mgt-BILt=mv,通過導體桿的電荷量

得

(3) 開關S接3后充電電流

由牛頓第二定律mg-BIL=ma，

由勻加速直線運動有v22-v2=2as，

根據能量轉化與守恒得

6 小結

通過對電磁感應中單桿與導軌模型的特征及規律分析,加深了對高中物理知識的理解與綜合應用,達到舉一反三、觸類旁通的效果．