電子的非廣延分布對等離子體鞘層中二次電子發射的影響*

趙曉云 張丙開 王春曉 唐義甲

(阜陽師范學院物理與電子工程學院,阜陽 236037)

1 引 言

等離子體中的帶電粒子撞擊到器壁表面會使表面發射二次電子,發射的二次電子在鞘層電場的作用下向鞘層空間運動,能夠改變等離子體鞘層的結構,從而影響著等離子體的應用,如等離子體濺射[1]、離子注入[2]以及聚變裝置中粒子和能量的傳輸[3]等.在實驗室等離子體中,等離子體作用器壁發射的二次電子導致鞘層結構受到影響.發射探針利用表面電子發射測量等離子體電位,發射鞘層的細節對其研究至關重要[4,5].在托卡馬克裝置中偏濾器靶板表面的二次電子發射對熱損耗和等離子體約束有著顯著的影響[6?8].此外,等離子體裝置的性能,如霍爾推進器的器壁材料使用性能也與器壁發射的二次電子有著重要的關聯[9?12].因此,等離子體與壁相互作用發射的二次電子是邊界等離子體研究中一個重要的問題[13?15].

關于等離子體與壁面相互作用發射的二次電子,已經有很多文獻做了具體的研究[16?25].從器壁發射的二次電子,可以導致鞘層電勢增加,鞘層電場強度減小,鞘層厚度變窄,當二次電子發射系數超過臨界發射系數之后,鞘層電勢出現反轉,鞘層空間不再是離子鞘.但是在上述文獻的研究中,粒子分布主要考慮為遵守Boltzmann-Gibbs熵為基礎的經典統計力學下的麥克斯韋分布[26,27].然而,麥克斯韋分布使用有其局限性,不適用于描述長程相互作用、純電子等離子體等系統[28?30].針對Boltzmann-Gibbs熵不能很好描述的系統,Tsallis將熵的概念推廣到非廣延性下的廣義上熵[31],非廣延性下兩個獨立子系統的總熵滿足

其中A,B代表兩個獨立的子系統;kB是玻爾茲曼常數;q是描述非廣延性質的參數,q<1 ,q=1 和q>1分別對應于超廣延、廣延和亞廣延情形,當q=1時,Sq回到了經典的Boltzmann-Gibbs熵.

近年來,在研究等離子體不穩定性、等離子體鞘層以及非線性波等方面已經考慮了帶電粒子呈現非廣延性分布的情形[32?39].在等離子體鞘層方面的研究,涉及鞘層玻姆判據、塵埃等離子體以及電負性等離子體等的其中帶電粒子呈現非廣延性分布的等離子體鞘層特性,結果顯示帶電粒子的非廣延性分布的鞘層物理特性與廣延分布下有著較大的區別.但當等離子體鞘層中電子分布滿足非廣延分布時,電子與金屬器壁作用從器壁發射的二次電子目前仍沒有研究.正由于二次電子發射對等離子體鞘層物理特性的重要影響,而二次電子發射與等離子體鞘層中電子的分布函數有著重要的關聯,在以往的研究中,僅研究了帶電粒子呈現廣延分布(q=1)情形下的二次電子發射特性,為了更好地了解非廣延分布下的等離子體鞘層結構,本文擬利用一維流體模型,通過數值模擬,研究等離子體鞘層中非廣延分布的電子與金屬器壁相互作用發射的二次電子的特性,其結果對于聚變等離子體以及塵埃等離子體等放電過程中邊界等離子體特性的研究有重要的參考意義.

2 鞘層模型

考慮一維穩態的無限大平板模型,從等離子體垂直指向壁面的方向為x軸方向,x=0 對應等離子體中性區域與鞘層分界面,x<0和x>0 區域分別對應中性等離子體區域和等離子體鞘層區域,xw表示器壁位置處,如圖1所示.

鞘層中主要包含電子、離子以及電子撞擊到器壁發射的二次電子.對于等離子體鞘層區域,由于處于等離子體邊界與器壁結合處,離子溫度相對較低,故可忽略離子溫度的影響,于是離子在等離子體鞘層中的運動,根據連續性方程和運動方程有

圖1 等離子體鞘層示意圖Fig.1.Schematic diagram of plasma sheath.

其中?代表鞘層電勢;e是基礎電荷元電量;mi,ni和vi分別代表離子的質量、數密度和速度.

等離子體鞘層中的電子假設遵守Tsallis統計力學模型,一維情形下電子速度非廣延性分布函數分布式可表示為[31]

其中me,ve和Te分別代表電子的質量、速度和溫度;kB是玻爾茲曼常數.Cq是歸一化無量綱常數,其形式為

上述表達式中ne0的下標“0”代表處于等離子體鞘層邊界x=0 位置,Γ 代表標準伽馬函數.

根據電子速度分布函數(4)式,對電子的速度空間進行積分,可得電子密度分布函數[32,37]

電子到達等離子體器壁與其作用,將使器壁表面發射出二次電子,二次電子在鞘層電勢的作用下將加速離開器壁向鞘層空間運動,在等離子體器壁位置x=xw處,由作用到器壁的電子流從器壁發射出的二次電子流滿足

這里je,js和γ分別代表到達器壁x=xw處的電子流、從器壁發射出的二次電子流和器壁表面二次電子發射系數.對于穩態等離子體,根據器壁電流守恒可得[38]

這里

其中?w代表器壁x=xw處電勢,ns和vs分別代表二次電子的數密度和速度.由于電子與器壁作用產生的二次電子,離開器壁要克服器壁材料表面的束縛能,所以由電子撞擊器壁發射出的二次電子可看成冷的流體進行分析,二次電子進入鞘層中的運動滿足[13]

從器壁發射出的二次電子在器壁電勢的作用下迅速進入等離子體鞘層,鞘層電勢在電子、離子和二次電子的共同作用下滿足的方程為

其中ε0是真空介電常數.

在等離子體中性區域與等離子體鞘層分界面處(x=0),根據電中性條件,可得在鞘邊的帶電粒子數密度滿足

由于描述等離子體鞘層區域的各參數數量級差別較大,為了便于分析,對上述表達式(2)—(16)中各物理量引入下列無量綱化參量:這里λD和Mi分別是電子德拜長度和離子馬赫數,根據無量綱化參量,由表達式(2)—(16)可以得到

(21)式中φw為無量綱化后的器壁電勢,可聯立器壁位置流守恒表達式(7)—(11)來確定:

(22)式中的δ是等離子體鞘邊的電子數密度與離子數密度的比值,對應不同的發射系數γ以及參量q,可結合(16)與(21)式得到

3 數值結果與討論

3.1 玻姆判據

玻姆判據是判定等離子體鞘層穩定性的重要條件.對于無碰撞僅含有數密度為麥克斯韋分布(q=1)的電子和冷的離子的等離子體,當鞘層穩定時,離子到達鞘邊的速度必定大于或等于離子聲速,即Mi≥1[40].當電子呈現非廣延性分布(q=1)時,電子分布偏離了麥克斯韋分布,此時鞘邊玻姆速度的變化,可根據(17)式進行分析,對等式(17)兩邊乘以?φ/?ξ,再對空間變量ξ進行積分,可得

這里

化簡(26)式,得到鞘邊的玻姆判據為

表達式(27)給出了從中性等離子體區域進入等離子體鞘層的離子在鞘邊必須滿足的最小速度(玻姆速度)與等離子體中電子非廣延分布參量q的關系.從(27)式可以看出,離子到達鞘邊的玻姆判據會跟隨非廣延分布參量q的變化而變化.當二次電子發射系數γ=0 ,(27)式變為

這個結果與文獻[34,35]中描述一致,且當q=1時,Mi≥1 ,此時對應電子呈麥克斯韋分布的冷等離子體的鞘層玻姆判據[40].

結合方程(22)和(23),根據不等式(27)可以得到在器壁二次電子發射系數不同(γ=0 ,γ=0.4和γ=0.8)時,非廣延參量q對鞘邊玻姆判據最小值Mi(min)的影響,見圖2.從圖2可以看到,玻姆判據的最小值Mi(min)隨著非廣延參量q的增加而減小,并且器壁二次電子發射系數越大,玻姆判據的最小值越大.q值的增加,對應低速運動的電子數目增多,導致鞘層中凈電荷密度增加,于是離子到達鞘邊的速度減小.對比圖2中三條曲線(γ=0 ,γ=0.4和γ=0.8),發現非廣延參量q的變化對不同二次電子發射系數下的玻姆判據最小值的改變程度有所不同,器壁二次電子發射系數越大,非廣延參量q對其狀態的等離子體的玻姆判據最小值改變幅度越小.

3.2 器壁電勢

當電子分布呈現廣延性分布(q=1)時,器壁二次電子發射,導致器壁鞘層和器壁電勢增加,這個在許多文獻中已經討論過[9?17].圖3顯示的是器壁二次電子發射系數不同時,非廣延參量對器壁電勢的影響.由圖3可以發現,隨著非廣延參量q的增加,盡管器壁二次電子發射系數不同,但器壁電勢都是隨著參量q的增加而增加,并且增加的幅度有所不同.由圖3(a)可得,在器壁二次電子發射系數γ=0.4 情形下,非廣延參量q=0.5 時,器壁電勢φw=?26.3;q=1.0 時,器壁電勢φw=?2.31 ,可見在參量q從 0.5 增加到1時,器壁電勢增加率為90.2%.由圖3(b)可得,對于發射系數γ=0.4 ,q=2.0時,器壁電勢φw=?0.65 ,此時在參量q從1.0增加到2.0時,器壁電勢增加率為 71.7%.通過比較參量q在 0.5→1和1.0→2.0 之間的變化給器壁電勢帶來的影響,發現在 0.5

此外,對比圖3中三條曲線(γ=0 ,γ=0.4 和γ=0.8)可以發現,器壁二次電子發射系數越大,非廣延參量對器壁電勢的影響越小.在參量q從0.5→2.0的變化中,對于器壁二次電子發射系數γ=0,γ=0.4和γ=0.8 三種情形來說,器壁電勢增加的比值分別為98.4%,97.5%和95.3%.

圖2 二次電子發射系數不同時臨界馬赫數隨q的變化(γ=0 ,γ=0.4和γ=0.8)Fig.2.Critical Mach number versus nonextensive parameter q for different values of secondary electron emission coefficients (γ=0 ,γ=0.4 and γ=0.8).

圖3 二次電子發射系數不同時器壁電勢隨參量q的變化 (a) q=0.5—1.0; (b) q=1.0—2.0Fig.3.Wall potential versus nonextensive parameter q for different values of secondary electron emission coefficients (γ=0 ,γ=0.4 and γ=0.8): (a) q=0.5?1.0; (b) q=1.0?2.0.

非廣延參量的變化,對于器壁電勢的影響,可以參見文獻[37]中的圖2,與q=1.0 比較,當q>1.0時,電子處于亞廣延性分布,低速運動的電子數量增多,且運動速度小于麥克斯韋極限熱速度;當q<1.0 時,電子處于超廣延性分布,電子的運動速度可能超過麥克斯韋極限熱速度,且高速運動的電子數量增加.所以圖3中q值對于器壁電勢的影響,主要是由于q值在從0.5到2.0的變化過程中,到達器壁的電子速度在逐漸降低,這將使得形成穩定鞘層時到達器壁的電子數減少,于是器壁電勢增加.

3.3 二次電子臨界發射系數

器壁二次電子的發射,導致鞘層電勢增加(絕對值減小)、電場強度降低,當器壁二次電子發射系數達到一定的值時,器壁電場(Ew=??φ/?ξ|wex)減小到零,此時對應的發射系數為二次電子臨界發射系數γc.

對于電子分布呈現廣延性分布(q=1)的等離子體鞘層,其器壁二次電子臨界發射系數可表示為[13]

對于非廣延分布(q=1)的等離子體鞘層,根據器壁電場等于零,結合(24)式有

聯立 (22),(23)和(27) 式,可以得到對應不同非廣延參量q時的器壁二次電子臨界發射系數γc.圖4呈現的是非廣延參量q對不同種類(H+,Ar+與Xe+)等離子體器壁的二次電子臨界發射系數的影響.隨著非廣延參量q的增加,器壁二次電子臨界發射系數逐漸減小,當電子分布呈現超廣延分布(q<1)時,器壁二次電子臨界發射系數大于廣延分布(q=1)時的值,而當電子分布處于亞廣延分布(q>1)時,器壁二次電子臨界發射系數則要比廣延分布時的值小.對H+等離子體,q=0.5 ,1.0和2.0時的二次電子臨界發射系數分別為γc=0.88 ,0.82和 0.77.對比三條圖線(H+,Ar+與Xe+),可以發現在同一非廣延參量q值情形下,分別含有三種不同種類離子的等離子體的二次電子臨界發射系數大小順序分別為Xe+等離子體中最大,Ar+等離子體中次之,H+等離子體中最小.當q=1 時,對應H+,Ar+和Xe+等離子體,其器壁二次電子臨界發射系數分別為γc=0.82 ,0.97和0.98.同時非廣延參量q的變化對H+等離子體的器壁二次電子臨界發射系數影響程度最大,對Ar+等離子體影響次之,對Xe+等離子體影響最小,當q從0.5增加到2.0時,由圖4可得分別對應H+,Ar+與Xe+這三種離子的等離子體的器壁二次電子臨界發射系數減小的比值分別為12.0%,1.1%與0.6%.

圖4 器壁二次電子臨界發射系數 γc 隨q的變化Fig.4.Critical emission coefficient of secondary electrons versus nonextensive parameter q for different kinds of plasma.

非廣延參量q對于器壁二次電子臨界發射系數的影響,主要是由于參量q的改變,對應電子呈現不同的分布狀態,導致鞘層電勢降發生變化,在q從0.5增加到2.0過程中,電子分布從超廣延性

(q<1)到廣延性(q=1)、再到亞廣延性(q>1),高速運動的電子數目越來越少,于是形成鞘層時器壁電勢增加,由于鞘層為離子鞘,電勢從鞘邊到器壁是單調下降,所以器壁電場強度減小,因此要想器壁電場強度達到零,只需要越來越小的二次電子發射系數即可.而對于H+,Ar+與Xe+這三種離子的器壁二次電子臨界發射系數有所不同,則是與這三種離子質量數有關,離子的質量數越大,器壁電場強度越大,因此只有較高的二次電子發射系數才能使器壁電場強度滿足等于零的條件.

3.4 二次電子數密度

圖5呈現的是參量q分別等于0.8,1.2和1.3時,等離子體鞘層中二次電子數密度的不同分布曲線,在等離子體鞘層中,盡管電子分布呈現非廣延性,但從器壁發射的二次電子在鞘層中仍然是單調變化的,這主要源于非廣延性分布的電子并未改變等離子體鞘層離子鞘特性,并且隨著參量q的增加,鞘邊與器壁之間的距離(鞘層的厚度)有所減小,鞘層中二次電子數密度跟著增加.

從器壁發射的二次電子在鞘層電場的作用下,將加速向鞘邊運動,從而到達中性等離子體區域.圖6顯示的是參量q對不同二次電子發射系數下到達鞘邊的二次電子數密度的影響.從圖6可以看出,隨著參量q的增加,從器壁發射而到達鞘邊的二次電子數增多,對比γ=0.4 ,γ=0.6 和γ=0.8三條曲線,可以發現,參量q的變化對不同二次電子發射系數下發射的二次電子數密度影響程度不同.對于γ=0.4 ,γ=0.6和γ=0.8 三種情形,當q=0.5時,到達鞘邊的二次電子數密度分別為Ns0=0.00248,0.00702,0.02922; 當q=2.0 時,由器壁發射而到達鞘邊的二次電子數密度則分別為Ns0=0.01121,0.02743,0.10616.參量q的增加,運動速度較低的電子數目增多,導致器壁電勢增加,所以結合(21)式可得從鞘邊的二次電子數密度增加.

圖5 參量q對鞘層中二次電子數密度的影響(γ=0.4)Fig.5.Normalized density of secondary electrons in plasma sheath versus x for different values of nonextensive parameter q (γ=0.4).

圖6 參量q對不同發射系數下到達鞘邊二次電子數密度的影響Fig.6.Normalized density of secondary electrons at the sheath edge versus nonextensive parameter q for different values of secondary electron emission coefficients (γ=0 ,γ=0.4 and γ=0.8).

4 結 論

本文采用一維流體模型研究了等離子體鞘層中電子呈現非廣延分布時作用器壁發射的二次電子特性,討論了非廣延參量對含有二次電子發射的等離子體鞘層玻姆判據、器壁電勢、器壁二次電子臨界發射系數以及等離子體鞘層中二次電子數密度的影響.從研究的結果看,q=1 是廣延分布,此時鞘層空間回到麥克斯韋分布等離子體鞘層.當電子分布呈現非廣延分布(q=1)時,不論是超廣延分布(q<1)還是亞廣延分布(q>1),隨著非廣延參量的增加,形成穩定鞘層時鞘邊離子臨界馬赫數和器壁二次電子臨界發射系數都減小,并且等離子體鞘層中離子質量數越大,器壁二次電子臨界發射系數越大,含有質量數越大的離子種類的等離子體鞘層中,非廣延參量對器壁二次電子臨界發射系數的影響越小,而器壁電勢和發射的二次電子數密度卻隨著參量q的增加而增加.相比較電子分布處于超廣延分布和亞廣延分布,超廣延分布對等離子體鞘層中二次電子發射特性帶來的影響更大.