輪胎非線性對自主車隊穩定性的影響分析*

李 玲，姚喜貴，施樹明

（1.寧波工程學院機械工程學院，寧波 315336； 2.吉林大學交通學院，長春 130022）

前言

自主車隊控制系統作為自動化公路系統最重要的子系統之一，旨在通過導航和控制技術使車輛以車隊形式自動行駛，從而提高公路系統的運行效率和安全性。目前，自主車隊系統模型可根據自主車隊控制方面的研究分為縱向控制、橫向控制和綜合控制3種車輛模型。車輛縱向控制的研究主要集中在自適應巡航控制（ACC/CACC/CCC）、避障等方面［1-3］。車輛橫向控制又稱為車輛的轉向控制，調查研究［4］發現，車道偏離是導致致命交通事故的首要原因，因此加強車輛的橫向控制也是目前減少交通事故的重要手段。任殿波等［5］基于單點預瞄方法建立了車輛橫向位置誤差和橫擺角誤差動態模型，采用非奇異終端滑模方法設計了車道保持控制規律，并進行了控制系統穩態誤差的分析。綜合控制是把車輛縱向控制與橫向控制進行有機的協調與結合，使被控車輛在車道上順利完成轉彎的過程中，兼顧到車輛速度的損失情況，力爭使車速降幅達到最低［6］，并要求能處理緊急情況（如躲避障礙等）。Swaroop等［7］針對緊急換道運動，在3自由度非線性單軌車輛模型的基礎上，設計了一個縱、橫向集成控制器，即滑?？刂破?。仿真結果顯示，該滑?？刂破骶哂蟹浅：玫目v、橫向跟隨特性。但該研究所建立的車輛縱向動力學模型中沒有考慮輪胎非線性特性，采用線性輪胎模型進行仿真分析，不能反映實際車輛運行中輪胎的非線性動力學特征。李瑋等［8］為實現車輛安全平穩換道，建立了車輛縱、橫向非線性動力學耦合模型，根據干擾觀測器理論和滑?？刂品椒ㄑ芯苛塑囕v換道縱、橫向耦合控制問題，提出了一種滑?？刂婆c干擾觀測器相結合的復合控制策略，并基于Lyapunov理論分析了該控制系統的穩定性。但該車輛模型中同樣沒有考慮輪胎的非線性問題。

為揭示車輛系統縱向加速度對系統穩定性的影響，Liu等［9］建立了3自由度車輛系統穩定性分析模型。研究表明，車輛系統在高速行駛中轉向時，輪胎側向力的非線性特性是導致車輛失穩的根本原因。輪胎側偏特性決定了車輛轉向動力學特征，在極限工況下，輪胎側向力與側偏角之間的關系表現出高度非線性，對應的車輛操縱性與線性輪胎模型有很大的差別。因此Koo等［10］指出，在極端駕駛條件下，為實現對車輛側向穩定性的控制，通常需要準確的輪胎模型來估計車輛運動狀態。沈法鵬等［11］為分析輪胎側向力對汽車轉向穩定性的影響，采用4自由度整車動力學模型及非線性輪胎側向力模型進行了仿真研究，并通過虛擬試驗和實車試驗進行了驗證。結果表明，基于非線性輪胎側向力模型的仿真與試驗結果較為相近，能更真實地反映各運動狀態響應。為完整分析輪胎力在穩定狀態和失穩狀態（即線性和非線性區域內）的動力學特征，Wang等［12］對車輪轉動動力學進行深入分析，并提出了統一的滑移率公式。根據Pacejka教授［13］的研究，針對車輛后退的情況，Mu等［14］對現有的輪胎側偏角公式進行修正，擴大了其應用范圍，建立了適用于輪胎混合滑移的任何工況的統一輪胎側偏角模型。

本文中在前期工作的基礎上，兼顧真實性和簡潔性，將5自由度非線性車輛模型引入車隊系統中，根據文獻［5］和文獻［16］中設計的跟隨控制器輸出確定彎道跟隨車的控制輸入。為研究輪胎非線性對車隊跟隨行駛穩定性的影響，分別采用線性輪胎模型和非線性輪胎模型，分析不同初始跟隨車速條件下，自主車隊系統的動力學特性和穩定性。

1 車輛動力學模型與輪胎模型

1.1 5自由度車輛模型

考慮到2自由度車輛模型本身的局限性，本文中在由縱向、橫向和橫擺組成的3自由度車輛模型的基礎上，引入車輪轉動動力學，采用文獻［12］中建立的基于輪胎混合滑移特征的5自由度非線性車輛模型。由于本文的研究重點是車輛系統的平面運動穩定性，因此假設車輛質心位于地面上，忽略車輪之間的載荷轉移，即該模型不考慮車身俯仰和側傾的影響。采用能表達車輛在平面內的全局運動及其主要動力學特征的單軌車輛模型，車輛系統動力學模型為

式中：vx為縱向速度；vy為側向速度；γ為橫擺角速度；ωf為前輪角速度；ωr為后輪角速度；Tdf為前輪驅動力矩；Tdr為后輪驅動力矩；Tbf為前輪制動力矩；Tbr為后輪制動力矩；Fxf為前輪縱向輪胎力；Fxr為后輪縱向輪胎力；Fyf為前輪側向輪胎力；Fyr為后輪側向輪胎力；m為整車質量，m=1500 kg；Iz為繞z軸的轉動慣量，Iz=3000 kg·m2；lf為汽車前軸到質心的距離，lf=1.2 m；lr為汽車后軸到質心的距離，lr=1.3 m；J為車輪轉動慣量，J=1 kg·m2；δf為前輪轉角；Cx為縱向風阻系數，Cx=0.3；Cy為側向風阻系數，Cy=0.4；Ax為縱向迎風面積，Ax=1.7 m2；Ay為側向迎風面積，Ay=3.5 m2；ρ為空氣密度，ρ=1.2258 kg/m3；Rw為車輪轉動半徑，Rw=0.307 m［17-18］。

1.2 輪胎模型

為研究輪胎非線性對車隊跟隨行駛穩定性的影響，分別采用線性輪胎模型和非線性輪胎模型，分析自主車隊系統的動力學特性及穩定性。

1.2.1 線性輪胎模型

在輪胎縱、橫向滑移特性中，縱向滑移率增加時，輪胎側向力有所減小。在附著系數為μ的路面上，若輪胎處于滾動狀態時，車輪上所受到的縱向力Fx與側向力 Fy的矢量和不應超過摩擦圓，即為垂直載荷）。若低滑移狀態下滑移曲線的斜率分別為縱向剛度Cf和 側向剛度Cr，則輪胎縱、側向力的線性表達式為

式中：κ為輪胎滑移率；α為輪胎側偏角。

1.2.2 非線性輪胎模型

針對輪胎的強非線性特征，研究人員建立了魔術公式模型、Unityre模型和Fiala模型等多種輪胎模型。其中 Pacejka［13，19］提出的魔術公式由于具有擬合精度高、表達方便、擬合參數少和各參數物理意義明確等優點被廣泛采用。本文中采用經典的魔術公式計算輪胎力，即

式中：x為輪胎滑移率κ或側偏角α；y為輪胎穩態縱向力或側向力；B，C，D，E為輪胎參數，具體參數取值見表 1［20］。

表1 輪胎參數

Pacejka教授提出的魔術公式曲線，分別表達了輪胎縱向力-滑移率和輪胎側向力-側偏角之間的函數關系。系數B，C，D的乘積對應于原點處的斜率，本文中假設輪胎縱、側向剛度相同，則

汽車在驅動轉向或制動轉向行駛中，輪胎縱、側向力同時存在且相互影響，即混合滑移工況，該條件下輪胎縱、側向力計算式［13］為

式中：Fxf0，Fxr0，Fyf0，Fyr0分別為前后輪穩態輪胎縱、側向力；δr為后輪轉角，δr=0；Gx，Gy分別為輪胎混合滑移修正函數；Bg，x，Bg，y分別為輪胎滑移形狀函數；rx，1，rx，2，ry，1，ry，2為輪胎混合滑移系數，rx，1=35，rx，2=40，ry，1=40，ry，2=35。

本文中分別采用適用于全工況的式（6）輪胎滑移率模型［12，21］和式（7）輪胎側偏角模型［14］計算輪胎縱、側向力。

式中：ωw為輪胎轉動角速度；vwx為輪心縱向速度；αf，αr分別為前后輪側偏角；vxf，vyf，vxr，vyr分別為輪胎坐標系下前后輪縱、側向速度。

2 前車與跟隨車的控制輸入

本文中車輛系統的控制輸入分別為前后輪轉角和驅動/制動力矩，其中前車的轉角和力矩由駕駛員控制輸入，跟隨車的轉角和力矩則通過跟隨控制器控制輸入。

2.1 前車車輛系統控制參數輸入

試驗路徑信息為

道路曲率為

根據式（8）和式（9）計算得到試驗路徑曲率近似表示為

將道路曲率半徑表達式R=1/ρ1和汽車縱向位移表達式X=vxi-1t代入式（10），可確定前車（稱i-1車）前后輪轉角輸入為

式中：X為絕對坐標系下汽車縱向位移；Ylat為汽車側向位移；ρ1為道路曲率；Li-1為前車車身長度；vxi-1為前車縱向速度；δfi-1為前車前輪轉角；δri-1為前車后輪轉角。

假設前車始終勻速行駛，在車輛系統動力學模型中只考慮了風阻的作用，因此，前車驅動力矩大小按照車身受到的空氣阻力來計算。由于大轉角下輪胎側向力明顯增加，輪胎縱向力所占比例減小，為保證車輛系統在大轉角下勻速行駛，考慮取空氣阻力計算結果的κ1倍，因此，前車驅動力矩為

式中：Tdi-1為前車驅動力矩；vyi-1為前車側向速度。

文中車輛系統均采用單軌車輛模型，根據力矩分配的要求［22］，采用的力矩分配方式為：在驅動條件下前后軸為等矩分配，在制動條件下前后軸制動力矩分配比為0.6∶0.4。

2.2 跟隨車輛系統控制參數輸入

跟隨控制器在縱向上控制輸出的加速度ui為

保證縱向控制系統穩定的控制參數值為kp=1，kd=1.5，其中前后軸力矩分配方式與前車一致，確定跟隨車車輛系統的力矩輸入為

式中：vi-1為i-1車車速；vi為 i車車速；h為固定時距；Δxi為兩車實際縱向間距；Tdi為i車驅動力矩；mi為i車整車質量；Rwi為i車車輪轉動半徑。

彎道行駛中同時考慮前后兩車的側向距離差和方位差，采用郭孔輝［23］的點斜預瞄模型（PO模型）確定跟隨車前輪轉角輸入。在不考慮車輛的運動慣性條件下取λ=1，跟隨車期望側向加速度為

根據式（15）和Acklman幾何關系，可得到跟隨車最優前輪轉角和后輪轉角的表達式［15］為

式中：yi為車輛坐標系下汽車側向位移；T為前視時間；Δyi為兩車實際側向間距；vyi為i車側向速度；di為前視距離；Li為i車車身長度；δfi為i車前輪轉角；δri為 i車后輪轉角。

3 仿真分析

車隊跟隨行駛中車輛加速跟隨前車、減速離開車隊等操作都會引起前后車速波動，因此，根據前后車速度差不同確定跟隨車車速。跟隨行駛中3輛跟隨車的初始狀態相同，分別在兩種不同的初始跟隨車速條件下，采用線性輪胎模型和非線性輪胎模型，分析自主車隊系統的動力學特性和穩定性。取放大倍數 κ1=2，前后車速差Δvx=5 m/s，vyi-1=0，ωi-1=0，vyi=vyi+1=vyi+2=0，ωi=ωi+1=ωi+2=0，初始車距均為2 m。兩種不同初始跟隨車速條件分別為：（1）前車縱向速度vxi-1=17 m/s勻速行駛，跟隨車縱向速度vxi=vxi+1=vxi+2=12 m/s，固定時距 h=0.15 s；（2）前車縱向速度vxi-1=30 m/s，勻速行駛，跟隨車縱向速度vxi=vxi+1=vxi+2=25 m/s，固定時距h=0.08 s。車間時距的選取是保證跟隨行駛中車間距接近2 m，仿真時間20 s，分析車輛系統的跟隨特征。

3.1 基于線性輪胎模型的車隊系統仿真分析

圖1～圖4分別為前車vxi-1=17 m/s勻速行駛，跟隨車vxi=vxi+1=vxi+2=12 m/s，固定時距h=0.15 s時仿真時間20 s內，前后車速度相平面軌跡、狀態變量、質心運動軌跡和縱側向距離偏差的變化情況。

圖1中跟隨車相平面圖表明，自主車隊在跟隨行駛過程中，3輛跟隨車運動狀態穩定。系統狀態變量（圖2）仿真結果顯示，i-1車縱向速度保持勻速，側向速度和橫擺角速度由初值開始穩定地周期振蕩。3輛跟隨車在跟隨控制器作用下，保持與其前車基本一致的狀態行駛。

圖1 線性輪胎模型前后車速度相平面軌跡（前車速度為17 m/s時）

圖2 線性輪胎模型前后車狀態變量（前車速度為17 m/s時）

圖3 線性輪胎模型前后車質心運動軌跡（前車速度為17 m/s時）

圖4 線性輪胎模型前后車縱側向距離偏差（前車速度為17 m/s時）

圖3 中顯示，在跟隨行駛過程中前后車均能保持正常的正弦路線行駛，對應的前后車間的縱、側向距離偏差（圖4）顯示，在經過14 s的跟隨控制器調節后，前后車縱向間距偏差穩定到零值，對應的縱向車間距均接近 2 m；側向間距偏差在［-0.1 m，0.1 m］范圍內波動，對應的側向車間距均接近零；跟隨車與其前車運動軌跡基本吻合。因此，該條件下的仿真結果表明，在跟隨控制器調節作用下，3輛跟隨車能很好地實現正弦路徑下的穩定跟隨。

圖5～圖7分別為前車vxi-1=30 m/s勻速行駛，跟隨車vxi=vxi+1=vxi+2=25 m/s，固定時距h=0.08 s時仿真時間20 s內，前后車速度相平面圖、狀態變量、質心運動軌跡。圖8為對應于圖7的跟隨車與其前車的縱、側向距離偏差的仿真結果。

圖5 線性輪胎模型前后車速度相平面軌跡（前車速度為25 m/s時）

圖6 線性輪胎模型前后車狀態變量（前車速度為25 m/s時）

圖7 線性輪胎模型前后車質心運動軌跡（前車速度為25 m/s時）

圖8 非線性輪胎模型前后車縱側向距離偏差（前車速度為17 m/s時）

從圖5看出，跟隨控制器調節過程中跟隨行駛的i+2車相軌跡出現擾動。從圖6看出，在控制器跟隨調節過程中，車輛系統出現小的擾動，但該擾動并不明顯，整個仿真過程中，跟隨車能穩定跟隨前車行駛。

圖7和圖8的仿真結果與圖3和圖4相似，在跟隨行駛過程中，前后車均能夠保持正常的正弦路線。由圖8可見，在經過15 s的跟隨控制器調節后，前后車縱向間距偏差穩定到零值，對應的縱向車間距均為2 m。側向間距偏差在［-0.5 m，0.4 m］范圍內波動，對應的側向車間距均接近零，跟隨車與其前車運動軌跡基本吻合。因此，該條件下的仿真結果表明，采用線性輪胎模型的自主車隊系統，在高速條件下仍能很好地實現正弦路徑下多車穩定跟隨。

3.2 基于非線性輪胎模型的車隊系統仿真

圖9～圖11分別為前車vxi-1=17 m/s勻速行駛，跟隨車vxi=vxi+1=vxi+2=12 m/s，固定時距h=0.15 s時仿真時間20 s內，前后車速度相平面軌跡、狀態變量和質心運動軌跡。圖12為對應于圖11的前后車縱側向距離偏差的變化情況。

圖9 非線性輪胎模型前后車速度相平面（前車速度為17 m/s時）

圖10 非線性輪胎模型前后車狀態變量（前車速度為17 m/s時）

從圖9可以看出，前車相軌跡與圖1中的結果一致，前后車相軌跡規則變化。從圖10可以看出，在經歷跟隨控制器的初始調節過程后，3輛跟隨車能夠保持與前車一致的運動狀態穩定跟隨行駛。

由圖11可見，整個仿真過程中前后車均能保持正常的正弦路線行駛，而由圖12可見，在經過14 s的跟隨控制器調節后，前后車縱向間距偏差穩定到零值，對應的縱向車間距均接近2 m；側向間距偏差在［-0.2 m，0.2 m］范圍內波動，與采用線性輪胎模型時的結果相比，波動范圍明顯增大，但對應的側向車間距仍均接近零；跟隨車與其前車運動軌跡基本吻合。因此，該條件下的仿真結果表明，3輛跟隨車能夠很好地實現正弦路徑下的穩定跟隨。

圖11 非線性輪胎模型前后車質心運動軌跡（前車速度為17 m/s時）

圖12 非線性輪胎模型前后車縱側向跟隨偏差（前車速度為17 m/s時）

圖13 ～圖15為前車vxi-1=30 m/s勻速行駛，跟隨車vxi=vxi+1=vxi+2=25 m/s，固定時距h=0.08 s時仿真時間20 s內，前后車側向速度與橫擺角速度相平面、狀態變量和質心運動軌跡。圖16為對應于圖15的跟隨車與其前車的縱側向距離偏差的仿真結果。

從圖13可以看出，跟隨控制器調節過程中跟隨行駛的i+2車相軌跡出現不規則變化。從圖14可以看出，在跟隨行駛過程中，i+2車側向速度在［-30 m/s，30 m/s］范圍波動，橫擺角速度變化范圍為［-3 rad/s，2 rad/s］，縱向速度在［-20 m/s，35 m/s］范圍內變化，表征i+2車出現失穩運動。

圖13 非線性輪胎模型前后車速度相平面（前車速度為25 m/s時）

圖14 非線性輪胎模型前后車狀態變量（前車速度為25 m/s時）

圖15 和圖16的仿真結果與線性條件下的仿真結果差別較大。從圖15可以看出，跟隨行駛過程中i車和i+1車均能保持與前車一致的正弦路線行駛，而i+2車則在跟隨行駛一段時間后迅速偏離其前車行駛路徑。從圖16可以看出，經過跟隨控制器的調節后，i車和i+1車與其前車縱向間距偏差穩定到零值，對應的縱向車間距均接近2 m；側向間距偏差在零附近波動，對應的側向車間距均接近零；跟隨車與其前車運動軌跡基本吻合。i+2車由于出現失穩運動而與其前車縱、側向間距偏差在很大范圍內變化。

圖15 非線性輪胎模型前后車質心運動軌跡（前車速度為25 m/s時）

圖16 非線性輪胎模型前后車縱側向跟隨偏差及其局部放大（前車速度為25 m/s時）

上述基于線性和非線性輪胎模型的車隊系統仿真結果顯示，在前車vxi-1=17 m/s勻速行駛，跟隨車vxi=vxi+1=vxi+2=12 m/s，固定時距 h=0.15 s時，兩種輪胎模型條件下，車隊系統的仿真結果類似，3輛跟隨車均能夠在跟隨控制器的作用下穩定地跟隨其前車行駛。在前車vxi-1=30 m/s勻速行駛，跟隨車vxi=vxi+1=vxi+2=25 m/s，固定時距h=0.08 s時，兩種輪胎模型條件下，車隊系統的仿真結果差別較大：基于線性輪胎模型的車隊系統仿真結果表明，3輛跟隨車在前車速度較高時仍能穩定地跟隨前車行駛；但基于非線性輪胎模型的車隊系統仿真結果顯示，跟隨車i和i+1仍能穩定地跟隨前車行駛，但跟隨車i+2在跟隨行駛過程中出現失穩運動。

4 結論

基于前期研究工作，利用有效性得以驗證的5自由度車輛模型和彎道行駛跟隨控制器，分別采用線性輪胎模型和非線性輪胎模型，在不同初始跟隨車速條件下，分析自主車隊系統的動力學特性和穩定性。結果表明，低速跟隨行駛時，輪胎非線性對跟隨行駛車輛的穩定性影響不顯著，3輛跟隨車均穩定跟隨行駛。但高速跟隨行駛中輪胎的非線性會引發跟隨行駛后車（i+2車）的失穩運動。