生活原型,給學生一個數學學習的支點

杜海良

[摘 要]在“理性化”的數學學習中，學生通常需要一個理解數學知識的支點，這個支點可以是數學知識的“生活原型”，包括蘊涵數學知識的生活背景、生活經驗、生活事例、生活表達等。以“圓的認識”教學為例，適時去到生活的源頭處，找尋數學與生活的關聯，找到數學知識的生活原型，讓知識進入學生的生活，幫助學生理解抽象化的數學知識，從而使學生的數學學習更顯本真。

[關鍵詞]支點;生活原型;圓的認識

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）26-0018-03

“圓的認識”一課，很多名師都有過精彩的演繹與詮釋，如張齊華老師就有前后五次不同的演繹與重建，從歷史人文視野下的豐沛厚重，到洗練純粹至只剩下線條的文字的干凈素樸，從“大問題”整合下課堂的開放，到“先學后教”背景下對學生主體學習的徹底回歸……由外而內、 由物及人、由師轉生的一次次否定與超越，見證著張齊華老師對數學課堂“另一種可能”的不斷探尋與發現。正如他的座右銘：“永不重復別人，更不重復自己！”受此影響，我對“圓的認識”一課教學有了“另一種可能”的探索與嘗試。

古希臘著名的數學家阿基米德有一句名言：“給我一個支點，我將撬起整 個地球?！痹凇袄硇曰钡臄祵W學習中，學生同樣需要一個理解數學知識的支點，在本課中，這個支點就是數學知識的“生活原型”，這個原型可以是蘊涵數學知識的生活背景、生活經驗、生活事例、生活表達等。教學中，找到與數學知識適切的生活原型，既可以讓學生深刻體會到數學與生活的密切聯系，更可以促進學生感悟和深刻認知數學知識，并在感悟和認知的過程中進行數學分析、數學歸納、數學演繹、數學比較等，從而使學生的數學學習更顯本真、更深刻。

一、在“生活原型”的經驗還原中理解數學本質

【教學片段】

（課前玩“你說我猜”的游戲：描述圖形獨一無二的特征，看誰猜得又快又準）

師：學校舉行趣味運動會，進行投球比賽，同學們圍成這三種隊形（如圖1）向中心的球筐投球，比誰投中的次數多。你認為哪種隊形比賽才公平？

生（齊）：圓形隊形。

師：為什么圍成圓形隊形比賽才公平？

生1：圓形隊形中的每個人離球筐的距離是一樣的。

師（出示圖2）：如果用這些點表示隊形中的同學，只有圓才具有一個獨一無二的特征，那就是圓上（不是圓內，也不是圓外）每個點到中心的距離都相等，對嗎？

師：憑我們的生活經驗，感覺的確如此。但數學不能僅憑感覺，需要驗證。你有什么辦法來證明圓的這些線段都一樣長嗎？請大家拿出身邊的圓片，自己標一標、畫一畫，證明一下。

（學生通過量或折的辦法驗證線段相等）

師：圓是怎樣的一個圖形？如果現在再來玩“你說我猜”的游戲，你打算怎樣描述圓？

生2：邊上點到中心都一樣長的圖形。

師：同學們說的都非常棒，說清了圓獨一無二的特征！我國古代偉大的思想家墨子，是這樣來描述圓的——圓，一中同長也。你理解這句話的意思嗎？墨子說的“一中”是什么意思？“同長”是什么意思？

生3：“一中”指圓中心的這一點。

師：圓中心的這一個點就叫圓的圓心，用字母“O”表示。那“同長”呢？

生4：每個點到中心距離相等。

生5：這些線段都一樣長。

師：是的，圓邊上每個點到圓心的距離都相等，無數個這樣到圓心距離相等的點連起來就得到了這個圓。（課件出示“連點成圓”的動畫）

師：這些相等的線段就是圓內第一種重要的線段，叫半徑，用字母“r”表示。能說說你對“半徑”的認識嗎？

生6：一個圓里有無數條半徑。

生7：而且它們都一樣長。

師：是的，一個圓里的無數條半徑都相等。這就是墨子說的“同長”。

生8：半徑是一條從圓邊上到圓心的線段。

師：是的，你說的就是半徑的概念。

【評析】胡塞爾說：“生活世界是自然科學被遺忘的基礎?！痹跀祵W知識遠離學生生活時，我們需要去到生活的源頭處，找尋數學與生活的關聯，幫助學生理解抽象化的數學知識。“一中同長”是圓的本質特征，圓內的重要概念“圓心”“半徑”“直徑”及其特征，以及畫圓的原理都基于此特征。因此，對這一特征的認識深度就決定了對“圓”認識的高度，但這一特征對學生而言又比較抽象和難懂。

課始，通過投球比賽的生活情境，學生尋找到了“一中同長”的生活原型：“球筐位置”即“圓心”，“同學到球筐的距離”即“半徑的長度”，要使比賽公平，“每個同學到球筐的距離都相等”也就是“半徑都相等”。因此，通過“圍成怎樣的隊形向中心球筐投球比賽才公平”問題的思考、討論，激活了學生的生活經驗，再結合量、折等操作驗證，幫助學生從生活原型中抽取出 “一中同長”的內涵。有了特征內涵的理解，隨后的“圓心”“半徑”概念的教學其實只是賦予名稱，在“一中”指什么和“同長”指什么的追問思索中，明晰“一中”就是指圓的中心即“圓心”，“同長”（邊上每個點到中心距離都相等）指的就是圓有無數條“半徑”，長度都相等。

二、在“生活原型”的經驗改造中進行數學創造

【教學片段】

師：剛才我們一起認識了圓“一中同長”的獨一無二的本質特征，你會根據這樣的特征畫一個圓嗎？

師：這里有兩支鉛筆、一枚硬幣，試著畫一畫。

（學生描述畫法）

師：大家都很聰明！不過這樣畫圓有什么缺點？

生1：只能畫和硬幣一樣大小的圓。

師：若只用這兩支鉛筆，能不能畫？（教師展示用兩支鉛筆畫出大小不同的兩個圓）這樣畫圓有什么優點？

生2：這樣畫圓可以畫出大小不同的圓。

師：試著用兩支鉛筆畫圓，看誰畫得又快又好。

師：用兩支鉛筆畫圓有什么感受，要注意什么？

生3：鉛筆容易滑，不容易固定。

生4：兩支鉛筆不容易控制。

生5：要使一支鉛筆固定不動。

師：是的，要畫得“圓”，就得符合圓“一中同長”的特征，要做到“一中”，第一支鉛筆就不能移動位置;要做到“同長”，兩支鉛筆的間距就不能隨意改變。

師（出示圖3）：聰明的人類，為了做到以上兩點，用針代替了第一支鉛筆，便于固定位置，又用特殊的機械裝置，使這兩支筆既能自由調整間距又能相對固定，這就是現在人們常用的專業的畫圓工具——圓規。

【評析】“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行?！苯處煈摱冶仨氉寣W生獲得深刻的數學體驗，讓學生“以身體之、以心驗之”。在畫圓的教學中，教師沒有直接出示圓規，而是找到了圓規的“生活原型”——兩支鉛筆，讓學生在自己動手用兩支鉛筆畫圓的活動中，體驗這樣畫圓的優點與缺點，在“為什么畫不圓”的反思中體會到“要畫得圓，必須要做到‘一中同長”，然后通過“如何做到‘一中”“如何做到‘同長”的思考討論，用針尖替換第一支鉛筆，用特殊裝置固定兩支鉛筆的間距。這樣，通過原型啟發、改進，帶領學生經歷畫圓工具的再創造，既加深了學生對“一中同長”特征的認識，也使學生在獲取知識、形成技能的同時，真切體驗數學學習帶來的思維愉悅，體現出數學“作為一門課程與文化”對學習個體應有的課程意義與教育價值之所在。

三、在“生活原型”的數學實驗中探索數學文化

【教學片段】

師：圓在生活中無處不在，有人說，圓是世界上最美的圖形，但生活中有些地方的圓不僅僅是為了美。（出示下水道的窨井蓋圖）你知道窨井蓋為什么一般都是圓形的？（學生猜測）

師（出示一長方體與圓柱體分別模擬方形窨井與圓形窨井，演示方形蓋子易掉進井里，圓形蓋子無論怎么放都掉不下去）你現在有答案了嗎？

生1：方形井口有的地方更寬。

生2：圓形井口都是一樣寬的。

師：的確如此，在圖4中，圓形窨井的最寬處在哪？

生3：中間那條線段。

師：最寬處還能畫嗎？要怎么畫？

生4：能畫，只要兩端在圓上，并且通過圓心。

師：可以畫出多少條？

生5：無數條。

師：圓形具有一個特征——通過圓心畫出來的都是圓的最寬處，而且是處處一樣寬。

師（出示圖5）：正方形具有這樣的特征么？通過正方形的中心畫幾條線段，有長有短，所以蓋子就有可能從長的地方掉下去了。

師：這無數條圓內最長的線段，其實就是圓內第二種特別重要的線段，叫“直徑”，用字母“d”表示。現在能說說直徑是一條怎樣的線段嗎？

生6：直徑是圓內最長的線段。

生7：直徑是從圓上一點通過圓心到達對面另一點的線段。

生8：圓里有無數條直徑，而且都一樣長。

生9：直徑其實就是由兩條半徑連起來的。

【評析】數學不僅僅是“紙筆數學”，更是“猜想數學”“驗證數學”“實驗數學”。在數學實驗中，學生能主動經歷數學觀察、數學猜想、數學操作、數學推理與交流等諸多數學活動?；谥睆脚c半徑的聯系，直徑及其特征的教學完全可以在半徑及其特征的教學基礎上相機出示或讓學生看書自學。而本課教學更多地體現了數學知識的教育價值與文化意義，引導學生帶著數學的眼光去看待現實生活，尋找直徑的生活原型，發現其中的數學內涵。

微軟有一個著名的面試問題：為什么下水道的井蓋是圓的？而這一個問題可以看作是直徑及其特征的原型。正因為圓有無數條直徑且都相等，即最寬處處處相等，所以圓形蓋子無論怎么放都掉不下去。教學中，教師首先提出問題“為什么窨井蓋是圓的？”然后讓學生帶著問題進行實驗，在演示、觀察、思辨、比較等活動中發現圓具有一個特征“過中同長”——通過圓心兩端在圓上的線段有無數條且等長，而正方形等其他平面圖形不具備這樣的特征（當然，“過中同長”的特征本質上還是圓的“一中同長”）。在探索這一特征的過程中，直徑及其特征在學生討論交流“最寬處在哪”“還能怎么畫”“能畫多少條”等問題的答案的過程中自然生成。

在本課中，半徑、直徑、圓心是三個基本概念，是典型的陳述性知識，是告訴我們“是什么”的知識。但這些概念都是認識、描述圓的特征所需的要素，所以教師沒有選擇用“告訴”“自學”等方式來揭示，而是在“生活原型”支點的幫助下，引導學生先理解特征內涵再自然賦予名稱。只有這樣，半徑、直徑、圓心才不再是構成“圓”這一整體機器的小零件，而成為“圓之所以為圓”“圓之所以具備這樣那樣諸多外部特征”的真正內在機理和“幕后操縱者”。

數學課堂上，教師只有利用種種“生活原型”促進學生理解數學，才能培養學生從生活的“感性認識”上升為數學的“理性認識”，才能真正引導學生在課堂上經歷知識、方法與智力的探險，使數學課堂呈現出磨礪思維、提升智慧的本來面目。

（責編 金 鈴）