肋板結構參數對結構剛度的影響研究*

張保成，于喆昌，張開升，楊貴春，王 強

(1.中國海洋大學工程學院機電工程系，山東 青島 266100；2.中國北方發動機研究所，天津 300400)

加肋板是機械產品常用的一種結構形式，用于加強板結構的剛度特性，以降低結構表面的振動響應及抑制結構的輻射噪聲，研究肋板結構參數對板結構剛度特征的影響規律，具有重要意義。

世界各地學者用不同方法對肋板振動特性進行了研究。Bhat[1]利用Rayleigh-Ritz法分析了肋板位置對四邊均為簡支約束下的正方形板固有頻率的影響，他發現當肋板靠近平板邊界放置時會顯著地增加固有頻率。Wiu和Lim[2]分析了約束邊界下的中間加肋長方形板自由振動問題，并分析了肋板相對尺寸對彈性約束下加肋板頻率的影響。Cheng和Dade[3]采用Gauss樣條配置法對加肋板殼進行動態分析。Palani等[4]從2個分離的等參模型分別研究了偏心加肋平板和曲板的靜態和自由振動特性。Rao等[5]采用三角形薄殼單元研究加肋板殼結構的固有頻率。chen[6]采用曲線分量帶法探索了不同加肋平板的自由振動問題，其中包括了四邊簡支，三邊簡支一邊固定以及三邊固定一邊簡支的情況。Holopanien[7]基于Reissner-Mindlin厚板理論板單元結合剛體梁單元分析了在1或2個方向上放置肋板的固支板的振動。此外，張云鵬[8]利用有限元的方法分析了加肋板橫截面積對固有頻率的影響。

綜上所述，近年來在不同結構參數下的加肋板振動特性進行了大量的研究，但對于肋板的具體結構參數對板結構剛度特征的影響規律尚缺乏研究。本文采用有限元方法，將靜、動態剛度作為一個表征參數分析了肋板結構參數對結構剛度的影響規律，已期對廣泛采用板式結構形式的機械產品的結構設計提供設計參考。

1 結構模型

為考察肋板結構參數對板結構剛度特征的影響規律，以不同結構參數的肋板為研究對象，以結構的靜、動態剛度為評價指標，研究肋板的高度、寬度、數量及位置等設計參數對板結構剛度的影響規律。定義靜態剛度作為表征參數，即用單位力作用于非約束邊中點時結構的最大變形的倒數為靜態剛度。靜態剛度對比研究對象是1∶1的光板，三邊約束，一邊自由，在不同肋板參數下作用單位力，作用點為自由邊中點，獲得其靜態變形，如圖1所示。定義相同邊界條件下的無肋板結構變形和剛度為基準變形和基準剛度，定義剛度比為加肋板與無肋板基準值的比值。定義結構的前五階模態頻率之和為動態剛度評價指標，以綜合分析肋板結構參數對模態頻率的改變量。由于在同等邊界條件下，結構的靜態變形和動態變形僅相差放大系數，因此，靜態剛度能夠反映結構在動載荷作用下的變形量。

圖1 加肋板邊界及受載Fig.1 The boundary and loading of stiffened plates

本文肋板結構參數包括高度、寬度、數量及加肋位置對結構剛度的影響規律，如圖2所示，肋板寬度與高度尺寸參數分別沿X、Y方向變化；在此基礎上，保持其它參數不變，進一步研究肋板數量及肋板位置對加肋板結構剛度的影響規律。

圖2 肋板縱橫加強方式Fig.2 The mode of strengthening the vertical and horizontal rib

2 肋板高度與寬度的影響研究

增加肋板縱向高度是增加肋板轉動慣量的主要措施之一，本節以3 mm×3 mm肋板為最小肋板尺寸，縱向高度或者橫向寬度以3、6、9、12、15 mm的尺寸變化共六組數據。利用有限元的方法計算肋板的最大變形量及前六階頻率值，得出加肋板結構靜、動態剛度比，對比研究肋板高度與寬度對加肋板結構剛度的影響規律。

2.1 結構剛度計算

加肋板基本尺寸為250 mm×250 mm，厚度為3 mm，采用二次六面體單元進行網格劃分，利用有限元軟件計算不同高度參數或寬度參數下加肋板的最大變形量及前六階頻率值，不同高度參數下的加肋板前六階頻率值見表1，不同寬度參數下的加肋板前六階頻率值見表2。

表1 不同肋板高度的加肋板固有頻率Table 1 The natural frequency of stiffened plate with different rib height

Note:①Rib;②First order;③Second order;④Third order;⑤Forth order;⑥Fifth order;⑦Sixth order

表2 不同肋板寬度的加肋板固有頻率Table 2 The natural frequency of stiffened plate with different rib width

Note:①Rib;②First order;③Second order;④Third order;⑤Forth order;⑥Fifth order;⑦Sixth order

根據文中對靜、動態剛度評價指標的定義，以無肋板結構變形和剛度為基準變形和基準剛度，保持其他參數不變，計算不同高度或寬度參數下各加肋板靜、動態剛度比，不同肋板高度情況下的加肋板剛度比計算結果見表3，不同肋板寬度情況下的加肋板剛度比計算結果見表4。

表3 不同肋板高度的加肋板剛度比Table 3 The stiffness ratio of stiffened plate with different height of the ribbed plate

Note:①Rib;②Dynamic stiffness;③Dynamic stiffness ratio;④Maximum deformation;⑤Reciprocal of maximum deformation;⑥Static stiffness ratio

表4 不同肋板寬度的加肋板剛度比Table 4 The stiffness ratio of stiffened plate with different width of the ribbed plate

Note:①Rib;②Dynamic stiffness;③Dynamic stiffness ratio;④Maximum deformation;⑤Reciprocal of maximum deformation;⑥Static stiffness ratio

2.2 對比分析

依據結構動力學相關理論，對表3、4仿真數據進行處理，將肋板高度參數與寬度參數無量綱化為加肋板板厚的倍數，分別繪制靜態剛度對比圖與動態剛度對比圖，見圖3、4。

圖3 肋板尺寸參數對靜剛度的影響Fig.3 Influence of static stiffness of rib size parameters

圖4 肋板尺寸參數對動剛度的影響Fig.4 Influence of dynamic stiffness of rib size parameters

由圖3、4可見，肋板的增加并不能線性增大結構的靜、動態剛度，隨著肋板寬度或高度增加，靜動態剛度趨勢均變緩，縱向肋板在板厚2～4倍高度時對加肋板靜態剛度的增強效果最大。肋板的高度參數對結構剛度的影響遠大于肋板寬度參數對結構剛度的影響。

加肋板的截面示意圖見圖5，加肋板的截面慣性矩表達式為：

(1)

式中：e1、e2為重心到相應邊的距離。

圖5 加肋板截面示意圖Fig.5 Diagram of stiffened plate cross section

不同高度參數或寬度參數的肋板對加肋板重心位置影響很小，由式(1)可知：在相同肋板寬度下，加肋板截面慣性矩的增量近似與肋板高度的三次方成正比；在相同肋板高度下，加肋板截面慣性矩的增量與肋板寬度成正比。因此，增加肋板高度方向的尺寸更有利于提高加肋板結構剛度。

3 肋板數量與位置的影響研究

本節研究在肋板總體積相同的情況下，肋板數量與位置對加肋板靜、動態剛度的影響規律，以無肋板結構變形和剛度為基準變形和基準剛度，以3 mm×12 mm為最大單肋板尺寸，肋板數量按1、2、3、4的變化共4組數據，肋板均布在光板上。

3.1 肋板數量對剛度的影響研究

加肋板基本尺寸為250 mm×250 mm，厚度為3 mm，采用二次六面體單元進行網格劃分，利用有限元軟件計算各加肋板的前六階頻率值，進一步計算各加肋板最大變形量及靜、動態剛度比，各加肋板固有頻率值見表5，各加肋板靜、動態剛度比見表6。

表5 不同肋板數量的加肋板固有頻率Table 5 The natural frequency of stiffened plate with different number of ribs

Note:①Number of ribs;②First order;③Second order;④Third order;⑤Forth order;⑥Fifth order;⑦Sixth order

表6 不同肋板數量的加肋板剛度比Table 6 The stiffness ratioof stiffened plate with different number of ribs

Note:①Number of ribs;②Dynamic stiffness;③Dynamic stiffness ratio;④Maximum deformation;⑤Reciprocal of maximum deformation;⑥Static stiffness ratio

依據結構動力學相關理論，對表6仿真數據進行處理，繪制靜態剛度對比圖與動態剛度對比圖，見圖6。

從圖6可以看出，單肋板具有最大的動靜態剛度，和等質量單肋板相比，增加肋板數量并不能提高肋板結構剛度，由式(1)可知，在同等肋板質量下，增加肋板高度對轉動慣量的增加遠大于增加肋板數量的增加效果。

圖6 肋板數量對剛度比的影響Fig.6 Influence of stiffness ratio of rib number

3.2 肋板位置對結構剛度的影響

進一步計算相同質量的情況下，肋板位置對加肋板靜、動態剛度的影響，肋板尺寸為3 mm×12 mm，肋板位置按照距離受載中心0、30、60、90 mm變化共4組數據。肋板位置及載荷見圖7。

圖7 肋板位置示意圖Fig.7 The sketch map of rib position

加肋板基本尺寸為250 mm×250 mm，厚度為3 mm，采用二次六面體單元進行網格劃分，利用有限元軟件計算肋板的前六階頻率值，進一步計算加肋板最大變形量及靜、動態剛度比，計算結果見表7、8。

表7 肋板不同位置的加肋板固有頻率Table 7 The natural frequency of stiffened plate with different positions of the rib

Note:①Distance;②First order;③Second order;④Third order;⑤Forth order;⑥Fifth order;⑦Sixth order

表8 肋板不同位置的加肋板剛度比Table 8 The stiffness ratio of stiffened plate with different positions of the ribs

Note:①Distance;②Dynamic stiffness;③Dynamic stiffness ratio;④Maximum deformation;⑤Reciprocal of maximum deformation;⑥Static stiffness ratio

依據結構動力學相關理論，對表8仿真數據進行處理，繪制靜態剛度對比圖與動態剛度對比圖，如圖8所示。

圖8 肋板位置對剛度比的影響Fig.8 Influence of stiffness ratio of rib position

從圖8中可以看出，隨著肋板遠離受載中心，同種規格的肋板對平板的加強作用越來越小，肋板位于激勵力處對平板剛度增強的貢獻最大，圖6中肋板數量為3的加肋板剛度比高于肋板數量為2的加肋板剛度比，原因在于肋板數量為3的加肋板在肋板中心處有剛度加強。因此，在設計肋板時，肋板數量增加對響應影響有限，肋板位置應該位于激勵力位置處。

4 結論

本文采用有限元的方法對比分析了肋板結構參數對加肋板結構剛度特征的影響規律，結果表明：

(1)肋板的結構參數與加肋板結構的靜、動態剛度呈現非線性關系，其中肋板的高度參數對結構剛度的影響最為顯著。

(2)縱向肋板在板厚2～4倍高度時對靜態剛度的增強效果最大。

(3)隨著肋板的位置逐漸偏離受載中心，肋板對結構剛度的影響逐漸減小。

(4)肋板數量增加對剛度影響有限。

在設計加肋板時，肋板位置應該位于激勵力位置處；和等質量單肋板相比，在激勵力作用處增加肋板高度對剛度的影響效果大于增加肋板數量，這對廣泛采用板式結構形式的機械產品的結構設計具有一定的參考價值。