廣義逆矩陣A-研究

張愛萍

（呂梁學院汾陽師范分校數學與科學系，山西汾陽032200）

近年來，隨著電子計算機技術的快速發展，帶動了計算科學的發展，使Moore和Penrose分別于1920年和1955年提出的廣義逆矩陣的理論更加趨于完善，推動了廣義逆矩陣向新的研究階段邁進[1]。人們為使之適用于研究各類數學問題做了大量的相關工作，如今廣義逆矩陣已經成為矩陣分析的基礎之一，也是矩陣論的一個重要分支，廣泛地應用于控制理論、系統識別和優化理論等領域[2]。

1 廣義逆矩陣概述

廣義逆矩陣的概念是在相容線性方程組的解的基礎上建立的，這也就是Moore關于廣義逆矩陣的定義。

定義1[3]對于一個m×n矩陣A，若存在一個n×m矩陣G，使得

其中，PA和PG.分別是Rm的沿R(A)⊥到R(A)的正交投影變換的矩陣及Rm的沿R(G)⊥到R(G)的正交投影變換的矩陣，則稱G為A的廣義逆矩陣。

除了定義1從解方程組的角度來建立廣義逆矩陣的概念之外，還可以從矩陣的運算關系上建立廣義逆矩陣的概念。這也正是Penrose提出的關于廣義逆矩陣的定義。

定義2[3]對于一個m×n矩陣A，若存在一個n×m矩陣G，使得

則稱G為A的廣義逆矩陣。

下面的定理1表明，上述的定義1和定義2實際上是等價的。

定理1Moore和Penrose關于廣義逆矩陣的兩種定義實際上是等價的。

證明先由定義1推出定義2中的式（2）成立。事實上，因為對任意的X∈Rm，恒有AX∈R(A),再結合式（1）中的(i)式，可知

成立。又因為正交投影變換PA的矩陣AG實對稱矩陣，所以式（2）中的(iii)自然成立。同理，由式（1）中的(ii)及GA是正交投影變換PG的矩陣，可以推得式（2）中的(ii)式及(iv)式的成立。

再證由式（2）反推式（1）也是成立的。由于G滿足式（2）中的(i)與(iii)式，可以推得

因此，AG是一個冪等矩陣，同時也是一個對稱矩陣，它所對應的線性變換也因而是一個正交投影變換。還由于

所以，AG的值域為R(A),并且AG在R(A)上相當于恒等變換。這表明AG所表示的正交投影變換是Rm的沿R(G)⊥到R(G)的投影變換PA，即

成立。同理，由式(2)中的(ii)與(iv)式也可推得

成立。

2 廣義逆矩陣A-及其等價命題

定理2對于給定的A∈Cm×n,則A滿足方程

的廣義逆矩陣A-存在的充分必要條件是對于任何的b∈R(A),A-1b都是方程組

的一個解，其中R(A)為A的列空間。

證明設A=(a1,a2,...,an),其中ai為A的第i列，i∈.若存在矩陣A-，使?b∈R(A),A-b都為式（4）的解，則應有AA-b=b對所有b∈R(A)成立，特別應有AA-ai=ai,i∈.因此有

即AA-A=A。

反之，設存在A-使式（3）成立，即AA-A=A。因為對于任何b∈R(A)，一定存在X∈Cn,使AX=b。對于AA-A=A兩邊同時右乘X，即可得AA-AX=AX.由式AX=b有

所以A-b是式（4）的一個解。證畢。

定理2實際上給出了廣義逆矩陣A-的等價命題。可以把式（3）作為廣義逆矩陣A-的定義。

廣義逆矩陣A-具有以下性質[4]：

性質1設A∈Cm×n,A-=A(1)∈A{1},則(A-)T∈AT{1},(A-)H∈AH{1}.

證明先證后式。由AA-A=A，兩端取共軛轉置可得AH(A-)HAH=AH,這說明了(A-)H是AH的減號逆，所以(A-)H∈AH{}1.而前式為后式的特例。證畢。

性質3設A∈Cm×n,則rankA≤rankA-.

證明rankA-≥rank(AA-)≥rank(AA-A)=rankA.

性質4AA-和A-A是冪等矩陣，并且rank(AA-)=rank(A-A)=rankA.

所以，AA-和A-A都是冪等矩陣，并且也都是投影矩陣。又因為rank(A-A)=rankA,并且AA-A=A,所以rankA=rank(AA-A)≤rank(AA-),這時就有rankA=rank(AA-).

同理可證rankA=rank(A-A).

性質5AA-=Im的充分必要條件是rankA=m,即A行滿秩。此時A-稱為A的右逆，記為的充分必要條件是rankA=n，即A列滿秩。此時A-稱為A的左逆，記為.

證明必要性。由AA-=Im，根據性質4，有rank(AA-)=rankA，而rank(AA-)=rankIm=m.因此，rankIm=m,即A行滿秩。

充分性。由rankIm=m,于是rank(AA-)=rankA=m.因為AA-是m階方陣，所以AA-是滿秩陣，因此有逆。同樣，由性質4可知，AA-是冪等陣，因此

(AA-)(AA-)=(AA-)。

上式兩端左乘(AA-)-1,可得AA-=Im。

同理可證A-A=In的充分必要條件是rankA=n。

3 廣義逆矩陣A-的存在性及求法

是A滿足方程（3）的廣義逆矩陣A-，其中，L1∈Cr×(m-r),L2∈C(n-r)×(m為-r)任意矩陣。

證明因為rankA=r,所以有初等變換矩陣P，使得

由于A2∈Cm×(n-r)的列都能用A1的列線性表示，因此存在矩陣C∈Cr×(n-r),使得A2=A1C。于 是P=A1(Ir,C).又由于rankA=r,因此存在初等變換矩陣,使得

由于A21∈C(m-r)×r的列都能用A11的行線性表示，因此存在矩陣B∈C(m-r)×r，使得A21=BA11.于是有

另一方面，由L1,L2的任意性可知，矩陣A的廣義逆矩陣A-一般不是唯一的。特別的，若取L1=0,L2=0,則可得到一個特殊的廣義逆矩陣為

由上述討論可知，矩陣A的全體廣義逆矩陣A-=A(1)所組成的集合應為A{1}，也稱減逆。

在實際計算中，有許多計算A-的方法，下面介紹一種常見的求A-的公式。[6]

情形1設秩A=r，并且A的左上角的r階子塊為滿秩，即

將式（5）直接代入AA-A=A驗證即可。

情形2設秩A=r，但A的左上角的r階子塊Arr不滿秩。這時若有初等列變換（P為相應的初等矩陣）使得AP=，而的左上角r階子塊Arr為滿秩的，則有

然后再由(AP)-=P-1A-,即可求得

因此當A的左上角無滿秩的r階子塊時，需要先對A施行某種列變換，使其左上角r階子塊變為滿秩的，然后再由式（6）對()-施行相同的初等列變換，即可得到A-。同樣的，對A先作行變換變形，再做相應的列變換還原，也可以得到A-。

解 將A的第二列與第三列交換得

于是由式（5）可求得

將其代入式（6）（也就是交換()-中的第二行與第三行）即得。

4 結語

本文對廣義逆矩陣A-的概念、性質、存在性及求法進行了探討，給出了廣義逆矩陣A-的一個等價命題，并給出了一種求廣義逆矩陣A-的常用方法。通過對矩陣A作簡單的初等列變換，可以很方便地求出矩陣的廣義逆矩陣A-。