固定于水面的多個半圓形結構物的水波Bragg反射

丁偉偉， 鄒早建,2， 吳靜萍

(1. 上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院， 上海 200240; 2. 上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室， 上海 200240; 3. 武漢理工大學 交通學院，武漢 430063)

防波堤在港口和碼頭等海岸工程中一直起著重要的波浪防護作用.隨著海洋資源開發的不斷擴大和深入，海洋工程結構物的建造和使用已從近海區域拓展到外海區域，由于波浪環境更加惡劣，必須采取有效的防護措施.浮式防波堤是廣為應用的波浪防護設施之一.防波堤可由單體或多體結構組成.當波浪傳向由多體結構組成的防波堤時，各結構之間不斷產生連續的反射和透射.針對某些波浪而言，盡管單個結構的波浪反射較小，但疊加效應將使多體結構產生強烈的波浪反射，從而獲得良好的防波效果[1].當多體結構呈周期性布置時，可稱之為周期結構物.當作用在周期結構物上的入射波的法向波長約為該結構物周期長度的2倍時，入射波可被最大程度地反射，即反射系數達到最大值，該現象被稱為Bragg反射或Bragg共振.最早是在利用X射線照射晶體的相關研究中發現Bragg反射現象的[2].

在海岸工程和海洋工程中，Heathershaw[3]早在1982年就通過試驗研究了表面波與海床波形沙壩之間的相互作用，并闡述了水波Bragg反射現象及其機理.幾十年來，海底各種結構物引起的水波Bragg反射現象已得到廣泛的研究與應用.劉煥文[4]系統地總結了海底沙壩和人工沙壩引起的水波Bragg反射現象的系列研究進展.然而，有關波浪與浮體之間相互作用的Bragg反射現象的研究在國內外尚不多見.Chou[5]通過研究揭示了Bragg反射現象在浮式防波堤研究領域的應用前景.

近年來，Bennetts等[6]應用變分法研究了多個浮在水面的圓形彈性板的波浪散射問題，在各彈性板尺寸相同、間距相同時，觀察到了Bragg反射現象，并得出Bragg反射峰值對應的波長較理論預測值偏大的結論.Garnaud等[7]基于漸近理論研究了波浪與周期性排列的、可垂向運動的小圓柱浮標之間的相互作用，發現當波浪頻率在Bragg反射對應的帶隙寬度內時，波浪將會發生強烈的反射，與浮標相連的波能提取裝置吸收的能量顯著降低.Linton[8]利用多極展開法分析了浸沒在深水中等間距布置的多排水平圓柱體的波浪傳播問題，發現當入射波頻率在Bragg反射對應的帶隙寬度內時，隨著排列數量的增加，透過多排水平圓柱體的波浪能量趨近于0.Karmakar等[9]基于線性波浪理論研究了有限水深中錨泊穿透自由面的多重柔性膜結構與表面重力波之間的相互作用，簡要分析了雙重膜結構產生的Bragg反射現象.許玲和Wu等[10-11]試驗研究了基于Bragg反射原理布置的水面多重剛性豎直板的消波性能，發現當Bragg反射發生時，消波效果明顯增強.Ding等[12-13]應用特征函數展開法和寬間距近似法研究了波浪與穿透自由面的多重柔性膜結構之間的相互作用，并分析了Bragg反射的特性，發現合理布置柔性膜結構能夠增加Bragg反射的有效寬度.Ouyang等[14]基于邊界離散數值模型研究了多個水面固定的矩形防波堤的Bragg反射現象，分析了防波堤的間距、個數、吃水、自身寬度等參數對Bragg反射的影響.

本文研究固定布置于水面的、靜水面以下形狀為半圓形的多個穿透自由面結構物引起的水波Bragg反射現象，基于線性波浪理論建立數學模型，并基于邊界元法(BEM)對其求解.計算多個固定于海底的浸沒半圓形結構物的波浪反射系數，并將計算結果與文獻中的理論解進行對比，以驗證BEM的正確性；計算并對比水面單個半圓形結構和多個半圓形結構衰減波浪的效果，以證明利用多個半圓形結構物的Bragg反射來衰減波浪的有效性；進而，系統地分析了多個半圓形結構物的個數、半徑、間距等參數對Bragg反射特性的影響，研究結果可為基于Bragg反射原理的防波堤設計提供參考依據.

1 數學描述

均勻水深(h)中固定于靜水面的N個形狀和尺寸完全相同的二維剛性結構如圖1所示，每個結構在靜水面以下的形狀均為半圓形.結構半徑為a，吃水為d，且有a=d；兩個相鄰結構間距為S；該系列結構組成一個周期結構物，周期長度L=S+2a；頻率為ω、波幅為ζ的單色波從遠場傳向該結構物，假設波幅ζ是小量.建立二維笛卡爾坐標系O-xz，x軸水平向右為正，z軸垂直向上為正，坐標原點O位于靜水面且在第1個半圓形結構的圓心.

基于線性波浪理論，假定流體無黏且不可壓縮、運動無旋且關于時間t是簡諧的，則整個流域內的速度勢Φ(x,z,t)可表示為

Φ(x,z,t)=Re[φ(x,z)e-iω t]

(1)

式中：Re表示取實部；φ(x,z)為空間速度勢.上述單色波的速度勢可表示為

(2)

式中：g為重力加速度；k=2π/λ為波數(λ為入射波波長)，是頻散方程ω2=gktanhkh的正實數根.

圖1 固定于水面的多個半圓形結構物

流場中流體運動的控制方程為Laplace方程：

(3)

綜合線性化的運動學邊界條件和動力學邊界條件，得到復合的線性自由面條件為

(4)

水底的不可滲透條件為

?φ/?z=0,z=-h

(5)

各個結構固定不動，其物面條件為

(6)

式中：n為結構表面的單位法向量.Sommerfeld遠場輻射條件為

(7)

2 求解方法

應用BEM求解上述邊值問題.為了方便求解速度勢，在該周期結構物左側x=xl處和右側x=xr處分別引入2個截斷面(見圖1)，且都離其相鄰結構的距離足夠遠.整個區域劃分為區域1(x≤xl)、區域2(xl

φ1(x,z)=

(8)

(9)

區域2和區域1的交界面x=xl處的壓力連續性條件和速度連續性條件分別為

φ2(x,z)|x=xl=φ1(x,z)|x=xl

(10)

(11)

區域2和區域3的交界面x=xr處的壓力連續性條件和速度連續性條件分別為

φ2(x,z)|x=xr=φ3(x,z)|x=xr

(12)

(13)

將式(8)代入式(10)和(11)，疊加后得到關系式

(14)

將式(9)代入式(12)和(13)，疊加后得到關系式

(15)

給定Green函數形式為

G(P,Q)=-lnr(P,Q)=

(16)

由Green第二定理，區域2內部(不含邊界)和邊界上的速度勢分別滿足下列關系式：

-2πφ2(P)=

(17)

-πφ2(P)=

(18)

式中：定積分方向逆時針為正；邊界面C由左側截斷面Cl、海底Cs、右側截斷面Cr、若干段靜水面Cw和若干個靜水面以下的結構表面Cb組成.

為了數值求解邊界上的速度勢，所有邊界被離散成一系列的小單元(邊界元).采用常數源邊界元，每個小單元上存在一個速度勢值，將源點和配置點(滿足相應邊界條件的場點)布置在每個小單元的中點.將式(4)、(5)、(6)、(14)、(15)代入式(18)，并對所得到的方程進行離散后可得

(19)

式中：

式中：Δl為Q所在小單元的長度.

假設小單元的總數為M，則可得到M個類似于式(19)的代數方程組.求解該方程組，即可得到每個小單元上的速度勢值.將式(8)代入式(10)，兩邊再同時乘以coshk(h+z)，可得到

φ2(xl,z)coshk(h+z)=

(22)

對式(22)關于z從-h到0積分，整理后可得

R=-AI+

(23)

(24)

對式(24)關于z從-h到0積分，整理后可得

(25)

反射系數和透射系數分別定義為反射波高和透射波高與入射波高的比值，可按以下公式計算

Kr=|R/AI|

(26)

Kt=|T/AI|

(27)

3 結果與討論

本文旨在研究固定于水面的多個半圓形結構物引起的水波Bragg反射現象.Bragg反射的特性可由發生條件、反射強度和有效寬度3個要素表示.發生條件由Bragg反射現象發生時的最大反射系數對應的2L/λ值表示；反射強度由Bragg反射現象發生時的最大反射系數表示，記為Kp；有效寬度[15]由Bragg反射區域內滿足Kr≥Kp/2時，2L/λ的取值范圍表示，記為Eb.反射強度和有效寬度是判斷基于Bragg反射原理的防波堤衰減波浪有效性的2個重要指標.

3.1 方法驗證

由于缺少可供比較的靜水面上多個半圓形結構物與水波相互作用的理論計算、數值模擬或試驗測定結果，為了驗證BEM的正確性，以固定于海底的多個浸沒半圓形結構物為對象，計算其反射系數并將計算結果與現有的理論解進行比較.

當N=3時，3種不同算例(Ex1，L/h=4.0,a/h=0.3；Ex2，L/h=4.0,a/h=0.5；Ex3，L/h=2.0,a/h=0.5)中，基于BEM的反射系數計算結果和基于多極展開法(MEM)的反射系數計算結果[17]的對比如圖2所示，其中kh表示無因次波數.由圖2可見，2種方法的結果較為吻合，僅在kh>2.0時有微小誤差.導致誤差的原因可能是由于此時波長較小，在BEM中需要采用較小的單元來提高計算結果的精度，而過小的單元也會帶來數值誤差，這是用BEM求解短波問題的一個難點.

3.2 Bragg反射效果

為了研究Bragg反射效果，考慮3種不同的結構物布置形式：C1，單個半圓形結構物固定于水面，且a/h=0.25；C2，多個半圓形結構物固定于水面，且N=3,a/h=0.25,S/h=2.5；C3，多個半圓形結構物固定于水底，且N=3,a/h=0.25,S/h=2.5. 3種不同結構物布置形式下，反射系數隨無因次波數的變化情況如圖3所示.

圖3 3種不同布置形式下的反射系數比較

由圖3可見：對于固定于水面的單個半圓形結構物，反射系數隨著無因次波數的增大而增大；對于多個半圓形結構物，不論是固定于水面還是水底，反射系數的變化均較為復雜，存在若干波峰和波谷；水面周期結構物的反射系數明顯大于水底周期結構物的反射系數，這是因為在線性波浪理論下，隨著水深的增加，水質點動能沿垂向指數衰減，能量更多地集中在近水面處.水面周期結構物在kh=1.18(轉換后的發生條件為2L/λ=1.13)時發生Bragg反射，反射強度Kp=0.90；單個水面結構物在kh=1.18時的反射強度Kp=0.48(由此時對應的反射系數表示)，明顯小于水面周期結構物的Bragg反射強度；水底周期結構物在kh=1.03(轉換后的發生條件為2L/λ=0.98)時發生Bragg反射，反射強度Kp=0.20，也明顯小于水面周期結構物的Bragg反射強度.因此，利用水面周期結構物的Bragg反射能夠更有效地衰減波浪.

3.3 結構個數的影響

設a/h=0.25，S/h=2.5，結構個數對反射系數的影響如圖4所示，相應的反映Bragg反射特性的3個要素如表1所示.從圖4和表1中可以看出：在不同結構個數下，反射系數隨2L/λ的變化均較為復雜，存在若干波峰和波谷；結構個數越多，波峰和波谷的數目越多.在所有不同的結構個數的情況下都能觀察到Bragg反射現象，且反射的發生條件均在理論條件2L/λ=1.0[3]附近，但均位于其右側，即波長偏小處.隨著結構個數的增多，反射的發生條件逐漸向左側偏移，更加靠近理論條件，說明結構物的個數越多越能精確地利用Bragg反射原理.同時，隨著結構個數的增多，反射強度不斷增大(如N=5時，Kp=0.98，幾乎實現了全反射)，但此時有效寬度會減小.

圖4 不同結構個數下反射系數隨2L/λ的變化

表1 不同結構個數下的Bragg反射特性

3.4 結構半徑的影響

設N=3，S/h=2.5，結構半徑a/h對反射系數的影響如圖5所示，相應的反映Bragg反射特性的3個要素如表2所示.

從圖5和表2中可以看出，對于不同的結構半徑，反射系數在整個2L/λ范圍內的變化趨勢是相似的.Bragg反射的發生條件均在理論條件2L/λ=1.0附近，但均位于其右側，即波長偏小處.隨著結構半徑的減小，反射的發生條件向左偏移，逐漸靠近理論條件，說明小半徑結構能夠更加精確地利用Bragg共振原理，但隨著結構半徑的減小，反射強度和有效寬度均減小.

圖5 不同結構半徑下反射系數隨2L/λ的變化

表2 不同結構半徑下的Bragg反射特性

3.5 結構間距的影響

設N=3，a/h=0.25，結構間距S/h對反射系數的影響如圖6所示，相應的反映Bragg反射特性的3個要素如表3所示.從圖6和表3中可以看出，隨著結構間距的增大，Bragg反射的發生條件逐漸向左偏移，即更接近理論條件2L/λ=1.0，說明大間距結構能更精確地利用Bragg共振原理，但隨著結構間距的增大，反射強度和有效寬度均減小.盡管在小間距時Bragg反射強度最大，但其發生條件對應的波長最小，因此限制了其在衰減長波長水波中的應用.如：S/h=1.5時，反射的發生條件對應的波長λ=32.3 m；S/h=3.5時，反射的發生條件對應的波長λ=73.4 m.應用Bragg反射衰減長波長水波時，由于有大間距結構的需求，可通過增加結構個數來抵消其反射強度的減小，通過增大結構半徑來抵消其有效寬度的減小.

圖6 不同結構間距下反射系數隨2L/λ的變化

表3 不同結構間距下的Bragg反射特性

4 結論

(1) 固定于水面的多個半圓形結構物的Bragg反射發生條件在理論條件附近；個數較多、半徑較小、間距較大的結構物能更精確地利用Bragg反射原理.

(2) 增加結構個數能夠增加Bragg反射強度，但會減小有效寬度；增大結構半徑能同時增加Bragg反射強度和有效寬度；增大結構間距會同時減小Bragg反射強度和有效寬度.

本文的研究結果對基于Bragg反射原理的防波堤設計具有一定的參考價值.

致謝感謝英國勞氏船級社基金會(LRF)通過倫敦大學學院、上海交通大學和哈爾濱工程大學聯合中心提供的資助.