修正的響應面方法優化螺栓法蘭連接結構幾何參數*

蔣國慶，陳萬華，王元興

(中國空氣動力研究與發展中心， 四川 綿陽 621000)

螺栓法蘭連接作為火箭箭體級與級之間主要的連接方式之一，其力學性能在很大程度上影響著火箭發射的成敗，而其結構質量也在一定程度上影響著射程[1]。以某型火箭為例，若其結構質量減輕1 kg，則射程會增加接近1 km。可見對箭體級間螺栓法蘭連接結構開展減重優化是非常必要的。

眾所周知，火箭的總質量是相當可觀的，其連接部位一般偏向保守設計，導致該處質量偏大，存在較大的優化空間。然而，連接部位結構異常復雜，采用傳統的優化方法進行優化計算時，不僅計算效率低，且難以得到最優結果。基于有限元軟件的二次開發語言(如Abaqus的Python語言、MSC.Patran的PCL(Patran command language)語言等)得到結構的參數化模型，隨后根據響應面方法的基本原理構建結構中所關注的靜力學或者動力學響應指標與相關參數之間的響應面模型，再選用遺傳算法、模擬退火算法等智能算法對該響應面模型進行優化，這是一種可行的優化思路。蔣國慶等[2]基于PCL語言建立了螺栓法蘭連接的參數化模型，并分析了結構剛度對主要幾何參數的敏感系數，進而得到了敏感參數和鈍感參數。申志彬等[3]基于PCL語言建立了集建模與分析于一體的星形藥柱參數化模型，并分析了結構主要幾何參數對最大Von Mises 應變的影響規律。萬華平等[4]提出了一種基于高斯過程響應面的有限元模型修正方法，相較于傳統參數型響應面方法而言，該方法用于有限元模型修正更有優勢。鮑諾等[5]基于參數化模型和拉丁方試驗設計方法獲得了多項式響應面模型，以響應面模型預測結果和實驗結果之間的誤差為目標函數，并采用自適應模擬退火算法獲得了最優的響應面參數，進而得到了修正后的響應面模型，優化后的響應面模型具有良好的復現和預測能力。魏錦輝等[6]提出了基于具有全局收斂特性的自適應響應面的結構有限元修正方法，該方法能夠有效避免陷入局部最優，且只需少量樣本點即可得到全局最優解。歐陽琦等[7]考慮到響應面方法在并行子空間優化中的不足，提出了基于鄰域加強的優化方法，改進后方法的優化效率得到了較大的改善。麻越垠等[8]基于響應面方法對葉柵擺動裝置有限元模型的多個參數進行了優化，優化后模型的模態分析結果與模態試驗結果之間的相關性得到明顯提高。

本文以箭體級間螺栓法蘭連接結構的簡化模型為研究對象，在綜合考慮前述響應指標與優化參數之間的內在聯系的基礎上，提出一種修正響應面模型。

1 響應面方法

一般而言，螺栓法蘭連接結構的參數主要指的是幾何參數，設其n個參數分別為x1,x2,…,xn，則其響應y(如位移、應力、加速度等)與參數之間的關系可用式(1)表示：

y=f(x1,x2,…,xn)+ε

(1)

式中：f(x1,x2,…,xn)為響應函數；ε為隨機誤差，其均值為0、方差為σ2。由式(1)擬合得到的模型稱為響應面模型，其預測精度主要取決于f的優劣程度。f一般為多項式，例如二階多項式，如式(2)所示。

(2)

式中：ai為待定系數，當i≠j時aij表示變量xi和xj兩者之間的耦合作用；當i=j時aij表示變量xi的二次效應。

對結構參數進行m次(m≥n+1)設置并分別進行數值計算(以下簡稱數值試驗)，從而可以得到y的m個數值試驗值。將這些參數及對應的響應面預測值分別代入式(2)，可以得到如下方程組：

(3)

式(3)的矩陣形式為：

(4)

記這m次試驗的數值試驗值向量為：

Y=[y(1),y(2),…,y(m)]T

(5)

為使響應面模型的預測誤差最小，由最小二乘法有：

(6)

將式(4)代入到式(6)中，可以得到：

δ(A)=(XA-Y)T(XA-Y)

(7)

為使得函數δ(A)取極值，需要滿足如下條件：

(8)

對式(8)進行化簡，可得

(XA-Y)TX=0

(9)

當XTX不奇異時，可得到A的表達式為：

A=(XTX)-1XTY

(10)

將數值試驗值和試驗參數代入式(10)即可得到待定系數的值，進而可得相應的響應面模型。

2 修正響應面模型

由式(1)和式(10)可知，響應面模型的預測精度主要取決于響應函數和數值試驗。在數值試驗相同的條件下，響應函數的選取則顯得格外重要[9]。一般而言，多項式響應函數具有一定的普遍性，能夠解決大部分擬合問題。在此，把與多項式響應函數相對應的響應面模型稱為經典響應面模型。為提高經典響應面模型的擬合精度和預測精度，有時需要多次調整多項式的次數和數值試驗的次數。這一過程需要耗費大量的時間和精力。即便如此，有時也不能得到理想的預測精度。因此，需要根據實際情況對多項式響應函數進行一定修正。

經典響應面模型的普適性意味著它與實際案例的關聯度不高。因此，對經典響應面模型進行修正時特別需要與具體實際相結合。對螺栓法蘭連接結構進行參數優化時，需要根據優化約束條件與優化參數之間的內在聯系，建立合理的修正響應面模型。

(a) 實際結構(a) Actual structure (b) 簡化結構(b) Simplified structure圖1 火箭級間連接結構及其簡化結構Fig.1 Connection structure in rocket and its simplified structure

根據火箭箭體級間螺栓法蘭連接結構的實際形式(如圖1(a)所示)，設計如圖1(b)所示簡化后的螺栓法蘭連接結構(該結構高為700 mm，外徑為300 mm)，其中法蘭質量主要由內翻法蘭寬度t2和內翻法蘭厚度t3決定。對法蘭進行以質量最輕為優化目標時，若設置約束條件為軸向拉伸載荷作用下頂端位移d不大于某一指定數值，則需要構建該位移與優化參數之間的響應面模型。

為構建合理的修正響應面模型，設計如表1所示數值試驗，以獲得d與優化參數之間的內在聯系，表中t2和t3的單位均為mm，下同。

根據數值試驗一的計算結果，可得d與優化參數之間的關系曲線如圖2所示。

由圖2可知，內翻法蘭寬度t2與模型頂端軸向位移之間近似為二次函數關系，內翻法蘭厚度t3與該位移之間近似為倒數關系。令x1=t2、x2=t3，設計修正響應面模型為：

(11)

與之相對應的經典響應面模型為：

(12)

為求得式(11)和式(12)中的未知數，根據均勻試驗原理設計得到表2所示數值試驗，計算結果見表2。

(a) 內翻法蘭寬度t2(a) Width of flange t2

(b) 內翻法蘭厚度t3(b) Thickness of flange t3圖2 頂端位移d與優化參數關系曲線Fig.2 The curve between d and parameters

表1 數值試驗一

表2 數值試驗二

根據表2的相關數據，可計算得到修正響應面模型和經典響應面模型分別為：

(13)

d=0.059 0+0.035 5x1-0.181 1x2-

(14)

與式(14)相比，式(13)中其余項的系數遠小于0.000 1，在此忽略不計。式(13)和式(14)所對應的曲面分別如圖3和圖4所示。

圖3 經典響應面Fig.3 Typical response surface

圖4 修正響應面Fig.4 Modified response surface

為對比兩個模型的預測精度，重新設計數值試驗并統計計算結果如表3所示。采用式(13)和式(14)分別對數值試驗進行預測，把預測結果和預測誤差也統計于表3。

由表3可知，修正響應面模型的預測值誤差相對比較均勻，且最大誤差絕對值要明顯小于經典響應面模型的相應值，最大誤差為7.55%。因此，對螺栓法蘭連接結構進行參數優化時，可以優先考慮修正響應面模型。

3 螺栓法蘭連接結構參數優化

對螺栓法蘭連接結構進行參數優化時，設置其優化目標為法蘭質量最輕，取法蘭密度為ρ=2.7×10-9t/mm3，則法蘭質量為：

(15)

式中，Mflange的單位為t。

考慮到現有的螺栓法蘭連接結構模型是根據現有經驗設計而得，在給定載荷(即50 kN集中拉力)作用下模型頂端軸向位移為0.14 mm。因此，可將該值設置為約束條件之一。綜合考慮參數的可變范圍，可得螺栓法蘭連接結構的優化模型為：

(16)

采用遺傳算法對式(16)進行參數優化計算，其中種群數設置為50，迭代次數設置為40，優化過程如圖5所示。由圖5可知，當迭代次數為15時，已經得到優化結果，統計如表4所示。

表3 數值試驗三

圖5 修正響應面模型優化計算過程Fig.5 Optimization process of the modified response surface model

x1/mmx2/mmMflange/kg優化前26101.096優化后14.006.700.424變化幅度/%-46.15-32.96-61.36

由表4可知，法蘭質量得到大幅度減小，取得了較為理想的優化結果。為驗證優化結果的有效性，利用優化后的參數，建立優化后的螺栓法蘭連接結構模型的有限元模型并進行相同拉力載荷下的靜力學分析，得到模型頂端軸向位移為0.13 mm。該位移值與目標位移相差-7.14%。即優化后的法蘭結構不僅質量得到了大幅度減小，且模型的抗拉剛度得到一定增強，所以優化效果是非常明顯的。

4 結論

基于結構參數與所關注結構響應之間的內在關系，建立了螺栓法蘭連接結構的修正響應面模型，并采用遺傳算法對法蘭進行了以質量最輕為目標的優化設計，得到的主要結論如下。

1)修正響應面模型考慮了優化參數與響應之間的內在聯系，因而其擬合精度明顯優于經典響應面模型；

2)響應面方法與遺傳算法相結合是一種合理的優化思路，不僅能得到滿意的優化結果，還能極大地提高優化效率。