基于前景理論和證據(jù)推理的混合型多屬性決策方法*

羅承昆，陳云翔，顧天一，項華春

(1. 空軍工程大學(xué) 裝備管理與無人機工程學(xué)院， 陜西 西安 710051； 2. 中國人民解放軍66139部隊， 北京 100041)

多屬性決策方法在社會、經(jīng)濟(jì)和軍事等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。由于決策環(huán)境的復(fù)雜性，決策過程中的屬性評估參數(shù)往往包含不精確、不完整、甚至完全未知的信息，僅僅用精確數(shù)難以表達(dá)，應(yīng)該結(jié)合區(qū)間數(shù)、模糊數(shù)和語言變量等形式進(jìn)行刻畫。因此，針對混合型多屬性決策問題開展研究具有重要的理論和實踐價值。

現(xiàn)有的混合型多屬性決策方法大多是根據(jù)期望效用理論提出的，即完全掌握相關(guān)決策信息，追求效用最大化。但在實際決策過程中，決策者通常會表現(xiàn)出有限理性的心理特征(比如參考依賴、對損失和收益的風(fēng)險偏好不同等)，基于期望效用理論的決策方法難以反映決策者的真實選擇。隨著行為決策理論的發(fā)展，基于有限理性假設(shè)的前景理論[1-2]以其符合決策者思維習(xí)慣的優(yōu)勢得到了越來越多的關(guān)注。文獻(xiàn)[3]采用三角模糊數(shù)對混合型信息進(jìn)行統(tǒng)一，結(jié)合前景理論提出了一種基于改進(jìn)投影理論的風(fēng)險型群決策方法。文獻(xiàn)[4]針對以區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)和梯形模糊數(shù)表示的風(fēng)險型混合多屬性群決策問題，提出了一種基于前景理論的決策方法。

上述研究有力地推動了基于前景理論的混合型多屬性決策方法的發(fā)展，但是其采用加權(quán)和法對不確定信息進(jìn)行融合，往往容易造成信息丟失。更有效的方法是將收集到的定性知識與定量信息看作是判斷和推理的證據(jù)，采用證據(jù)推理算法融合決策信息，并對方案進(jìn)行評估和排序。文獻(xiàn)[5]根據(jù)直覺模糊數(shù)對混合型信息進(jìn)行統(tǒng)一，提出了一種基于前景理論和證據(jù)推理的決策方法，但在融合信息前采用主觀估計法直接獲得屬性權(quán)重，決策結(jié)果的可信度較低。在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[6]基于直覺模糊熵和交叉熵建立了屬性權(quán)重確定模型，進(jìn)而提出了權(quán)重不確定條件下的決策方法，但在計算屬性權(quán)重的過程中難以合理確定偏好因子參數(shù)，并且屬性權(quán)重計算量較大。針對以上問題，本文提出一種基于前景理論和證據(jù)推理的混合型多屬性決策方法。

1 預(yù)備知識

1.1 直覺模糊集

相比于模糊集，直覺模糊集同時考慮了隸屬度和非隸屬度兩方面的信息，能夠更好地表達(dá)和處理事物屬性中的模糊性與不確定性，因此自提出以來得到了廣泛的研究與應(yīng)用。

定義1[7]設(shè)X為一個給定的論域，則稱B={〈x,μB(x),vB(x)〉|x∈X}為X上的一個直覺模糊集。其中，μB(x)和vB(x)分別為X中元素x屬于B的隸屬度和非隸屬度，μB:X→[0,1]，vB:X→[0,1]，且0≤μB(x)+vB(x)≤1，?x∈X。X中元素x屬于B的猶豫度為πB(x)=1-μB(x)-vB(x)。μB(x)和vB(x)組成的有序?qū)?μB(x),vB(x))稱為直覺模糊數(shù)。

定義2[7]設(shè)b=(μb,vb)、b1=(μ1,v1)和b2=(μ2,v2)為直覺模糊數(shù)，λ為任意實數(shù)，則直覺模糊數(shù)的運算法則為：

4)b1⊕b2=(μ1+μ2-μ1μ2,v1v2)。

定義3[7]設(shè)有直覺模糊數(shù)b=(μb,vb)，定義S(b)=μb-vb為b的記分函數(shù)，H(b)=μb+vb為b的精確函數(shù)。對于直覺模糊數(shù)b1=(μ1,v1)和b2=(μ2,v2)，可根據(jù)其記分函數(shù)和精確函數(shù)比較它們的大小：

1)若S(b1)>S(b2)或S(b1)=S(b2)∧H(b1)>H(b2)，則b1>b2；

2)若S(b1)

3)若S(b1)=S(b2)∧H(b1)=H(b2)，則b1=b2。

1.2 前景理論

前景理論考慮了不確定環(huán)境下決策者的心理行為特征，認(rèn)為決策者在決策過程中并不是追求效用最大的目標(biāo)，而是選擇綜合價值最滿意的決策方案。價值函數(shù)[1]是前景理論的重要組成部分，其計算公式為

(1)

其中：x≥0為收益，x<0為損失；α與δ代表風(fēng)險態(tài)度系數(shù)，0≤α≤1，0≤δ≤1；σ代表損失規(guī)避系數(shù)，σ>1。

1.3 證據(jù)推理

基于Dempster組合規(guī)則，Yang等[8]提出了遞歸形式的證據(jù)推理算法，為解決不確定決策問題提供了一種非線性多源信息融合方法。針對遞歸算法計算復(fù)雜度較高的問題，文獻(xiàn)[9]在遞歸算法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了解析形式的證據(jù)推理算法。

設(shè)N個相互獨立的評價等級構(gòu)成辨識框架Θ={θp|p=1,2,…,N}，則證據(jù)eq(q=1,2,…,Q)的評價結(jié)果可用置信結(jié)構(gòu)表示為

T(eq)={(θp,βp,q);(Θ,βΘ,q)}

(2)

(3)

式中：mp,q為證據(jù)eq被評為等級θp的基本概率分配；P(Θ)為Θ的冪集，mP(Θ),q為證據(jù)eq未被評為任何等級的基本概率分配。

將Q個證據(jù)的基本概率分配進(jìn)行合成，得到綜合評價結(jié)果為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中：φ為歸一化因子，反映各證據(jù)之間的沖突程度；βp為等級θp的置信度；βΘ為未被評為任何等級的置信度。

2 混合型多屬性決策模型

2.1 基于直覺模糊數(shù)的混合型信息統(tǒng)一

針對屬性值以精確數(shù)、區(qū)間數(shù)和語言變量等形式表示的決策問題，首先需要根據(jù)直覺模糊數(shù)對混合型信息進(jìn)行統(tǒng)一。

(10)

(11)

2.2 基于前景理論的決策信息轉(zhuǎn)化

(12)

其中：fij與oj的大小關(guān)系可通過定義3進(jìn)行判斷；DIFS(fij,oj)表示fij與oj之間的直覺模糊距離[10]，其計算公式為

DIFS(fij,oj)=(1-max(U(fij,oj),V(fij,oj)),

min(U(fij,oj),V(fij,oj)))

(13)

2.3 考慮可靠性與重要性的屬性權(quán)重確定

屬性的可靠性反映的是屬性關(guān)于方案集的評價信息的可靠程度，具有絕對性和客觀性；屬性的重要性反映的是不同屬性對決策結(jié)果的影響程度，具有相對性和主觀性。在解決多屬性決策問題時，為確保決策結(jié)果科學(xué)合理，通常應(yīng)該同時考慮屬性的可靠性與重要性，進(jìn)而確定屬性權(quán)重。

2.3.1 基于直覺模糊熵與相似度的屬性可靠性評估

當(dāng)前，常用的屬性可靠性評估方法大都是基于直覺模糊熵來評估屬性可靠性[11]，即根據(jù)各屬性關(guān)于方案集的評價信息的不確定度來確定屬性的可靠度。事實上，直覺模糊熵只是衡量屬性可靠度的關(guān)鍵因素之一，它是從屬性評價信息的自身清晰程度反映屬性的可靠性。相似度作為反映各屬性評價信息之間相似關(guān)系的重要指標(biāo)，從屬性的外部關(guān)系反映了屬性的可靠性，是衡量屬性可靠度的另一個重要因素[12]。為了對屬性的可靠性進(jìn)行全面客觀的評估，提出一種基于直覺模糊熵與相似度的屬性可靠性評估方法。

直覺模糊熵自1996年由Burillo等[13]提出以來，其公理化定義和公式構(gòu)造形式得到了不斷的改進(jìn)和完善。文獻(xiàn)[14]在分析現(xiàn)有直覺模糊熵的定義和公式可能存在失效問題等不足的基礎(chǔ)上，提出了新的直覺模糊熵及相似度度量方法，并通過算例對比驗證了其合理性和有效性。

定義4[14]設(shè)B={〈xk,μB(xk),vB(xk)〉|xk∈X}和M={〈xk,μM(xk),vM(xk)〉|xk∈X}為論域X={xk|k=1,2,…,K}上的任意直覺模糊集，則B的直覺模糊熵為

(14)

B與M的直覺模糊相似度為

S(B,M)=

(15)

在決策過程中，某屬性關(guān)于方案集的前景決策信息的不確定度越小，那么決策信息越有用，該屬性的可靠度越高。 屬性cj關(guān)于方案集的前景決策信息的不確定度為

(16)

確定屬性可靠度時，除了要考慮屬性關(guān)于方案集的前景決策信息自身的不確定性，還要考慮屬性與其他屬性決策信息的相似性。 屬性cj關(guān)于方案集的前景決策信息與其他屬性的前景決策信息之間的相似度為

(17)

Sj越大，屬性cj關(guān)于方案集的前景決策信息與其他屬性的前景決策信息越一致，其可靠度越高；反之，可靠度越低。

因此，Ej與Sj度量了決策信息的不確定性與相似性，在計算屬性可靠度時應(yīng)綜合進(jìn)行考量。 融合Ej與Sj，得到屬性cj的定權(quán)函數(shù)為

Yj=(1-Ej)+Sj

(18)

Yj越大，說明屬性cj越可靠。 因此，得到屬性cj的可靠度為

(19)

2.3.2 基于可靠度與重要度的屬性權(quán)重確定

現(xiàn)有的屬性權(quán)重確定方法大都只考慮了屬性的可靠性或重要性中的一個因素，實際上這兩個因素對決策結(jié)果均有較大影響。 只有當(dāng)某個屬性既可靠又重要時，才能賦予其較大的權(quán)重。 因此，在分別確定可靠度與重要度的基礎(chǔ)上，得到屬性cj的權(quán)重為

(20)

對wj進(jìn)行歸一化處理，最終得到屬性cj的權(quán)重為

(21)

2.4 基于證據(jù)推理的屬性信息集結(jié)

將屬性cj關(guān)于方案ai的直覺模糊前景價值zij看作一條證據(jù)，采用證據(jù)推理算法集結(jié)所有屬性的直覺模糊前景價值，即可確定方案ai的綜合前景值。

對于前景決策矩陣Z=[zij]m×n，設(shè)前景等級集合[5]為Θ={θh|h=1,2}。其中，θ1=(μz,vz)=(1,0)表示完全達(dá)到了預(yù)期，θ2=(μz,vz)=(0,1)表示完全沒有達(dá)到預(yù)期。那么zij可表示為

T(cj(ai))={(θh,βh,ij),h=1,2;(Θ,βΘ,ij)}

(22)

令mh,ij表示屬性cj對方案ai在等級θh下的基本概率分配，mP(Θ),ij表示屬性cj對方案ai未被評為任何等級的基本概率分配，則有

(23)

將所有屬性對方案ai的基本概率分配進(jìn)行合成，有

(24)

(25)

(26)

(27)

那么，方案ai的綜合評價結(jié)果為T(ai)={(θh,βh,i),h=1,2;(Θ,βΘ,i)}。其中

(28)

(29)

通過上述分析，本文方法的決策流程為：

步驟1：運用式(10)～(11)將混合型決策矩陣D=[dij]m×n統(tǒng)一為直覺模糊決策矩陣F=[fij]m×n。

步驟2：確定參考點向量O=[oj]1×n，通過式(12)～(13)計算得到前景決策矩陣Z=[zij]m×n。

步驟4：根據(jù)證據(jù)推理算法，運用式(22)～(29)集結(jié)屬性權(quán)重和前景決策矩陣，得到各方案的綜合前景值Z(ai)。

步驟5：根據(jù)定義3比較綜合前景值Z(ai)的大小，最終確定方案排序。

3 算例分析

為驗證本文方法的性能，本節(jié)運用文獻(xiàn)[5]的算例數(shù)據(jù)進(jìn)行計算，并與文獻(xiàn)[5]方法、文獻(xiàn)[6]方法、文獻(xiàn)[10]方法進(jìn)行對比分析。

3.1 問題描述

對于某航運企業(yè)競爭力評估問題，假設(shè)有4家班輪公司ai(i=1,2,3,4)，5個屬性分別為凈資產(chǎn)收益率(c1)、資產(chǎn)負(fù)債率(c2)、船隊規(guī)模(c3)、組織結(jié)構(gòu)與戰(zhàn)略和環(huán)境的匹配度(c4)、安全性(c5)。其中，c1和c2為精確數(shù)，c3為區(qū)間數(shù)，c4和c5為語言變量，除c2為成本型外，其他為效益型。屬性權(quán)重完全未知且為實數(shù)，目標(biāo)向量為G=[5，55，[500 000,700 000]，[平均,高]，[平均,高]]，初始決策矩陣如表1所示。

表1初始決策矩陣

Tab.1 Initial decision-making matrix

c1/%c2/%c3/TEUc4c5a13.0363.08[464 986,825 454][平均,很高][很低,高]a23.9866.61[534 211,975 426][低,高][低,最高]a35.8451.89[340 131,555 525][很低,高][平均,很高]a44.2853.54[465 228,693 691][低,平均][低,高]

3.2 決策過程

運用本文方法對4家班輪公司進(jìn)行評估和排序，具體步驟如下：

步驟1：目標(biāo)向量與初始決策矩陣構(gòu)成決策增廣矩陣Do=[dsj]5×5，通過混合型信息的統(tǒng)一得到直覺模糊決策增廣矩陣F=[fij]4×5和參考點向量O=[oj]1×5：

步驟2：根據(jù)Tversky[2]的實驗數(shù)據(jù)，考慮α=δ=0.88，σ=2.25，通過式(12)～(13)計算得到前景決策矩陣Z=[zij]4×5：

步驟4：根據(jù)證據(jù)推理算法，運用式(22)～(29)集結(jié)屬性權(quán)重和前景決策矩陣，得到各班輪公司的綜合前景值Z(ai)：

Z(a1)=(0.073 0,0.795 3)

Z(a2)=(0.157 0,0.681 8)

Z(a3)=(0.118 1,0.692 3)

Z(a4)=(0.290 5,0.502 1)

步驟5：根據(jù)定義3得到各班輪公司的記分函數(shù)值為S(a1)=-0.722 3，S(a2)=-0.524 8，S(a3)=-0.574 2，S(a4)=-0.211 6；精確函數(shù)值為H(a1)=0.868 3，H(a2)=0.838 8，H(a3)=0.810 4，H(a4)=0.792 6。因此，各班輪公司的排序結(jié)果為a4?a2?a3?a1。

3.3 對比分析

為進(jìn)一步驗證本文方法的性能，分別運用文獻(xiàn)[6]方法和文獻(xiàn)[10]中的直覺模糊加權(quán)平均(Intuitionistic Fuzzy Weighted Averaging, IFWA)算子對上述前景決策矩陣進(jìn)行合成，確定各班輪公司的排序結(jié)果，并與文獻(xiàn)[5]方法、本文方法進(jìn)行對比分析。運用以上4種方法得到的決策結(jié)果如表2所示。

由表2可知，4種方法得到的排序結(jié)果相同，從而驗證了本文方法具有可行性和有效性。為進(jìn)一步與文獻(xiàn)[5]方法、文獻(xiàn)[6]方法、文獻(xiàn)[10]方法開展比較，圖1～2分別給出了基于記分函數(shù)和精確函數(shù)的決策結(jié)果對比情況。通過對圖1～2進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[5]方法得到的精確函數(shù)值明顯高于文獻(xiàn)[10]方法，說明采用證據(jù)推理算法進(jìn)行屬性信息集結(jié)，能夠最大限度地減少信息丟失，降低決策結(jié)果的不確定性。相比于文獻(xiàn)[5]方法、文獻(xiàn)[6]方法，本文方法在確定屬性權(quán)重時不僅考慮了屬性的重要性，還根據(jù)決策信息的不確定度與相似度考慮了屬性的可靠性，屬性權(quán)重確定結(jié)果更加全面合理，因而得到的記分函數(shù)值之間區(qū)分度更大，精確函數(shù)值更高，更有利于做出決策。因此，本文方法與其他3種方法相比更具優(yōu)越性。

圖1 基于記分函數(shù)的決策結(jié)果對比Fig.1 Comparison of decision-making results based on score function

表2 4種方法得到的決策結(jié)果

圖2 基于精確函數(shù)的決策結(jié)果對比Fig.2 Comparison of decision-making results based on accuracy function

4 結(jié)論

針對屬性權(quán)重完全未知的混合型多屬性決策問題，提出了基于前景理論和證據(jù)推理的決策方法。考慮了決策信息的不確定性與相似性，從直覺模糊熵與相似度兩個方面提出了屬性可靠性評估方法，進(jìn)而結(jié)合屬性重要度確定了屬性權(quán)重，確保了屬性權(quán)重的全面性與合理性。算例分析結(jié)果表明，本文方法得到的決策結(jié)果更具有區(qū)分度、不確定性更低，適合用來處理混合型多屬性決策問題。