擴張狀態觀測器的觀測誤差前饋補償設計*

高欽和，董家臣

(火箭軍工程大學 兵器發射理論與技術軍隊重點實驗室， 陜西 西安 710025)

在非線性系統的控制中，使用狀態觀測器估計系統狀態以實現前饋、反饋、解耦或補償是一種實用而有效的控制思想。韓京清等提出的自抗擾控制(Active Disturbance Rejection Control, ADRC)技術[1-3]通過設計擴張狀態觀測器(Extended State Observer, ESO)，在不依賴擾動模型的前提下能夠實時觀測系統“總擾”并反饋補償控制率，具有極強的擾動抑制能力。ESO作為ADRC的核心，通過觀測誤差方程的迅速收斂實現對系統各階狀態的跟蹤，然而采用的誤差非線性收斂形式fal(e,α,δ)在獲得高觀測效率的同時也帶來了參數整定煩瑣的弊端。為此，Gao等[4]基于帶寬思想將ADRC的控制器和ESO均以線性形式實現，將需整定的參數由7個以上減少至2個，使得線性自抗擾控制器的廣泛工程應用成為可能。

在構建ESO時采取了忽略擾動的處理方式，故在擾動存在動態變化的情況下觀測將存在誤差。利用非線性函數的“大誤差、小增益，小誤差、大增益”特點可以有效減小這種觀測誤差的影響。而線性擴張狀態觀測器(Linear Extended State Observer, LESO)為了獲取更簡便的參數整定效率放棄了非線性形式，在觀測精度上不得不做出讓步[4]。作為反饋補償的輸入源，LESO觀測誤差的存在會降低伺服系統的控制精度，因此在光刻機、高精度數控機床等精密領域，線性自抗擾控制(Linear ADRC, LADRC)技術的應用相對受限。提高LESO的觀測精度成為LADRC研究的熱點之一。

當前，許多學者已經對LESO的觀測能力展開了研究。文獻[5-7]在時域內給出了被控對象動態模型未知時觀測誤差有界的理論證明；文獻[8]對二階系統LESO收斂性和頻帶特性和濾波性能進行了分析，并通過仿真進一步分析了LADRC的穩定性和抗擾性；文獻[9]則使用頻域分析法分析了LESO的跟蹤性能，通過非“3w”法參數整定原則對LESO做出了改進；文獻[10]證明了高階LESO的收斂性，通過仿真得出增加擴張階數和提高帶寬均能提高觀測精度的結論。

LESO的濾波能力、觀測誤差的收斂性和有界性、觀測系統的穩定性等性質已經得到了較多的研究證明，然而在如何有效提高觀測精度上，尚缺少文獻進行策略設計并給出理論分析。然而，在實際應用中，往往更需要對LESO的觀測誤差有一個量化的表述，以據此做出相應的改善，增強觀測器的跟蹤能力，并最終提高整個LADRC系統的控制效果。在這一方面的研究中，目前只有文獻[11]做出了嘗試，提出使用誤差的多階微分改進ESO的策略，但這種方式本質上變更了經典ESO的結構，因此傳統ESO的穩定性研究成果不再適用，為此該文給出了二、三階ESO的穩定證明，但對更高階的觀測器則未進行討論；同時誤差項的多階微分的使用并不適用于含噪聲的系統，這也限制了這種改進策略的使用。

為此，本文從分析LESO的觀測機理入手，通過對擾動項的線性化、誤差系統動態響應的忽略，推導出LESO觀測靜差的量化表達形式，并據此提出了一種前饋補償器。隨后從理論上分析了補償思路的可行性，對誤差幅值和相位滯后的補償效果分別進行了討論，進而將這種補償思路擴展至NESO中，最后通過仿真和實驗對補償器的有效性進行驗證。

1 ESO的設計簡介

不失一般性，考慮如下一類單輸入單輸出(Single-Input-Single-Output， SISO)的非線性時變系統：

y(n)(t)=f(y(n-1)(t),…,y(t),w(t))+bu(t)

(1)

(2)

其矩陣形式可表達為：

(3)

在h未知、干擾模型無法利用的前提下，按照ESO的設計思路[1]，采取忽略擾動的處理方式，建立式(4)所示觀測模型：

(4)

式中：zi(t)為xi(t)的觀測值(i=1,…,n+1)，βi為ESO的增益系數，gi(e1(t))代表設計的誤差函數。由系統模型(2)與觀測模型(4)作差，可以得到觀測誤差系統：

(5)

式中，ei(t)=xi(t)-zi(t)。當e1(t)gi(e1(t))>0,?e1(t)≠0且gi(0)=0時，誤差系統(5)是漸近收斂的[10]。此時模型(4)能夠以一定精度實現對模型(2)各階狀態的跟蹤。可通過調整βi來調整誤差收斂的速度，以獲得期望的觀測效果。目前，對于gi(e1(t))主要有兩種設計方法：

1)非線性函數。經典連續冪次函數fal(e1,α,δ)應用較多，其形式為：

(6)

式中：α表示放大因子，δ表示原點附近線性區間長度。該函數具有“大誤差、小增益，小誤差、大增益”的收斂特點，線性段的引入能夠有效減輕高頻顫振現象，以此構造的非線性擴張狀態觀測器(Nonlinear ESO, NESO)，在觀測上具有誤差衰減快、觀測精度高、觀測帶寬實時自調整等顯著優勢，但在實際應用中，參數整定復雜、穩定性分析也較為困難。

2)線性函數。最簡線性函數可取gi(e1(t))=e1(t)，此時模型(4)中的觀測部分可列寫為式(7)所示矩陣形式：

(7)

(8)

求出其特征方程f(λ)，并基于文獻[4]的帶寬整定思想配置觀測增益：

f(λ)=|Ae-λIn+1|=(λ+wo)n

(9)

式中，wo∈R+為設置的觀測器帶寬。通過這種方式配置L使得式(9)滿足Lyapunov第一穩定條件，即可使LESO以一定精度實時跟蹤系統狀態。至此，對任意階數的LESO均只存在一個待整定參數wo。LESO設計簡單，時域、頻域分析理論均可使用，同時參數整定過程較NESO得到極大簡化，這使得LESO的廣泛工程應用成為可能。因此后文以LESO為主要研究對象展開分析。

2 LESO的觀測誤差分析

LESO是LADRC的核心部分，其估計精度和速度決定了擾動補償的效率，直接影響整個系統的控制效果。由于系統總擾項在動態變化時存在不確定性和非線性，觀測誤差的直接計算存在一定困難。文獻[6]指出，在h(t)有界時，按式(7)構造的LESO觀測誤差是一致收斂的，同時給出了誤差的有界性證明。在此前提下，如果能進一步將觀測系統做線性處理，就可以使用成熟的線性系統分析理論對觀測誤差做量化分析。

2.1 誤差系統的線性近似

2.1.1 總擾項的線性化

假設總擾項f(y(n-1)(t),…，y(t),w(t))各階導數存在且有界，在t0時刻對其泰勒展開：

=f(t0)+h(t0)(t-t0)+ο(t-t0)

(10)

類比微分，在觀測步長Δt=t-t0足夠小，近似誤差ο(Δt)可忽略時，可以將未知擾動按線性變化來處理。因而在分析誤差系統時做以下近似：

近似1：在計算步長Δt內，視h(t)=h(t0)=h0為恒值。

這種近似產生的截斷誤差不會超過：

(11)

此時，在Δt內誤差方程(8)變為常系數一階線性非齊次矩陣微分方程：

(12)

2.1.2 誤差動態響應的忽略

將式(12)展開，得到誤差微分方程組:

(13)

可見，各階誤差在誤差系統中相互嵌套，同時存在著動態響應和穩態靜差。動態響應影響觀測速度，靜差大小則決定LESO最終觀測精度的高低。動態響應的客觀存在使得量化表示某一時刻的觀測誤差十分困難。

注意到式(9)中基于帶寬wo的參數整定方法使得式(12)中系數矩陣Ae是Hurwitz的、誤差方程能夠實現漸近穩定，即

(14)

這意味著隨著時間的推移，誤差的動態響應分量在LESO的觀測誤差中所占比重將逐漸減小，直至最終無限趨近于0。因此將式(14)代入式(12)中能夠得到：

(15)

誤差(15)即為最終的穩態觀測靜差。然而對控制系統而言，嚴格滿足t→∞這一收斂條件是不實際的。事實上，LESO觀測誤差的收斂速度由帶寬wo決定，在不考慮噪聲引入的情況下，wo越大，對應的收斂速度越快[8,10]。在實際應用中，通過整定wo實現對系統各階狀態的迅速觀測是保證觀測系統正常發揮作用的前提。因而在此基礎上做出進一步的近似，認為在計算步長Δt內式(12)已能達到穩態。

經過以上近似，在單次計算步長內可以將動態響應略去，使用式(16)來描述LESO的觀測精度：

(16)

2.2 觀測誤差的表達

對式(16)展開并化簡，得：

(17)

按照帶寬配置原則，由二項式定理可得觀測增益：

(18)

將其代入式(17)并化簡，得到觀測靜差的最終表達式：

(19)

至此，通過近似1、近似2，將LESO的誤差系統進行了線性處理，極大地簡化了時變系統中擾動項的非線性和LESO觀測誤差收斂過程中的動態響應帶來的分析困難。在此基礎上推導出的靜差表達式(19)，即可認為是近似后LESO的觀測誤差量化表達式。

結論1：LESO在本質上屬于有差觀測系統，忽略f的構造方式使得觀測過程存在如式(19)所示的近似觀測誤差，其大小與整定的觀測器帶寬wo、擴張階數n以及總擾變化率h有關。在LESO階數確定時，總擾變化過快將使得LESO觀測精度降低，而提高帶寬wo是提高觀測精度的有效辦法。

注2：實際應用中，受觀測噪聲的影響，wo的整定存在上限，此時，總和擾動變化較大的系統，誤差的動態響應也會相對劇烈，近似2由于忽略誤差的動態響應帶來的偏差也會越大。因此，將靜差表達式(19)看作LESO的觀測誤差量化表達式，對于擾動變化極為劇烈、LESO無法及時完成觀測的系統而言并不適用。

3 LESO的前饋補償設計

(20)

LESO的目標是實現對被觀測系統各階狀態的實時估計，該過程依賴e1(t)的收斂，而e1(t)=x1(t)-z1(t)是可以實時獲得的。為避免微分，做以下代換：

(21)

將其代入補償器的表達式(20)中化簡，并補充定義β0=1，補償器最終可以用式(22)表達(Di表示第i階狀態對應的觀測補償量)：

{Di=βi-1e1i=1,2,…，n+1}

(22)

LESO的前饋補償結構如圖1所示。

圖1 LESO的前饋補償結構設計Fig.1 Design of feedforward compensation structure of LESO

3.1 前饋補償的時域有效性

由式(3)、式(7)、式(20)可得補償后的誤差方程：

后一項展開后為零矩陣：

(24)

故將Ae展開代入并繼續化簡，得到：

(25)

聯立誤差微分方程組(13)，最終可化簡為：

(26)

結合第2節中所做的近似，最終能夠得到：

(27)

式(26)中，即便觀測誤差未及時收斂，恒有e′1=0。這正是使用e1補償各階觀測誤差的特點。由于LESO采用借助e1構造誤差收斂系統的結構形式，基于可測真值y=x1修正觀測值z1，同時也實現了對其他各階觀測量的修正。

3.2 對觀測滯后的補償作用

LESO的觀測存在相位滯后，且觀測器階數越高，滯后越嚴重[9]。補償器使用e1前饋補償各階狀態，使得輸入量與補償后的輸出量之間的傳遞關系發生了變化。接下來對補償前后觀測系統的時延做分析。

對模型(13)取拉式變換，化簡后可以得到：

(28)

特別地，聯立模型(28)中的最后兩個公式，可以推導出擾動項與n+1階觀測誤差之間的傳遞函數：

(29)

按照同樣的分析方式，求出補償后模型(26)的拉式變換式為：

(30)

將式(28)與式(30)聯立，得到引入補償器后LESO在觀測第i階狀態時，補償前、后觀測誤差之間的傳遞函數：

(31)

若采用式(18)所示的基于帶寬的參數整定方式，并定義相對頻率Ω=ω/ωo，可進一步化簡出：

(32)

據此繪制出誤差傳遞函數的Bode圖(以4階觀測器為例)，如圖2所示。

圖2表明，各階狀態的觀測誤差經過補償器的傳遞，幅值減小、相角滯后有所減輕，且這種補償作用隨頻率的降低、觀測的狀態階數的增高而更加明顯；在Ω=5.128 6時，A(Ω)=1.43,φ(Ω)=43.592 9°，此時對各階狀態的補償曲線已基本重合，補償作用較為微弱；在Ω>13.3的高頻區，|A(Ω)|<0.1，φ(Ω)<17.52°，此時補償作用幾乎喪失。當然，由于觀測帶寬存在上限，通常無法達到如此高的相對頻率，因此補償器在LESO的工作區是能夠正常發揮作用的。

圖2 誤差傳遞函數的Bode圖Fig.2 The Bode diagram of error transfer function

注3：補償器以串聯形式對觀測值加以修正，并不影響LESO原有的收斂性、頻帶特性和濾波性能等固有性質。若通過整定觀測增益，使得原系統的觀測器滿足BIBO(bound-in-bound-out)穩定[6-7]，此時在步長Δt內，對于系統第一階狀態的觀測，下式是成立的(es指觀測靜差值)：

由補償器的結構形式(22)可知，此時各階補償量同樣是收斂且有界的，因此補償環節的引入并不會造成觀測系統的發散，即：補償器與擴張狀態觀測器具有相同的穩定性，二者通過串聯作用，共同實現對系統狀態的無靜差觀測。

4 推廣至NESO

LESO的結構特點使得通過線性近似后可以量化系統的觀測靜差，并可使用時頻分析方法驗證前饋補償器的有效性；而對NESO，誤差收斂選用的是非線性函數，不僅在推導觀測靜差上存在困難，頻域分析法也無法使用。

圖3給出了對LESO進行前饋補償的過程示意。對比可見，經過前饋補償，狀態觀測的綜合過程已不存在誤差項，補償后的模型與真實系統形式相同，即便e1→0不成立，仍然不會存在觀測靜差。傳統LESO通過誤差系統的漸近收斂性提供觀測驅動力，補償器D則依據真實輸入值y對各階觀測偏差進行實時修正。將這種補償思路類比至NESO，有:

(33)

因此前饋補償器應該取如式(34)所示形式(同樣補充定義：g0(e1)=e1)：

{Di=βi-1gi-1(e1)i=1,2,…，n+1}

(34)

圖3 補償過程示意Fig.3 Compensation process

5 仿真與實驗

本節分別通過仿真和實驗驗證補償器的有效性。設計仿真系統，對各階狀態的觀測誤差補償效果進行分析，同時比較補償器對LESO和NESO的補償能力。實驗則重點考慮在整個LADRC系統中引入補償器對控制精度的改善作用。

5.1 仿真

在參考文獻[11]的基礎上，設計如下含隨機擾動的三階非線性系統：

v(t)+4·u(t)

(35)

1)LESO按帶寬整定思想配置，wo=100 Hz。

① LESO:

(36)

② D：

(37)

2)NESO的誤差收斂函數取為fal形式，具體參數設置如下：δ=0.05，β1=40，β2=8×103，β3=8×104，β4=3×106。

① NESO:

(38)

② D:

(39)

圖4～6詳細給出了補償器作用效果的仿真曲線。圖4中橫向對比可以發現，在補償上D對x1實現了完全補償，對x2、x3觀測精度也存在兩個量級的提升，補償作用非常明顯。通過縱向對比，不論是使用LESO還是LESO+D，均存在觀測狀態的階數越高精度越低的規律，且各階狀態觀測誤差的曲線形狀相似，任意時刻誤差之間的比值與觀測器增益近似一致(補償后e1除外)。這是因為觀測器在結構設計上使用e1構成誤差收斂項，補償前狀態觀測值與真值間的各階誤差必然按βi的比例遞增，補償后由于算例中擾動項的非線性特征較為明顯，同時帶寬wo的取值并不大、誤差動態響應在單步計算中不能完全忽略，所以仍存在部分殘留靜差以及動態響應誤差。隨著帶寬的增大，這部分誤差可以繼續減小。

(a) 補償前(a) Before compensation

(b) 補償后(b) After compensation圖4 補償前后LESO對各階狀態的觀測誤差對比Fig.4 Comparison of observation error of LESO for each order state before and after compensation

圖5表明，在對x2的觀測補償上，穩定后最大觀測誤差LESO由2.839E-5減小至8.046E-8，NESO由4.38E-5減小至5.76E-7，精度均獲得了百倍左右的提高。5 s加載擾動后，補償器對狀

(a) v(t)為0(a) v(t) is set to zero

(b) v(t)為階躍信號(b) v(t) is set to step signal

(c) v(t)為噪聲信號(c) v(t) is set to noise signal圖5 補償器對x2的作用效果Fig.5 Effect of the compensator on x2

態的瞬時觀測則只提升了約10倍，這是因為在擾動加載的瞬間，系統的非線性特征很強，補償器完全補償靜差的兩個近似條件不能嚴格滿足，因此效果較圖5(a)中的精度提升有所下降。圖5(c)中系統存在噪聲擾動的情況下，在提高觀測精度的同時，觀測器對噪聲還產生了一定的濾波作用。在觀測器的比較上，本文仿真中整定的參數使得LESO與NESO的觀測精度相仿，但NESO的觀測增益卻比LESO小兩個量級，這有力地證明了NESO在觀測上的高效性。在圖6中對x3的觀測，LESO+D的觀測滯后程度明顯優于LESO，這與前文補償器對相位滯后存在校正作用的推導是一致的。

圖6 對x3相位滯后的校正Fig.6 Correction of x3 phase lag

5.2 實驗

ESO通常作為ADRC的一個重要環節，在實際應用中更關心的是補償的設計對整體控制精度是否有提高。為此，針對PMLSM易受擾動影響而精度不高的問題，引入補償器改進直線電機的LADRC伺服回路。系統中存在的紋波力、摩擦力、負載力等多種非線性擾動成為制約控制精度的主要原因。

直線電機的位置模型為二階非線性系統[13]，引入補償器后的改進LADRC控制系統設計如圖7所示。

圖7 改進LADRC在PMLSM控制中的結構圖Fig.7 Structure of improved LADRC in PMLSM control

實驗中使用了定制的永磁直線同步電機半實物仿真平臺。在上位機中利用MATLAB/Simulink的XPC Target系統模塊導入Simulink模型，經編譯后下載至運動控制卡中，輸出信號送入伺服驅動器以控制電機運行，采集數據并處理繪圖。驅動器系數Ka=0.84 A/V，力常數Km=15 N/A，小車與砝碼的總質量M=3.8 kg，摩擦力系數B≈1.2 N·s/m。電機行程1.0 m，光柵尺定位精度為±2 μm。

實驗中，伺服系統控制參數最終確定見表1。

在上位機的MATLAB/Simulink中搭建圖7所示的控制系統，利用RTW工具箱自動生成C代碼，編譯、下載到目標機。為同時驗證補償器對誤差幅值大小、相位滯后的補償有效性，期望信號設成頻率為1 Hz、幅值0.1的正弦時變信號y=0.1sin(t)，過程持續10 s。

表1 改進LADRC測試系統參數設置

圖8給出了實驗中補償器對動子位置的控制誤差的作用效果曲線。由圖可以看出，在追蹤正弦時變信號時，補償器對控制精度有明顯提高。位置追蹤在相位上得到了校正，且最大追蹤誤差由41 μm補償至9 μm(見圖9)，這是因為傳統LESO始終將總擾變化率按h=0處理，對于時變信號這種處理方式帶來的觀測靜差是無法避免的。引入補償器后，觀測靜差得到了補償、LESO反饋至控制器的觀測量精度提高，這使得系統的控制輸入更準確，因而LADRC系統的整體控制精度得到了整體提高。

(a) 動子位置控制曲線(a) Position control curves

(b) 位置控制誤差曲線(b) Position control error curves圖8 補償器在PMLSM實驗平臺中的應用效果Fig.8 Application effect of compensator on PMLSM experimental platform

圖9 補償后位置追蹤誤差的局部放大圖Fig.9 Local large map of position tracking error after compensation

6 結論

在分析LESO觀測原理的基礎上，通過對誤差系統的線性近似，推導出狀態觀測靜差的量化表達式，進而據此設計了誤差前饋補償器。通過理論推導，證明了補償的可行性——在時域內能消除觀測靜差，頻域上也能夠減輕LESO的相位滯后，進而將這種補償思想引入NESO中。仿真驗證了補償器對LESO、NESO均有效，實驗結果則進一步表明，補償器的引入能大幅提高整個LADRC系統的控制精度。

這種補償器的設計源自觀測靜差表達式的推導，形式簡單，沒有積分、微分等環節，計算量小； ESO與補償器一一對應，不存在多樣性；以串聯的形式引入ADRC中，與其他環節相互獨立，且對LESO、NESO均有效；在觀測足夠迅速的前提下，理論上能完全消除觀測靜差，顯著提高系統的控制精度。該前饋觀測補償設計可為實際工程應用提供思路參考。