一種基于自適應卡爾曼的數據濾波方法

張一帆

摘 要：卡爾曼濾波因具有計算量小，編程簡單易于實現的優點，被廣泛的用于通信和導航領域。但卡爾曼濾波在一些特定場景下，仍然存在一定的不足；例如在數據量較大的情況下，無法很好的對數據進行處理，容易產生發散的現象。為解決這樣的問題，論文提出一種新的自適應卡爾曼濾波，能夠有效改善此類問題。

關鍵詞：卡爾曼；發散；自適應

數據濾波是去除噪聲還原真實數據的一種數據處理技術。目前，較為成熟且應用較為廣泛的濾波方法有卡爾曼濾波、粒子濾波等。[1] 其中卡爾曼濾波相較于其他濾波，具有易于實現、計算量小、應用場景廣泛的特點。被廣泛的應用于導航、控制等領域。[2]即便如此，在一些特定的場景下，卡爾曼濾波算法仍然存在著一定的不足，在實際應用中，伴隨測量數據量的增加，會導致估計誤差的均值和估計誤差協方差也逐漸增大，濾波估計的準確度也會隨著下降。為了此類問題，論文提出了一種自適應卡爾曼濾波方法。在數據濾波中，自適應濾波不僅可以利用測量值對預測值進行修正，而且系統中模糊的系統模型參數和噪聲統計參數也能得到修正。濾波過程中的發散現象可以得到進一步的改善。

1 算法描述

1.1 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是一種最優估算算法，通過利用線性系統狀態方程以及系統的輸入和輸出觀測數據，來達到最優估算的目的。卡爾曼濾波可有效的過濾觀測信號中的噪聲，且應用條件寬泛，能夠在平均的意義上，對真實信號進行估計，并且能夠將誤差降至最小。因此，在卡爾曼濾波算法問世以來，無論是在通信領域還是電路系統中都得到了廣泛的應用。在圖像處理的應用中，卡爾曼濾波可對受噪聲影響而導致產生模糊的圖像進行復原操作。在假定了噪聲的某些統計性質后，卡爾曼的算法就可以以遞推的方式對模糊圖像進行處理，從而得到真實的圖像，可以復原原本模糊的圖像。

卡爾曼濾波算法具體實現過程如下

系統的過程模型可以被用來預測系統下一時刻的狀態，假設系統在 k時刻的狀態為 X（k），根據系統模型，可以由系統的上一時刻的狀態預測出當前時刻的狀態：

X（k k-1）=AX（k-1 k-1）+Bu（k）（3）

其中 X（k k-1）是利用系統的上一時刻的狀態預測得到的系統當前時刻的狀態，X（k-1 k-1）是系統在上一時刻的最優狀態，u（k）為當前時刻狀態的控制量。在對系統的狀態進行更新后，下一步需要對系統的誤差估計協方差矩陣進行更新，可以用 P（k k-1）來表示系統的誤差估計協方差矩陣：

P（k k-1）=AP（k-1 k-1）A+Q（4）

其中 p（k k-1）是在 k時刻系統上一狀態對當前狀態的預測，p（k-1 k-1）是 x（k-1 k-1）對應的誤差估計協方差矩陣，Q表示系統過程噪聲的協方差。

X（k k）=X（k k-1）+Kg（k）（Z（k）-Hx（k k-1））（5）

式（5）中Kg（k）是未知的，為得到Kg（k），需要（6）式：

Kg（k）=P（k k-1）H/（HP（k k-1）H + R）（6）

這樣，我們就得到了k時刻的系統狀態的最優值 x（k k），為了讓整個濾波過程不斷地自回歸的運行下去，x（k k）對應的 p（k k）需要再一次的更新。其中p（k k）的表達式如式（7）所示：

p（k k）=（I-Kg（k）H）P（k k-1）（7）

這樣整個濾波過程就可以自回歸的運行下去。

1.2 自適應卡爾曼

自適應的濾波方法十分多樣化，其中較為常用的有貝葉斯法、極大似然法、相關法，在這之中，最為基礎和重要的則是相關法，而相關法又可以根據實現過程的不同進一步分為輸出相關法和新息相關法。

論文提出的自適應卡爾曼濾波實現的前提是，系統模型參數已知，而噪聲統計參數Q和R未知。由于 增益矩陣K值會影響噪聲的最終統計參數Q和R，從而影響濾波值。因此在進行自適應濾波時，可以在未估計Q和R等參數的情況下，直接根據量測數據調整K的值。自適應濾波的輸出相關法的基本方法是通過量測數據對輸出函數序列{ CK}進行估計，然后由{ CK}再進一步推算出系統的 K值，即最佳增益矩陣，使得增益矩陣 K不斷的調整，以為 K與實際量測數據{ CK}相匹配。

Sage-Husa自適應卡爾曼濾波可以實時地估計和修正系統噪聲和量測噪聲的統計特性，這一過程的實現，是通過時變噪聲估計估值器來實現的，同時利用了量測數據進行遞推濾波。從而達到降低系統模型誤差、抑制濾波發散提供濾波精度的目的。

2 實驗驗證

實驗首先利用采集器采集實驗所需相關實驗數據，然后利用 matlab通過卡爾曼和自適應卡爾曼對實驗數據進行驗證，通過不同算法處理前后數據的偏差值的對比來驗證和說明自適應卡爾曼的優越性。實驗結果如下圖所示：

從上圖中可以看出，經由自適應卡爾曼處理后的數據與原始數據的差值更小。經典卡爾曼的濾波效果相比之下，要差了很多。

3 結論

論文給出了一種基于自適應卡爾曼的濾波方法，實驗結果表明，自適應卡爾曼濾波能夠有效的對實驗數據進行補償，相較于傳統的卡爾曼濾波，自適應卡爾曼的效果更好，而且速度更快。該濾波可用于解決實際工程中的一些相關問題。

參考文獻：

[1]吳春穎，王娟.淺析卡爾曼濾波理論的發展歷史過程[J].福建電腦，2017（1）：22-23.

[2]余彥霖，祖家奎，廖智麟.基于卡爾曼濾波的MUH姿態信號融合算法研究[J].電子測量技術，2015，38（5）：106-110.