四元數(shù)除環(huán)的一種矩陣形式

黃毅 王堅(jiān) 龍巖學(xué)院

1 引言及預(yù)備知識

1843 年，哈密頓發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)除環(huán)，它是歷史上第一次構(gòu)造的不滿足乘法交換律的數(shù)系，是復(fù)數(shù)的推廣。本文將四元數(shù)具體化，將四元數(shù)除環(huán)看成二階矩陣環(huán)的子環(huán)，方便初學(xué)者理解四元數(shù)除環(huán)。

定義1.1 一個(gè)環(huán)R 叫做除環(huán)，假如,

（1）R 至少包含一個(gè)不等于零的元；

（2）R 有一個(gè)單位元；

（3）R 至少的每個(gè)不等于零的元都有一個(gè)逆元.

利用分配律擴(kuò)張到整個(gè)H上，則稱H上是Hamilton 四元數(shù)環(huán).若是H 的一個(gè)非零元，則它的逆元為，其中.

文獻(xiàn)[3]的四元數(shù)除環(huán)的定義與上述定義類似，文獻(xiàn)[4]的四元數(shù)除環(huán)以復(fù)數(shù)對的形式給出。下面來看本文的主要結(jié)果。

2 主要結(jié)果

證明 易知E,A,B,C,關(guān)于數(shù)與矩陣相乘以及矩陣加法是實(shí)數(shù)域

上的四個(gè)線性無關(guān)的向量，通過簡單的矩陣乘法可得

由于Η 的基底關(guān)于矩陣乘法在Η 中封閉，易得Η 中的任意兩個(gè)元素關(guān)于矩陣乘法在Η 中也封閉，由子環(huán)的判別條件可知Η 是的子環(huán)。接下來證明Η 中的非零元都存在逆。

屬于Η.因此Η 是一個(gè)除環(huán)。

可以建立自然的一一映射得出Η與Hamilton 四元數(shù)除環(huán)同構(gòu)。

注記 由上述定理的證明可以看出,四元數(shù)用矩陣來替換,四元數(shù)的加法、乘法運(yùn)算就是通常的矩陣加法、乘法運(yùn)算,而矩陣環(huán)關(guān)于乘法運(yùn)算、加法運(yùn)算滿足結(jié)合律及分配律；并且在驗(yàn)證除環(huán)定義的第三條時(shí),非零元可逆剛好轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證二階矩陣可逆,從而只需判斷矩陣行列式不為零即可；此外求二階矩陣的逆矩陣也是高等代數(shù)的常規(guī)方法。綜上,此種方法構(gòu)造出的四元數(shù)除環(huán)更利于初學(xué)者對它的理解。