三角函數的周期、最值和值域及其求解

馮碩 河北省衡水市鄭口中學 河北衡水 253800

三角函數是中學數學的重要內容之一，在高考中占有重要的位置，已經成為歷年高考命題的熱點．求解三角函數的值域和最值是近年高考的必考問題，往往出現在選擇或者填空題中，又常常是三角解答題的主要題型．解決這類問題不僅需要用到三角函數的定義域、值域、單調性、圖象以及三角函數的恒等變形，還經常涉及到函數、不等式、方程以及幾何計算等眾多知識．本文主要討論三角函數的周期、最值和值域問題，希望引起大家的重視.

一、三角函數周期的求解

二、三角函數最值的求解

求函數最值的主要途徑為三角函數有界性、二次函數配方法、平均值不等式等．

的最小正周期和最小值.

解析 對原式進行配方，則有

解析:本題可換元為二次函數，可降次再換元，也可成為二次函數．

三、三角函數值域的求解

復合三角函數的值域問題處理則較復雜，除了代數求值域的方法都可以適用外，還要注意三角函數本身的特點，特別是經常需要先進行三角變換轉化為代數最值問題，可用配方法、基本不等式法、判別式法、圖象法等，再求值域．