圓錐模型在動態立體幾何中的應用*——淺談基于核心素養的高三立體幾何復習

(杭州高級中學，浙江 杭州 310000)

1 問題的提出

培養學生的空間直觀感知能力，幫助學生逐步建立空間觀念，借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態和變化，利用圖形理解和解決數學問題是立體幾何教學中最重要的任務之一.然而隨著知識的積累與綜合，到了高三復習階段，學生越來越感覺依靠自身的空間想象能力來解決空間問題，尤其是動態立體幾何問題有些力不從心.《普通高中數學課程標準(2017年版)》中指出，高中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析6個方面.立體幾何的學習對學生的幾何直觀想象素養和數學抽象素養的要求很高，這也是六大素養中的關鍵[1].如何在最后復習階段,讓學生借助幾何直觀來發展空間想象能力、數學抽象能力，從而突破立體幾何動態問題學習中的瓶頸呢？

數學問題的解決需要有合理的數學模型進行支撐，好的模型可以為思考問題提供良好的思維空間.圓錐模型由于其構造簡單，能夠為學生提供更直觀的信息，甚至無需語言文字描述就能夠讓學生理解問題的實質.在立體幾何的復習課中借助幾何模型不僅有利于培養學生的辯圖、識圖和畫圖能力，提升復習效率，而且有利于發展學生的數學建模核心素養.它不僅讓空間中的點、線、面在一個具體的空間幾何體中找到了落腳處，也讓動態問題變得更有趣味.

2 教學設計

2.1 追本溯源，回歸課本——模型再認識

圖1

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A.圓的一部分 B.橢圓的一部分

C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分

(2017年浙江省金華市十校聯考二模數學試題第10題)

此題來源于教材.人教A版《數學(選修2-1)》第二章的章頭引言中有這樣一句話：用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當截面與圓錐夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，他們分別是橢圓、雙曲線、拋物線.通常把橢圓、雙曲線、拋物線統稱為圓錐曲線.學生對這個問題既熟悉又陌生，似曾相識燕歸來，軌跡究竟是哪一個呢？

利用GeoGebra(以下簡稱GGB)軟件，帶著學生們直接觀察隨著截面與圓錐軸夾角的變化導致截口曲線的變化.學生通過手動操作，合作探究，得出結論.

結論1[2-3]記圓錐母線與軸夾角為θ，不與軸垂直的截面與軸所成角為α，則

1)當α>θ時，截口曲線為橢圓；

2)當α=θ時，截口曲線為拋物線；

3)當α<θ時，截口曲線為雙曲線.

設計意圖高三的復習要立足課本，遇到問題要學會追本溯源，回歸課本.立體幾何中的動態問題應抓住線面角這個不變量，在教師的引導下，把運動中的線線角(動)最小抽象為線面角(定)，減少了變化量；運用圓錐模型，直觀想象，從而順利轉化為熟悉的圓錐被平面所截問題.

圖2

2.2 思維拓展——模型再構建

問題2如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=θ，M為AB的中點.將△ACM沿著CM翻折至△A′CM，使得A′M⊥MB，則θ的取值不可能為

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(2018年3月浙江省紹興市一模數學試題第9題)

分析AM繞CM旋轉形成一個以CM延長線為軸的圓錐(如圖3)，A′M與MB的夾角問題就是圓錐母線與定直線的夾角問題.可研究一般情況下母線與定直線所成角的范圍問題，學生自己動手，合作探究，自行得出結論，并加以驗證.

圖3 圖4

這里學生容易忽視線線角的范圍，教師可以讓學生自己相互論證，發現問題所在.

設計意圖有了問題1的鋪墊，學生已經有了圓錐模型的意識，能直觀想象出A′M即為圓錐母線.隨著教師引導，將問題轉化為求運動中的圓錐母線與定直線所成角問題.

數學抽象是指舍去事物的一切具體屬性，得到研究對象的思維過程.教師不能滿足于只得到圓錐模型，還應重視認識模型后的二次抽象.在數學知識的建構中，找到新知識的生長點，構建起解決問題的整體框架，從而有利于發展學生的數學抽象、邏輯推理和直觀想象等方面的核心素養，從而實現觸類旁通的效果.

2.3 挖掘本質——模型再運用

問題3如圖5，已知正四面體ABCD，CD在平面α內，點E是線段AC的中點，在該四面體繞CD旋轉的過程中，直線BE與平面α所成角不可能是

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(2018年浙江省溫州市九校聯考數學試題第8題)

圖5 圖6

設計意圖學生已經能將旋轉抽象成圓錐模型，能解決軌跡問題和線線角的問題.而線面角問題本質上也可以轉化為線線角的問題，旨在培養學生的遷移能力和抽象思維能力.引導學生抓住旋轉過程中異面直線所成角這個不變量的本質，借助幾何直觀和空間想象感知四面體的形態與變化，把線面角轉化為線線角，最終轉化為求異面直線所成角的基本問題，培養學生轉化的能力和直觀想象的數學核心素養.

再提煉問題3中還可以抽象出圓錐母線與平面α所成角的范圍問題.

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(2017年浙江省紹興市二模數學試題第10題)

圖7

分析如圖7，邊AB固定，正四面體繞AB旋轉，形成兩個全等的同底圓錐.定長弦CD在圓錐底面的圓周上滑動.記AB與平面ACD所成角為θ,面ACD與平面α所成角為β.取CD的中點E，聯結AE,則

從而

圖8

設計意圖把幾何體的旋轉問題也轉化為圓錐模型問題，這是揭示此類問題本質的關鍵.理清四面體各個量之間的相互關系，引導學生抓住AB與平面ACD所成角不變的本質，化抽象為直觀想象，借助模型量化計算，培養抽象思維與直觀想象的同時也加強了數學運算的核心素養.

2.4 數學建模——融會貫通

問題5已知△ABC是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板(Rt△ACD與Rt△BCD)組成的三角形，如圖9所示.其中∠CAD=45°，∠BCD=60°.現將Rt△ACD沿斜邊AC進行翻折成△D1AC(點D1不在平面ABC上).若M,N分別為BC和BD1的中點，則在△ACD翻折過程中，下列命題不正確的是

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圖9

A．在線段BD上存在一定點E，使得EN的長度是定值

B．點N在某個球面上運動

C．存在某個位置，使得直線AD1與DM所成角為60°

D．對于任意位置，二面角D1-AC-B始終大于二面角D1-BC-A

圖10

2.5 絕知此事要躬行——出題達人

請學生改編此題，借助圓錐模型，折出精彩.

生1：在翻折過程中，求四面體D1ABC體積的最大值.

生2：追加選項E：存在某個位置，使得異面直線D1B與AC所成角為45°.

生3：把上述問題改為：求異面直線D1B與AC所成角的余弦值的最大值.

圖11

生4：把題目變簡單點就繞CD旋轉，把題目變難一點就繞AN旋轉，再難一點就在AB上給一個動點P，繞PM旋轉……

設計意圖亞里士多德說：“告訴我的我會忘記，給我看的我會記住，讓我參與的我會理解.”因此，在教學過程中要重視學生的體驗，極力促進學生自主學習.新課程之所以提倡積極主動的探究學習方式，目的是為了豐富、改進學生的學習方式，發揮學生的主動性,從而讓學生由“被動學會”變成“主動會學”．數學核心素養中的數學抽象、直觀想象、數學建模、數學運算等方面在學生深度參與后才能有效構建.

2.6 宜將勝勇追窮寇——鞏固練習(略)

3 教學反思與思考

高三數學復習要重視回歸課本，加強對基礎知識的學習和對基本概念的理解，重視數學本質.立體幾何教學的根本目的在于培養學生的數學核心素養，其中關鍵在于提高學生的空間想象能力，增強空間感知能力.為了實現這個目標，需要在直觀想象的基礎上培養學生的抽象思維能力，借助幾何直觀把復雜抽象的數學問題變得簡明形象.

本文以GGB為工具，在處理動態問題中，引導學生抓住線線角不變的性質抽象出圓錐模型；借助圓錐模型，解決了一類動態問題中的軌跡問題、翻折問題中的線線角問題、線面角問題以及面面角問題[5].有利于幫助學生豐富和積累空間問題的模型和經驗，通過線面位置關系的等價轉化抽象數學問題，提高解決問題的效率.