數(shù)學(xué)建模融入高中課堂教學(xué)中的案例設(shè)計

杜薇 陜西省西安中學(xué) 陜西西安 710018

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，將數(shù)學(xué)建模應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，拉近數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)際生活間的關(guān)系，而且還能夠鍛煉學(xué)生在問題分析和解決方面的能力，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升。由此可見，數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要作用。以下通過設(shè)計雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程這節(jié)課，來具體說明在上課過程中如何滲透數(shù)學(xué)建模思想。

課題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)目標(biāo)：

①知識與技能：理解巧曲線推導(dǎo)過程及掌握其標(biāo)準(zhǔn)方程。

②過程與方法：在教學(xué)中，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)建模過程。

③情感態(tài)度與價值觀：通過這節(jié)課，使得學(xué)生的空間想象、實(shí)踐能力及運(yùn)算能為，同時也提高了同學(xué)們對于數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣。

教學(xué)重難點(diǎn)：

①重點(diǎn)：掌握并且理解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

②難點(diǎn)：理解建立模型的過程。

教學(xué)方法：探究合作法。

教學(xué)用具：三角板。

教學(xué)過程：

(1)復(fù)習(xí)

教師提問：橢圓的定義是什么？我們上節(jié)課是怎樣得到橢圓的方程的？

（注：通過回憶以上的知識和橢圓形成的過程，讓學(xué)生再次體會數(shù)學(xué)建模的過程，也為這節(jié)課通過數(shù)學(xué)建模形成雙曲線的概念做好鋪墊.)

(2)講授新課

①思考題

兩定點(diǎn)的距離差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線呢？

（設(shè)置這個問題可以讓學(xué)生與橢圓的定義形成鮮明的對比，前者是兩定點(diǎn)間的距離之和為定值，后者是兩定點(diǎn)之間的距離之差為定值，很容易引發(fā)學(xué)生去積極的思考。）

②動手實(shí)踐

讓同學(xué)們拿出來課前事先準(zhǔn)備好的教具，讓同學(xué)們自己動手實(shí)踐。拿出準(zhǔn)備好的教具，把拉鏈拉開一段，在它拉開的兩邊分別選擇出2個點(diǎn)，將這2個點(diǎn)依次粘在畫板上，分別將這2個點(diǎn)記為F1F2將筆尖放在拉鏈的開口處，將開口處記為M，且M到F1的距離減去M到F2的距離之差為2a，點(diǎn)F1和點(diǎn)F2之間距離為2c，當(dāng)拉鏈慢慢的張開和合攏，此時畫出的軌跡是一條雙曲線。如圖：

而且這條曲線滿足

如果使點(diǎn)到距離減去到的距離之差為，我們就可得到另外一條曲線，而送條曲線的滿足

學(xué)生做完之后，教師在黒板上演示和幾何畫板上進(jìn)行動畫演示，讓學(xué)生對照自己的實(shí)驗(yàn)過程，再一次體會雙曲線形成的過程。

接下來抽象出雙曲線的圖形（模型的建立）

（注：通過以上教學(xué)過程，同學(xué)們剛開始對雙曲線是感性認(rèn)化然后上升到理性認(rèn)識，而且將這個實(shí)際操作過程轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學(xué)模型，再次可以體會建模的過程。）

(3)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)以上的實(shí)驗(yàn)過程得

① 型的建立

建立如圖的直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)F1，點(diǎn)F2所在的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，點(diǎn)求：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

②模型的求解

由已知條件得

(4)例題示范

例 現(xiàn)在有A、B兩個偵測所，兩個偵測所之間的距離為1000m，遠(yuǎn)處有一個炮彈暴炸，A偵測所聽到的爆炸聲比B偵測所聽到的爆炸聲時間晚了2s,聲音的速度為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)所在的曲線的方程。

解 ①模型建立

建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，以A,B兩點(diǎn)的所在的直線為x軸，以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，已知，點(diǎn)M是爆炸點(diǎn)，求點(diǎn)M所在的方程。

小結(jié)：以上就是與雙曲線有關(guān)的建模案例，首先通過認(rèn)真分析題目，再建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)可以歸為雙曲線的問題，最后進(jìn)行求解。對于學(xué)生來說，將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題還是有一定難度的，教師在引導(dǎo)學(xué)生做這類題目的時候，應(yīng)該首先帶領(lǐng)同學(xué)們讀題目想表達(dá)的意思，再慢慢引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用題抽象成與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題，也就是建模的過程，這個過程是非常重要的。

(5)總結(jié)：通過設(shè)計雙曲線的定義的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生體會對待事物的感性認(rèn)識要上升到理性認(rèn)識，也就是從實(shí)驗(yàn)過程得到雙曲線的準(zhǔn)確定義的過程。最后，通過推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程和例題的講解，讓學(xué)生體會如何將一個應(yīng)用題抽象為數(shù)學(xué)問題，其實(shí)也就是了解建模的過程。

數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段是非常必要的,數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)過程中重視和培養(yǎng)學(xué)生在建模方面的能力，讓學(xué)生能夠從題目的數(shù)據(jù)和變量關(guān)系中快速找到問題解決方向，并且利用合適的建模方法建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決問題，不斷提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生在問題分析和解決方面的能力，推動高中數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展。