數學課，帶著數學思想去思考

高虹 溧陽市戴埠中心小學

蘇教版數學教材把數學學習分成了《數與代數》、《圖形與幾何》、《統計與概率》和《綜合與實踐》這樣四個模塊，因此，重點我將分別從前面兩個板塊摘選一些題型，具體談談數學思想在五年級教材里的巧用。

其一，《用字母表示數》延展了對具體數的理解，也有助于快速簡便地表示已知條件和所求問題。它的學習為研究《方程》作鋪墊，也是初中代數式學習的引子。但《字母表示數》的抽象性需要學生依據現實情境理清數量關系，進而掌握含有字母式子的意義。比如說，書本用兩道進階例題：

第一題作為導入題，四年級運算律學習讓學生初步感知字母表示規律簡潔美。初學時學生不易理解字母表示的數的不確定性，也不容易理解含有字母的式子能表示數量關系。因此，教學時特別注意逐步引導，讓學生在多個具體實例中體會并發現三角形個數和小棒根數之間的關系，讓學生經歷由具體到抽象的思維活動，在直觀的情境中形象地揭示數量關系。

第二題的規律找尋難度增加。學生經歷動手擺小棒、再討論交流的過程，在操作、思考中發現：（1）每次增加一個三角形；（2）每增加一個三角形就多用兩根小棒。運用上一題思考規律：擺1個三角形用3根小棒，增加1個三角形后，用小棒的根數是：3+2×1；提問：你會像這樣有規律地說出增加2個、3個三角形后小棒的總根數嗎？討論得出：增加2個三角形后，小棒的根數是：3+2×2；增加3個三角形后，小棒的根數是：3+2×3；提問：增加25個，98個，200個……這樣的三角形后，你能一下子列出算式，并說出一共用的小棒總根數嗎？

含有字母式子的產生過程，離不開聰明的大腦，需要我們積累豐富的數學知識經驗、扎實的數學學習基礎和一顆不斷進取迎難而上的決心。

其二，“轉化”策略通常使用在不能直接解決的問題上：“把未知變成已知”。比如：計算小數乘法時把小數乘法轉化成整數乘法；比較異分母大小時利用通分先將異分母分數轉化成同分母分數；推導平行四邊形面積公式時把平行四邊形轉化成長方形；推導圓的面積公式時把圓轉化成長方形。現在，我想把轉化策略的使用范疇稍作整理：

(一)遇到不規則圖形時，我們可以利用平移、旋轉、剪拼的方法把不規則圖形轉化成規則圖形來計算，這樣的轉化思想叫“化曲為直”。

遇到連續或者有規律變化的自然數相加時，可以借助梯形的面積公式來計算；從1開始，連續奇數相加時，既可以按照梯形面積來算，也能觀察圖形特點，它其實還是正方形的面積。這樣的轉化思想便是“數形結合”。

將一個裝滿了鉛筆的鉛筆架（如圖），可以聯系梯形面積公式：計算出鉛筆的支數，再結合上面的計算想一想，下面10個連續自然數的和，怎樣計算比較簡便15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22＋23＋24

對于（1）式：借助圖形“求陰影想空白”是種簡潔直觀的方法。但為了建立（1）（2）兩式的聯系，更深刻地品讀“數學味”，可以拓展“拆項求和”“做加想減”的方法，讓優秀學生的思維進一步發展。

（1） 式每一個加數的分母依次是前一個分母的兩倍，求這樣幾個加數的和，可以引導學生把加式中的每一個分數拆分成由此：

（2） 式每一個加數的分母也滿足某種規律，需要學生結合平時做題經驗，聯系《異分母分數減法》中當分母是連續自然數的兩個分數單位相減的規律：因而，

（三）整體思想在具體幾何圖形里的表現：

（1）下圖中兩個涂色正方形的周長的和是40厘米，求整個圖形的面積。

（2）下圖，涂色部分是正方形，你能求出圖中最大長方形的周長嗎？

求圖（1）周長：學生想到要知道大正方形的面積，提出“大正方形”，便激活了思路，大正方形的邊長是兩個小正方形邊長之和。根據已知條件：兩個小正方形的周長之和是40cm，使用字母表示邊長與周長間的關系，將代數思想充分融入課堂。不妨假設小正方形邊長為acm,較大正方形的邊長為bcm，得出：a+b=10,這里的a+b恰好表示大正方形的邊長，大正方形的面積便是10×10=100(cm2)。課上也有學生指出：通過圖形平移，分別將兩個小正方形的四條邊平移，便可以將小正方形的周長之和40cm轉化成大正方形的周長40cm,轉化思路在數學中發生。

同樣的思路，題（2）可否行得通？課上讓學生依據上一題的思路思考，發現圖形變換好像行不通，大的長方形是由幾個小長方形和一個正方形組成的，不難設正方形的邊長為acm,小長方形的長、右邊小長方形的寬與正方形的邊長acm各不相等，則可設左邊小長方形的長為bcm,右邊小長方形的寬為ccm。a+b=27、a+c=19,由方程思想可以知道：兩個方程解不出3個未知數，但時整體代換得到：大長方形的周長是(a+b+c+a)×2=2(2a+b+c)

因為a+b+c+a=27+19,即2a+b+c=46，所以大長方形的周長是46×2=92(cm2)。

像這樣求周長和面積卻不能直接求解時，我們需要依據已知條件，建立已知條件與所求問題之間的聯系，利用“整體代入”思想、“化未知為已知”解決問題的方法就是整體思想在現階段數學學習中的滲透。

數學思考蘊藏在每一次的課堂教學中，從教材出發，每一位學生都是引發數學思考的源泉。辯證對待教材習題的編排，立足教材，以生為本，從數學的角度，挖掘數學學習的無窮聯系，建立數學階段學習的知識框架，以數促學，由數及學，用數學思想解釋數學問題，感受數學的專業和嚴謹，讓學生真正在理性的數學環境下學習數學。