基于信息熵的多電飛機供電可靠度評估

祁玄玄，楊興業(yè)，熊 鑫，牟成銘，曹建安

(1.西安交通大學電氣工程學院，陜西西安 710049；2.航空工業(yè)成都飛機工業(yè)(集團)有限公司，四川 成都 610031)

多電飛機技術(shù)改變傳統(tǒng)液壓、機械式的動力系統(tǒng)， 將飛機電能的產(chǎn)生、分配和使用集成到一個統(tǒng)一電力系統(tǒng)中，實現(xiàn)多電飛機電能發(fā)、輸、變、配的統(tǒng)一規(guī)劃。由于多電飛機成品部件數(shù)量和種類的增加，多電飛機供電可靠度評估成為一個關(guān)鍵問題。如何構(gòu)建適用于多電飛機可靠度評估的數(shù)學模型對其故障預(yù)測以及可靠運行具有重要意義。

文獻［1］和文獻［2］介紹了多電飛機電源系統(tǒng)可靠度分析模型，并且從各個方面說明計算多電飛機供電可靠度的重要性。采用故障樹［3-6］對飛機供電系統(tǒng)可靠度進行分析是一種傳統(tǒng)分析方式，該方法是從理論上給出了飛機可靠度分析結(jié)果。但是隨著飛機供電系統(tǒng)元件數(shù)目的增加，故障樹方法的分析復(fù)雜性較大，并且很難對整個供電系統(tǒng)做可靠度評估。后來引入鄰接矩陣算法［7-9］求故障樹的最小割集，以改善故障樹提取割集的效率，該算法具有較強的通用性，在一定程度上彌補了故障樹的不足。但飛機供電系統(tǒng)元件數(shù)目的增加使得該算法的分析過程復(fù)雜，計算時間較長。由于計算機計算能力的提升，概率分析方法-蒙特卡洛法［10-12］逐漸應(yīng)用在對復(fù)雜系統(tǒng)的可靠度評估中，該方法應(yīng)用靈活、實現(xiàn)簡單。由于系統(tǒng)元件較多，且故障率較低，如果直接使用傳統(tǒng)蒙特卡洛法對整個多電飛機供電系統(tǒng)做可靠度評估，就需要大量抽樣，這將大大降低該算法的效率。

針對以上問題，通過信息熵［13］引入多元件系統(tǒng)的近似概率分布，該近似概率分布可使可靠度評估方差近似為零，從而改善了抽樣效率。最后通過一個用例驗證了本文的方法在多電飛機供電系統(tǒng)可靠度評估中的優(yōu)越性。

1 多電飛機可靠度解析模型

圖1為某多電飛機供電系統(tǒng)簡圖，該多電系統(tǒng)由低壓直流電和三相恒頻交流電系統(tǒng)組成［14］。從圖1中可以看出，保護器和發(fā)電機以及接觸器構(gòu)成發(fā)電機發(fā)電系統(tǒng)。交流發(fā)電機系統(tǒng)與直流系統(tǒng)為互為熱備用的并聯(lián)系統(tǒng)，應(yīng)急交流發(fā)電機作為冷備用系統(tǒng)的模型。所謂的冷備用意味著當系統(tǒng)的某個供電部件發(fā)生故障時，備用供電部件需立即被更換上，并且備用供電部件在備用期間不會發(fā)生故障或劣化。雖然單供電模式，比如串聯(lián)、并聯(lián)或冷備用等可靠性模型都能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的供電性能要求，但在元器件老化、失效等約束條件下，系統(tǒng)高可靠性的要求有時無法被滿足。因此為實現(xiàn)多電飛機的高可靠性要求，多電飛機電源系統(tǒng)往往由典型的供電拓撲結(jié)構(gòu)，如串聯(lián)、并聯(lián)、冷備用等組合而成。

圖1 多電飛機供電系統(tǒng)簡圖

元件的故障概率密度函數(shù)為fi(t)，i代表元件個數(shù)。為得出元件的故障概率需要對元件的概率密度函數(shù)積分，故障概率和“1”作差求出元件t時刻的可靠度Ri(t)。

串聯(lián)系統(tǒng)可靠度準則是各個串聯(lián)元件可靠度累積為整個串聯(lián)系統(tǒng)可靠度，所以得到每個串聯(lián)子系統(tǒng)的可靠度函數(shù)表達式如下。

式中，Rsn(t)為串聯(lián)子系統(tǒng)t時刻的可靠度；m為串聯(lián)子系統(tǒng)元件個數(shù)；n為串聯(lián)子系統(tǒng)個數(shù)。

并聯(lián)系統(tǒng)可靠度準則是并聯(lián)系統(tǒng)故障概率是n個并聯(lián)子系統(tǒng)故障概率累積。通過累積先求得系統(tǒng)故障概率，然后與“1”作差得到整個系統(tǒng)的可靠度模型。

式中，R(t)為t時刻并聯(lián)系統(tǒng)可靠度；n為并聯(lián)系統(tǒng)元件個數(shù)。通過上述推導可以得出本文簡化飛機供電系統(tǒng)模型的系統(tǒng)可靠度解析表達式。由于各個元件的概率分布不同，式(2)積分后再累積，所以其復(fù)雜性很高。為進一步推出系統(tǒng)可靠度，式(3)的復(fù)雜性更加高。式(3)適用于本文飛機供電系統(tǒng)簡化模型。當系統(tǒng)元件數(shù)量增加，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)也并非簡單的串并聯(lián)，那么將很難求出如式(3)那樣的解析式。因此將回避解析法計算系統(tǒng)可靠度。采用蒙特卡洛對當前短時間范圍的飛機系統(tǒng)故障情況抽樣。同時引入信息熵的方法對樣本抽樣概率密度函數(shù)進行優(yōu)化，該概率密度函數(shù)可以有效地解決傳統(tǒng)蒙特卡羅方法仿真效率低的問題。為建模方便，本文簡化了過程，假設(shè)系統(tǒng)中每個組件的狀態(tài)模型是雙態(tài)模型。

2 多電飛機可靠度估計模型

2.1 蒙特卡洛模型

基于非序貫蒙特卡洛模擬法飛機供電系統(tǒng)可靠度評估過程如下。

(1)隨機抽樣決定元件狀態(tài)。

根據(jù)式(4)得出系統(tǒng)元件狀態(tài)。

式中，Xin代表第n個元件的第i次抽樣狀態(tài)，“1”代表故障，“0”代表非故障；ξni代表第n個元件的第i次隨機抽樣數(shù)；un代表第n個元件的故障概率。

(2)分析系統(tǒng)狀態(tài)。

采樣得出系統(tǒng)組件的狀態(tài)并分析系統(tǒng)是否可以正常供電。故障為“0”，運行為“1”。失負荷評估函數(shù)為F(X)。

(3)更新系統(tǒng)的可靠度。

根據(jù)式(5)得出當前抽樣次數(shù)下系統(tǒng)可靠度估計值E^(F)。

式中，N為樣本總數(shù)；F(Xi)為第i次抽樣系統(tǒng)評估狀態(tài)。

(4)判斷是否跳出迭代。

式中，V(E^(F))代表可靠度估計值方差。根據(jù)計算方差系數(shù)β的值，判斷其是否小于設(shè)定的閾值，當值小于閾值跳出循環(huán)，否則繼續(xù)執(zhí)行進行抽樣。

2.2 信息熵模型

由于飛機供電系統(tǒng)可靠度較高，在進行蒙特卡洛抽樣時很難抽樣得到系統(tǒng)故障元件，這樣計算得出的系統(tǒng)可靠度基本為1。這顯然不是本文需要的。為了提高采樣效率，改善原本系統(tǒng)的概率的分布f(x，u)為最優(yōu)概率分布g(x)，使得方差系數(shù)理論上可以為零。但是g(x)往往很難求解。為此，引入信息熵熵方法近似求解，信息熵一般用來衡量目標分布與預(yù)測值分布之間的差距。利用信息熵構(gòu)造了接近g(x)分布的概率分布。

飛機供電系統(tǒng)的可靠度評估表達式如下：

式中，f(x，u)為系統(tǒng)元件狀態(tài)的概率密度函數(shù)；I為失負荷標志函數(shù)；s(x)為系統(tǒng)在狀態(tài)x時系統(tǒng)供電量；r為負荷量；N為抽樣次數(shù)；Xi為第i次抽樣系統(tǒng)狀態(tài)；l為可靠度估計值。為了提高抽樣效率需要對式(7)進行變形。變形后的概率密度可以使可靠度方差系數(shù)為零。變形如下：

式中，L(x)為系統(tǒng)元件原概率密度函數(shù)和改進后概率密度函數(shù)比值，常被稱為似然比；g(x)是任意的概率密度函數(shù)。式(8)的蒙特卡洛估計值為：

式中，Xi為在概率密度函數(shù)g(x)下某次抽樣得到的系統(tǒng)狀態(tài)。

當g(x)=gopt(x)時，l的系統(tǒng)可靠度估計方差為零。gopt(x)的表達式為

可以看出原來的概率密度函數(shù)除以l后的概率密度函數(shù)可使可靠度估計方差為零。因此蒙特卡洛抽樣時，就可以在gopt(x)概率密度函數(shù)下，隨機抽樣得出N個樣本。但是從式(10)可以看出gopt(x)和l相關(guān)，可l卻是待求量可靠度，所以直接使用gopt(x)概率密度函數(shù)是不現(xiàn)實的。

本文引入概率密度函數(shù)f(x，v)作為gopt(x)的近似概率密度函數(shù)。為了衡量f(x，v)和gopt(x)的接近程度，利用信息熵來衡量目標分布與近似概率分布之間的距離D。如式(11)所示。

最小化f(x，v)和gopt(x)的接近程度就是求D的最小值，也就是求 －∫gopt(x)ln(f(x，v))dx的最小值。最后等價于式(12)的最大值問題。

將式(10)中的gopt(x)代入式(11)得到式(13)。

由于l對于已知系統(tǒng)是常數(shù)。所以式(13)的等效估計值為

式中，Eu為概率密度函數(shù)f(x，u)抽樣求均值。上面的推導都是在概率密度函數(shù)的基礎(chǔ)上。由于本文變量為離散量，所以需要把概率密度函數(shù)轉(zhuǎn)換為概率分布函數(shù)。比如 f(x，u)轉(zhuǎn)換成 F(x，u)，f(x，v)轉(zhuǎn)換成 F(x，v)，積分變成求和。

X是通過概率分布函數(shù)F(x，u)抽樣得出的系統(tǒng)抽樣樣本。由于根據(jù)F(x，u)采樣產(chǎn)生的有效樣本較少，因此利用重要抽樣法代替F(x，u)為F(x，w)。所以式(14)變形為式(15)。

式中，Ew為概率密度函數(shù)f(x，w)抽樣求均值。其中W(X；u，w)=F(x，u)/F(x，w)。通過式(15)的極大值求解就可以得出系統(tǒng)的最優(yōu)概率分布函數(shù)F(x，v)。可以看出式(15)的最大值求解是個多變量極大值優(yōu)化過程。引入差分進化來迭代求解得出F(x，v)。然后在新的概率分布函數(shù)下抽樣得出樣本，根據(jù)式(4)求解出系統(tǒng)可靠度指標。

為了進一步提高采樣效率，通過對偶變數(shù)法(對偶抽樣)一次采樣產(chǎn)生彼此負相關(guān)的隨機數(shù)。利用相關(guān)點間負關(guān)聯(lián)的這個特點快速減小估計值的方差。

3 仿真與驗證

3.1 實例化系統(tǒng)估計模型

根據(jù)文獻［15］中相關(guān)數(shù)據(jù)，給出兩個系統(tǒng)模型下供電系統(tǒng)各個元件的分布類型和參數(shù)。如表1所示為主要元件的失效分布參數(shù)。

表1 主要元件失效分布參數(shù)

本文中測試函數(shù)IS(X)＜r代表系統(tǒng)故障情況，S(X)＜r時為0，代表故障，S(X)＞r時為1，代表運行。S(X)代表多電飛機系統(tǒng)的總發(fā)電量，r代表多電飛機總負荷。系統(tǒng)元件數(shù)目為n。規(guī)定Xk代表系統(tǒng)狀態(tài)空間向量 X 中的第 k次取值，X=［x1，x2，…，xn］。系統(tǒng)元件為雙態(tài)模型，ui代表元件i的故障概率。ui的具體數(shù)值由元件的失效概率密度函數(shù)積分得到。根據(jù)以上假設(shè)得出系統(tǒng)狀態(tài)概率分布函數(shù)F(x，u)。

由于S(X)＜r是小概率事件，因此本文先設(shè)法改變概率分布函數(shù)F(x，u)為F(x，v)。在改進后概率分布函數(shù)F(x，v)下系統(tǒng)可靠度估計如式(17)所示。

式中，W(X，u，v)是修正系數(shù)。具體形式如下：

狀態(tài)空間概率的變化由參數(shù)向量v=［v1，v2，…，vn］決定，現(xiàn)在的問題即尋找最優(yōu)的v以求取F(x，v)。由于差分進化具有結(jié)構(gòu)簡單，性能優(yōu)越，且算法存在可協(xié)同搜索的特點。采用差分進化算法求解最優(yōu)v，能夠達到快速優(yōu)化目標參數(shù)v的目的。

3.2 實現(xiàn)流程

①參數(shù)初始化。

初始化參數(shù)向量v，優(yōu)化過程樣本規(guī)模N，系統(tǒng)元件故障率ui，故障率縮放因子k，差分進化迭代次數(shù)Ns。對偶變數(shù)法下抽樣樣本規(guī)模Nd，方差收斂系數(shù)β。

②確定優(yōu)化目標函數(shù)。

根據(jù)系統(tǒng)元件故障率ui，故障率縮放因子k，隨機抽樣N個抽樣樣本。根據(jù)式(15)確定優(yōu)化目標函數(shù)。

③變異。

種群中第i個體變異。通過差分策略實現(xiàn)個體變異。

④交叉。

交叉操作的目的是隨機選擇個體并確定是否接受上一步驟的結(jié)果。

⑤篩選。

采用貪婪選擇策略，即根據(jù)目標函數(shù)值進行優(yōu)勝劣汰的進化。

⑥條件判斷。

判斷差分進化迭代次數(shù)是否達到Ns。如果達到進入下一步，此時系統(tǒng)概率分布函數(shù)為F(x，v)，否則跳轉(zhuǎn)回步驟③。

⑦對偶變數(shù)法抽樣。

在區(qū)間［0，1］內(nèi)產(chǎn)生n個樣本數(shù)組，同時用1減去該數(shù)組得到其對偶數(shù)組。通過式(4)得到本次抽樣系統(tǒng)元件狀態(tài)。

⑧計算可靠度指標。

根據(jù)式(15)計算可靠度指標。

⑨條件判斷。

判斷方差系數(shù)是否滿足收斂條件。如果滿足跳出循環(huán)，輸出相關(guān)信息和圖形，否則跳轉(zhuǎn)至步驟⑦。

3.3 仿真結(jié)果分析

圖2為系統(tǒng)元件的參數(shù)利用解析法得到各個元件可靠度分布曲線。可看出系統(tǒng)元件可靠度大體上在運行3000 h就會變得十分不可靠。

圖2 可靠度分布曲線

為驗證本文算法的優(yōu)越性，使用傳統(tǒng)的蒙特卡洛法、解析法和基于信息熵的可靠度評估法仿真計算A和B系統(tǒng)。

為驗證本文算法的收斂特性，仿真了蒙特卡洛法和基于信息熵的可靠度評估法的方差系數(shù)收斂特性。此階段仿真的是在1000 h時刻的系統(tǒng)可靠度。同時為了保證計算結(jié)果的準確性，對A系統(tǒng)進行了3次可靠度評估。然后取3次結(jié)算結(jié)果的平均值作為最終結(jié)果。如圖3所示是采用Matlab仿真后方差系數(shù)收斂圖。

圖3 方差系數(shù)收斂圖

從圖3方差系數(shù)收斂圖可以看出，基于信息熵的可靠度評估法在評估飛機供電系統(tǒng)可靠度時具有非常好的收斂特性。本文方法在仿真次數(shù)為10000次的時候就可以達到很好的收斂穩(wěn)定性，而傳統(tǒng)的抽樣法需要在30000次的時候才可以達到很好的收斂穩(wěn)定性。相比較而言本文算法在收斂性上提高了2倍。

為驗證本文算法的準確性，本文分析解析法和基于信息熵的可靠度評估法可靠度隨時間變化特性。

圖4所示為電源系統(tǒng)可靠度隨時間變化的分布曲線。紅色線代表本文方法，藍色線代表傳統(tǒng)解析法。圖4可以看出對于A電源系統(tǒng)和B電源系統(tǒng)本文方法相比較傳統(tǒng)方法計算結(jié)果十分接近，從而驗證了本文算法的準確性。

圖4 電源系統(tǒng)可靠度

從上面分析可以得出對于電源系統(tǒng)的可靠度分析，采用基于信息熵的可靠度評估法所得可靠度估計模型的分析結(jié)果與直接采用蒙特卡羅仿真所得的可靠度分析結(jié)果相比收斂性較好，與傳統(tǒng)解析法所得的可靠度分析結(jié)果相比計算結(jié)果準確性較為接近，計算模型的復(fù)雜性較小。因此，該模型可以滿足航空電源系統(tǒng)可靠度估計的要求。

4 結(jié)束語

本文使用基于信息熵的可靠度評估法評估復(fù)雜系統(tǒng)可靠度；采用信息熵引入其概率密度分布，從而使得可靠度方差在理論上為零；然后采用差分進化求取近似概率函數(shù)；最后在近似的概率分布下，結(jié)合對偶變數(shù)法，對整個系統(tǒng)抽樣做可靠度評估。文章最后采用一個算例，分別使用解析法、蒙特卡洛法、基于信息熵的可靠度評估法做可靠度評估。從收斂性上分析，本文方法與直接蒙特卡羅仿真所得的可靠度分析結(jié)果相比，收斂性提高2倍有余。從計算準確性上分析，本文方法與傳統(tǒng)解析法所得的可靠度分析結(jié)果相比，計算結(jié)果準確性較為接近。所以綜合分析本文方法非常適用于多電飛機電源系統(tǒng)可靠度評估。