時滯執行器飽和Markov跳變系統的有限時間鎮定

張遠敬，彭 力，2

(1.江南大學物聯網工程學院物聯網應用技術教育部工程研究中心，江蘇無錫 214122；2.無錫太湖學院江蘇省物聯網應用技術重點建設實驗室，江蘇無錫 214064)

Markov跳變系統是一類受內部離散事件作用，導致系統參數隨機變化的特殊混雜系統。同時，實際的控制系統經常遭遇來自外界的隨機干擾以及內部元器件的損壞，例如航天航空飛行器、通信網絡、經濟系統等［1-2］?；贛arkov鏈的隨機特性，衍生了很多實際場景中的應用［3-4］，并且由于Markov跳變系統能夠很好地描述受外部干擾等影響的實際系統，因此得到了廣泛的關注與研究。例如：Senthikumar［5］研究了Markov跳變系統的穩定性分析問題。Wu［6］研究了Markov跳變系統的異步濾波問題。

在Markov跳變系統中，狀態轉移概率是決定系統行為的關鍵因素?？紤]到實際過程中，系統的轉移概率總是部分未知的。因此，研究具有部分未知轉移概率的Markov跳變系統的相關系統理論是有必要的。到目前為止，這方面的研究已經取得了不錯的進展，如Du［7］研究了其系統的穩定性，Qi［8］研究了這種系統的狀態反饋控制器設計問題，Yang［9］研究了系統的魯棒非脆弱H∞控制等。

在許多實際應用中，需要考慮系統在有限時間內的行為，系統的狀態響應在有限時間內滿足一定的界限。在過去的幾十年里，有限時間穩定性或有界性的問題引起了越來越多的關注。隨著Lyapunov函數和線性矩陣技術的發展，這方面的研究也取得了一定的成果，如Zhang［10］研究了奇異隨機系統的觀測器設計問題，Zhang［11］針對系統的穩定性進行了分析，Amato［12］研究了系統的動態輸出反饋問題等。

另一方面，在實際的工程系統中，時間延遲和執行器飽和始終是導致系統不穩定以及性能差的主要原因，尤其出現在交通、化學反應過程以及機器人工程等領域。Zhang［13］提出 Abel引理對時延系統建立穩定性條件，Zhang［14］研究了具有時延和執行器飽和的切換線性系統的容錯控制問題。近年來，在時滯和執行器飽和線性系統方面［15-16］，以及相關非線性系統控制方面［17-18］都取得了一定的成果。

對于一系列特殊的復雜隨機系統來說，具有時延和執行器飽和的離散Markov跳變系統能夠很好地描述隨機干擾因素，包括突發性的故障、外部的干擾和環境因素的突變等。然而，對于這類系統在轉移概率部分未知情況下，有限時間控制的研究結果較少?？紤]到上述情況，并考慮具有執行器飽和以及轉移概率部分未知的離散時滯Markov跳變系統，討論了系統在時延情況下的有限時間鎮定(FTS)問題。

1 系統描述及相關引理

考慮含執行器飽和以及固定時滯的離散時間Markov跳變系統：

式中，xk∈Rn，μk∈Rm分別為系統的狀態向量和控制輸入向量；dk∈Rp為未知但有界的擾動信號；xk=φ(k)，k=-τ，-τ+1，…，-1，0為系統的初始狀態；A(rk)，Ad(rk)，B(rk)，Bd(rk)分別為已知的具有適當維數的與模態rk相關的常數矩陣，其中rk為系統的模態，在集合S={1，2，…，N}中隨離散時間取值的時齊Markov鏈，其狀態轉移概率定義為

考慮轉移概率部分未知的情況，轉移概率∏ ={pij}中有部分元素是未知的。對于?i∈S，集合Si=概率的元素集合和未知轉移概率的元素集合。如果

在有限時間步長L＞0內，未知輸入擾動信號滿足：

為了方便后續引用，當 rk=i時，分別用 Ai，Adi，Bi，Bd來表示 A(rk)，Ad(rk)，B(rk)，Bd(rk)。

考慮基于狀態反饋的控制器，其形式為

式中，Ki∈Rm×n為控制器增益。

下面先給出系統有限時間有界(FTB)和有限時間鎮定(FTS)的相關定義。

定義1［19］(有限時間有界)對于給定的有限時間步長 L，系統(1)(μk=0)是關于(c1，c2，L，d)有限時間有界的，如果滿足條件(3)的擾動dk，下列條件成立：

式中，c1＜c2，L為給定的正整數。

定義2［19］(有限時間鎮定) 設 μk=Kixk，系統(1)關于(c1，c2，L，d)有限時間鎮定，如果滿足條件(3)的擾動dk，均應滿足條件(5)。

引理 1［20］給定兩個反饋矩陣 Ki，Fi∈Rm×n，對于 x∈Rn，如果 x∈ψ(Fi)，則

引理 2［21］設 P∈Rm×m為正定對稱陣，矩陣 φi∈

代入控制器(4)，通過引理1對執行器飽和進行分解，得到如下閉環系統：

2 主要結論

2.1 有限時間鎮定(FTS)分析

定理1 考慮離散閉環系統(8)是基于(c1，c2，L，d)有限時間鎮定的，如果存在常數μ≥1，σ1，σ2＞0依賴模態的正定對稱矩陣Xi∈Rn×n，受限于模態的矩陣Yi∈Rm×n，正定對稱矩陣 Q∈Rn×n和 Fi∈Rm×n，使得下述條件成立：

其中：

證明 構造隨機Markov切換的Lyapunov函數：

則

考慮到系統(1)中含部分轉移概率未知的情況，根據轉移概率矩陣的相關性質，可以得到如下條件：

假設：

根據不等式(15)，可得如下結果：

即

通過矩陣遞推法，可知：

考慮任意的 k∈{1，2，…，L}和條件(3)，下列不等式成立：

由定義1，進一步可得

式中，σP=σmax(Pi)，σQ=σmax(Q)，固定時滯滿足0＜τ≤d2。

將不等式(19)代入式(18)，可推導出：

另外，對于任意的i∈S，有

式中，σp=σmin(Pi)。

根據條件(20)和條件(21)，有

對條件(12)運用舒爾補引理，并根據條件(10)和條件(11)可得：

由(22)可推導出：

將不等式(23)代入上述不等式中，可得

因此，系統狀態響應是有限時間鎮定的。當狀態向量xk滿足條件(13)，保證了反饋控制作用在線性的有界區域。

證畢。

注記1：下面將證明不等式(15)與條件(9)等價。

首先，令 Ai，v=Ai+BiUvKi+BiU-vFi，應用引理2，將式(14)化簡為

由此，將不等式(15)進行展開，可得

對于?v∈{1，2，…，2m}恒成立。

將式(24)兩邊同時左乘，右乘diag{P-1i，I，I}，并取Xi=P-1i，Yi=KiXi，迭代運算即可得證條件(9)。

2.2 狀態反饋控制器設計

當μ確定時，不等式(9)，式(13)是線性矩陣不等式，可通過LMIs進行求解。將FTS控制器的設計問題轉化為下述優化問題：

式中，fiq為Fi的第q行。

下面將上述優化問題轉化為LMIs問題。

令Vi=XTiQXi，Hi=FiXi，并確定 μ 的值，將不等式(9)、式(12)轉化為關于 Hi，Xi，Yi，Vi的線性矩陣不等式。

應用Schur補引理，可得到

上述不等式同時左乘，右乘diag{Xi，I}，可得

式中，hiq為Hi的第q行。

當σ1為固定值時，不等式(25)為線性矩陣不等式。

綜上所述，通過確定 μ，c1，σ1的值，可得到帶LMIs約束的優化問題：

注記2：考慮上述優化問題有可行解，系統為有限時間鎮定，其控制器為Ki=YiX-1i，且c2越大，有限時間鎮定的可控邊界范圍越大。

3 數值示例

考慮離散Markov跳變系統(8)具有兩個模態，參數為

轉移概率矩陣如下：

令 c1=8，σ1=0．01，T=50，μ =1。

通過求解LMIs約束的優化問題(26)可得(c2)min=17.042，對應的FTS控制器為圖3 xTkxk軌跡

圖2 狀態軌跡

從圖1～圖3可知所求得的狀態反饋控制器K1、K2使得初始狀態為xT0=［-1.5 2］的系統，在反饋控制器的作用下，實現了有限時間鎮定。

4 結束語

本文研究了含未知但有界擾動，部分轉移概率未知和執行器飽和的時滯Markov跳變系統的有界時間穩定性問題，推導了系統有界時間鎮定的充分條件，并通過將優化問題轉化為線性矩陣不等式的方法，求解了相應狀態反饋控制器的增益。仿真示例有效表明了該方法設計的反饋控制器能在滿足既定條件下，實現系統的有限時間穩定的指標。