關于連續原根的分布

劉華寧， 景夢謠

(西北大學 數學學院， 陜西 西安 710127)

命題1(Szalay)設p為素數,并定義

M(p,l)=#{x:x∈Gp,…,x+l-1∈Gp}。

則有

其中d(p-1)表示p-1的正因數的個數。

Tanti和Thangadurai[10]改進了上面的結論。

命題2(Tanti和Thangadurai) 設l≥2為正整數。 則對任意素數p≥e25.54l,都存在模p的l個連續原根。

此外,設A,B?Zp,A∩B=?,I={M+1,M+2,…,M+N}?{1,2,…,p},并設N(A,B,p,I)表示I中使得對所有a∈A都有n+a∈Gp,以及對所有b∈B都有n+b?Gp的n的個數。Cobeli和Zaharescu[11]證明了

Cohen等人還考慮了在一般有限域中的情形[12-16]。

1 主要結論

本文將給出上述結果的一些推廣。主要結論如下。

定理1設p為素數，f(x)∈Fp[x]的次數為D≥1。l1,l2,…，lk是Fp中互不相同的元素。定義

M(f,l1,…,lk;p)=#{n:1≤n≤p,f(n+l1)∈Gp,…,f(n+lk)∈Gp}。

假設下列條件至少滿足一個:

(i)f(x)不可約；

則有

其中ω(q)表示q的不同素因子的個數。

推論1設p為素數，f(x)∈Fp[x]的次數為D≥1。設整數k≥2,并設l1,l2,…，lk是Fp中互不相同的元素。 假設下列條件至少滿足一個:

(i)f(x)不可約；

則對任意素數p>max{e23k,(kD)27},都存在n∈Fp，使得

f(n+l1),f(n+l2),…,f(n+lk)

都是模p的原根。

定理2設p為素數,A,B?ZP,A∩B=?,I={M+1,M+2,…,M+N}?{1,2,…，p}，f(x)∈Fp[x]的次數為D≥1。設N(A,B,I,f;p)表示I中使得對所有a∈A都有f(n+a)∈Gp,以及對所有b∈B都有f(n+b)?Gp的n的個數。假設下列條件至少滿足一個:

(i)f(x)不可約；

則有

2 多項式特征和的估計

我們需要下面的一些引理。

引理1設f(x)∈Fq[x],d|q-1,χ為Fq的d階非主特征。設f(x)≠a·hd(x),a∈Fq,h(x)∈Fq[x],且f(x)在其分裂域內有t個不同的根。則有

證明見文獻[17]第43頁。

引理2設p是一個素數,χ是模p的d階非主特征。設f(x)∈Fp[x]且f(x)≠a·hd(x),其中a∈Fp,h(x)∈Fp[x]。設s表示f(x)在其分裂域內不同根的個數,實數X,Y滿足0

證明見文獻[17]第51頁。

h(x)=fδ1(x+l1)…fδk(x+lk)

假設下列條件至少滿足一個:

(i)deg(f)

(ii) (4k)deg(f)

則h(x)不能表為任何多項式的d次冪的常數倍。

證明參閱文獻[18]。

3 定理1和推論1的證明

注意到

(1)

M(f,l1,…，lk;p)=

M1(f,l1,…lk;p)+M2(f,l1,…lk;p)。

(2)

容易證明

(3)

另一方面,設ψ為模p的特征群的生成元,可得

M2(f,l1,…lk;p)=

(4)

情形1假設f(x)不可約。顯然

是p-1次冪的常數倍當且僅當

由于d1…dk>1，因此上式不成立。則由引理1，有

|M2(f,l1,…，lk;p)|≤

(5)

(i)D

(ii) (4k)D

則由引理3可知

不可能是p-1次冪的常數倍。再由引理1可得

|M2(f,l1,…,lk;p)|≤

(6)

現在結合式(2)～(6)立得

這就證明了定理1。

接下來證明推論1。根據定理1，有

M(f,l1,…，lk;p)≥

此外由文獻[19]中的167頁可知，對所有素數p≥5都滿足

設p>max{e23k,(kD)27}。容易證明

M(f,l1,…，lk;p)>0

?logp>2log(kD)+2klog2·ω(p-1)

上式成立,從而證明了推論1。

4 定理2的證明

現在證明定理2。首先考慮特殊情形B=?,此時A不為空集。記A={a1,…，as},則有

N(A,I,f;p)=

N1(A,I,f;p)+N2(A,I,f;p) 。

(7)

容易證明

(8)

另一方面,設ψ為模p的特征群的生成元,可得

N2(A,I,f;p)=

由引理3可知

不可能是p-1次冪的常數倍。再由引理2可得

N2(A,I,f;p)≤

(9)

現在考慮一般的B。記

可得

N(A,B,I,f;p)=

(10)

再由式(8)，有

(11)

另一方面,由式(9)可得

N2JB(A∪C,I,f;p)≤

(12)

因此,

(13)

此外還有

9|A∪B|D

(14)

結合式(13)和(14)立即可得

定理2證畢。