一類具比例時滯Hopfield神經網絡的全局漸近穩定性

周 瑞， 周立群

(天津師范大學 數學科學學院, 天津 300387)

1982年,Hopfield 提出Hopfield神經網絡(HNNs),并引入了能量函數。1984年,Hopfield證明了該模型能夠實現的電子電路,這些取得的成果使得HNNs在模式識別、最優控制、聯想記憶、圖像處理等方面的應用具有非常優越的潛力[1-4],因此得到了學者們的廣泛研究[5-11]。由于在神經網絡模型中,時滯是不可避免的,所以具有時滯的HNNs同樣也被廣泛探討。文獻[5]構造密度函數和應用線性化方法,得到了HNNs幾乎處處穩定的充分條件和必要條件。文獻[6]提出了離散型HNNs等效矩陣的概念,獲得了研究其收斂性的一種新方法。文獻[7]通過Lyapunov函數方法,討論脈沖時滯HNNs平衡點的存在唯一性和全局穩定性。文獻[8]通過構造合適Lyapunov泛函,給出了HNNs平衡點穩定性的充分條件。文獻[9]得到了HNNs平衡點唯一且全局漸近穩定的充分條件。文獻[10]討論了常時滯HNNs的全局漸近穩定性。

一個神經網絡通常具有空間的特性,這是由于神經網絡中有大量的各種尺寸軸突的平行路徑存在。在某些情況下,根據網絡的拓撲和材料,在神經網絡中引用比例時滯是合理的。如果比例時滯因子已知,具比例時滯的HNNs的優點是可以根據網絡允許的最大時滯來控制網絡的運行時間。比例時滯是一種無界時變時滯,且比例時滯系統在計算機科學、電子學等領域發揮著重要的作用。2011年,在文獻[11]中比例時滯首次被引入CNNs至今,得到了眾多學者的廣泛關注。目前對具比例時滯神經網絡動力學行為的研究,已經取得了大量研究成果[11-22]。文獻[11-17]通過構造合適的Lyapunov泛函,應用矩陣理論及不等式技巧等方法研究了幾類具比例時滯遞歸神經網絡的漸近穩定性、周期性等。文獻[18]應用矩陣譜半徑理論、構造Lyapunov泛函,研究具比例時滯細胞神經網絡穩定性。文獻[19]應用固定點定理,探討了一類具比例時滯脈沖遞歸神經網絡的全局穩定性。文獻[20]應用 Lyapunov-Krasovskii函數,探討了具有多比例延遲的神經網絡的均方穩定性。文獻[21-22]應用了微分不等式,探討了細胞神經網絡的穩定性。

綜上所述,受到文獻[11,13,18]研究方法的啟發,本文研究一類具比例時滯HNNs的全局漸近穩定性,應用Barbalat引理,構造合適的Lyapunov泛函,結合Lipschitz條件,得了保證該系統全局漸近穩定的充分條件。

1 模型與預備知識

考慮如下模型:

(1)

現在對fj作如下假設:

(A1)fj(j=1,2,…,n)在R上有界;

(A2)存在σj>0,j=1,2,…,n,使得

|fj(x)-fj(y)|<σj|x-y|,x,y∈R。

(2)

令

yi(t)=xi(et),

(3)

則系統(1)可等價變換成如下系統[23]

(4)

定義1稱系統(1)的平衡點x*是全局漸近穩定的(GAS),若對于系統(1)的任何初始值φi(s),都滿足

定義2稱系統(4)的平衡點y*是GAS,若對于系統(4)的任何初始值ψi(s),都滿足

引理1[24]若激勵函數fj(j=1,2,…,n)滿足(A1)和(A2),則方程(1)所有解在[0,+∞)上均有界。

2 平衡點的全局漸近穩定性

定理1若條件(A1)和(A2)成立,且

則系統(4)的平衡點y*是GAS。

(5)

取如下Lyapunov泛函

(6)

沿式(5)計算V的上右Dini導數D+V，由(A2),得

D+V(t)=

bijgj(zj(t-τj))]}sgnzj(t)+

(7)

由上式,可知

即

即系統(4)的平衡點y*是GAS。

注1如果不將比例時滯HNNs轉換成等價的常時滯HNNs,在比例時滯HNNs的穩定性的推導過程中,比例時滯函數的無界性很難被直接處理。且比例時滯是不同于無界的分布時滯,因為分布時滯的核函數具有較好性質,在推導過程中無界性容易被克服。

定理2若條件(A1)和(A2)成立,且

σi(|aji|+|bji|)),

則系統(4)的平衡點y*是GAS。

證明取如下Lyapunov泛函

(8)

沿式(5)的解計算V(t)的導數,可得

(9)

由2ab≤a2+b2與(A2),可得

(10)

由式(10),有

由上式,可知

余下部分同由定理1的證明類似,于是

從而可知系統(4)的平衡點y*是GAS。

注2若在式(1)中,qj=1,系統(1)和系統(5)就是無時滯的神經網絡,本文所得結果適合該無時滯神經網絡。

3 算 例

例1考慮如下二維神經網絡

(11)

選擇fi(xi)=0.5(|xi+1|-|xi-1|)，Lipschitz常數為σi=1,i=1,2。計算得

(|a11|+|b11|)σ1+(|a12|+|b12|)σ1=4.1,

(|a21|+|b21|)σ2+(|a22|+|b22|)σ2=4.2,

于是,有

且

4.7=d1>4.2, 5.1=d2>4.2。

滿足定理1,因此系統(11)是GAS的。

另一方面,計算得

|b12|)σ2+(|a11|+|b11|)σ1+

(|a21|+|b21|)σ1}=3.65,

|b22|)σ2+(|a12|+|b12|)σ2+

(|a22|+|b22|)σ2}=4.65,

圖1 系統(11)的相軌跡Fig.1 Phase trajectory of system (11)

圖2 系統(11)的時間響應曲線Fig.2 Response time curves of system (11)

因而,有

|bji|))=4.65,

并且

4.7=d1>4.65,5.1=d2>4.65。

滿足定理2的條件, 因此系統(11)是GAS。系統(11)的平衡點為(0,0)T,利用Matlab軟件畫出系統(11)的相軌跡和時間響應曲線,見圖1和2,由此可以直觀地看出系統(11)是GAS。

例2考慮如下三維神經網絡

(12)

其中

q1=0.4,q2=0.5,q3=0.8。

選擇fi(xi)=0.5(|xi+1|-|xi-1|),則Lipschitz常數為σi=1,i=1,2,3。計算得

(|a11|+|b11|)σ1+(|a12|+|b12|)σ1+

(|a13|+|b13|)σ1=2.1+2+1.1=5.2,

(|a21|+|b21|)σ2+(|a22|+|b22|)σ2+

(|a23|+|b23|)σ2=2.1+2.1+2=6.2,

(|a31|+|b31|)σ3+(|a32|+|b32|)σ3+

(|a33|+|b33|)σ3=1+1.1+2.2=4.3,

于是,有

且

6.3=d1>6.2, 6.5=d2>6.2, 7=d3>6.2,

滿足定理1,因此系統(12)是GAS。

另一方面,計算得

|b12|)σ2+(|a13|+|b13|)σ3+(|a11|+

|b11|)σ1+(|a21|+|b21|)σ1+(|a31|+

|b31|)σ1}=5.2,

|b22|)σ2+(|a23|+|b23|)σ3+(|a12|+

|b12|)σ2+(|a22|+|b22|)σ2+(|a32|+

|b32|)σ2}=5.7,

|b32|)σ2+(|a33|+|b33|)σ3+(|a13|+

|b13|)σ3+(|a23|+|b23|)σ3+(|a33|+

|b33|)σ3}=4.8,

于是

σi(|aji|+|bji|))=5.7,

圖3 系統(12)的相軌跡Fig.3 Phase trajectory of system (12)

圖4 系統(12)的時間響應曲線Fig.4 Response time curves of system (12)

且

6.3=d1>5.7, 6.5=d2>5.7, 7=d3>5.7。

滿足定理2的條件,因此系統(12)是GAS。系統(12)的平衡點為(0,0,0)T,利用Matlab軟件畫出系統(12)的相軌跡及時間響應曲線,見圖3和4,由此可以直觀地看出系統(12)是GAS。

4 結 語

在激活函數滿足有界且全局Lipschitz連續的前提下,應用Barbalat定理、常數變易法和構造Lyapunov泛函,研究了一類具比例時滯Hopfield神經網絡的穩定性,得到了保證該系統全局漸近穩定性的兩個充分條件,該條件簡單,易于驗證。其中非線性變換yi(t)=xi(et)將無界時滯系統等價變換成常時滯變系數系統,使問題由難變易,這種方法還可以用于其他神經網絡的動力學行為的研究。進一步的研究工作,是將本文所得結果應用于二次規劃問題的求解當中去。