從《代數學》到《代數術》的幾個相關問題研究

張必勝

(貴州師范大學 教育學院,貴州 貴陽 550025)

縱觀數學發展史,中外在代數理論方面都有著杰出的成就。世界各國都有用文字來表示數字及其簡單計算的歷史,巴比倫從算術方法向代數運算的轉變就是代數演化的結果。古希臘數學家丟番圖(Diophantus,246—330)在其所著Arithmetica(《算術》)中討論了不定方程求解問題。阿拉伯數學家阿爾·花拉子米(Al-Khwarizimi,780—850)撰寫了經典著作al-kitapal-mukhtasarfihisapal-jabr(《還原和對消計算概要》),后來al-jabr演變為algebra。在這本著作中,詳細討論了方程的項及其運算,其核心是解方程。花拉子米的代數學在文藝復興后得到了發展,特別是16～17世紀的法國數學家弗朗索瓦·韋達(Franciscus Vieta,1540—1603)和勒內·笛卡爾(René Descartes,1596—1650)關于用文字的表示數學及其運算的方法標志著符號代數進入了新的發展時期。后來,代數方程求解中出現了三次方程的解法。隨后圍繞四次方程,五次及五次以上代數方程根式可解性的研究誕生了新的代數學理論,從此以后的代數學從初等代數進入了抽象代數的范疇。

同樣,我國代數學發展也經歷了漫長的發展歷史。我國代數學從早期的算術運算,到開方、多項式方程求解、高次方程求解、多元高次方程組求解等理論。傳統代數學在宋元時期達到了頂峰,宋元時期的數學家關注不定分析、代數方程和級數求和問題等方面。在不定方程方面有演紀術和大衍術;在代數方程方面有天元術、開方術和四元術;在級數求和方面有垛積術和招差術等。在不定分析中出現的“中國剩余定理”即為一次同余式的求解問題,而數學家給出的大衍術是數學家的純粹數學創造。天元術是建立代數方程,這是因為中國傳統科學中歷法的需要,而其中出現的增乘開方法則為多項式方程的數值解。垛積術和招差術中則出現了更為復雜的代數表達式和多項式運算。

1 引入簡史

盡管“代數”與“代數學”兩詞匯在漢語中的出現晚至清末。然而,早在18世紀初期,西方代數學基本理論就已傳入中國,當時被稱為“借根方”。1711年,康熙皇帝愛新覺羅·玄燁(1654—1722)與趙宏燮(1656—1722)討論代數學相關問題時就認為“算法之理,皆出于《易經》,即西洋算法亦善,原系中國算法,彼稱為‘阿爾朱巴爾’,‘阿爾朱巴爾’者,傳自東方之謂也。”隨后,法國傳教士傅圣澤(Jean Francoise Foucquet,1663—1740)為愛新覺羅·玄燁學習代數學而著《阿爾熱巴拉新法》一書。然而,該著作并沒有引起廣泛關注,而被認為是難以理解之理論,更不被接受。西方代數理論正式引入中國最早是從英國漢學家偉烈亞力(Alexander Wylie,1815—1887)于1853年出版的《算學啟蒙》開始的,在《數學啟蒙》中,介紹了一些代數學的基本理論,內容涉及到了計數法、四則運算、乘方、開方和對數運算等。意圖在循序漸進地向中國介紹西方代數學,并且首次給出了“代數”這一專業術語。偉烈亞力在《數學啟蒙》的序言中給出了這樣的敘述“余自西土遠來中國,以傳耶穌之道為本,余則兼習藝能。愛述一書,曰《數學啟蒙),凡二卷,舉以授塾中學徒,由淺及深,則其知之也易。……則有代數、微分諸書在,余將續梓之。俾覽其全者,知中西二法,雖疏密詳簡之不同,要之名異而實同,術異而理同也。”[1]指出他除了介紹《數學啟蒙》中的代數理論外,還將翻譯出版《代數學》和《代微積拾級》等著作。《數學啟蒙》中主要介紹的是加減乘除法則、約分、通分、開方、對數、對數運算和對數表使用等初等代數問題。在序言中偉烈亞力指出了此書的基礎是康熙御制的《數理精蘊》,同時有的習題參考了利瑪竇(Matteo Ricci,1522—1610)和李之藻(1565—1630)的《同文算指》和陳杰(不詳)的《算法大成》。1859年,清末數學家李善蘭(1811—1882)和漢學家偉烈亞力合作翻譯英國數學家德摩根(Augustus De Morgan,1806—1871)的著作ElementofAlgebra,并且譯名為《代數學》,其中討論了代數學相關內容[2]。同年出版的《代微積拾級》中也出現了“代數”一詞[3]。《代微積拾級》中第一個字“代”即為代數。1873年,清末數學家華蘅芳(1833—1902)和英國傳教士傅蘭雅(John Fryer,1839—1928)一起合作翻譯了英國數學家華里司(William Wallace,1768—1843)的著作Algebra,譯著名為《代數術》[4]。在其中,仍然采用“代數”一詞,于是,“代數”一詞被廣泛運用并且沿用至今。

2 承前啟后

對比《代數學》和《代數術》及其底本的主要內容,可以得出二譯著是之間是承前啟后之間的關系[5-6]。在內容上具有連續性,在理論研究范圍上有所擴展,在術語翻譯上有所改變,以及研究的深入等。

2.1 內容的連續

從《代數學》和《代數術》的目錄可以看出二譯著在內容上有著一定的連續性。《代數學》和《代數術》中都論述了方程理論、指數函數和對數函數的展開理論、級數理論等。并且《代數術》對代數理論的認識更清晰,在序言中指出“代數之術,其已知未知之數皆代之以字,而乘除加減各有記號以為區別,可以如題之曲折以相赴,適夫層累已明,階級已見,乃以所代之數入之,而所求之數出焉,故可以省布算之工而心亦較逸。以其可不藉思索而得也。雖然代數之學誠簡矣,誠便矣,試問工此術者遂能不病其繁乎,則又不能也。夫人之用心,日進而不已,茍不至昏眊迷亂,必不肯中輟。”[4]就是指出了代數方法,就是將已知數和未知數都用文字代入,主要指阿拉伯數字和一些英文字母來表示。而乘除加減各有符號以做區別,可以依照算題的式列挨次求解消除未知數,到了層次已分明,等式已見,就以所代之知列入,而所求之數就得出了。因此,可省去排列算式的工夫,而心里也比較輕松,因為代數公式可以不憑借苦思冥想而得。雖然代數學的確簡明,的確方便,試問精于此學的人能不困于它的復雜嗎?當然不能,人的腦力活動,天有進不已。如果不到老眼昏花迷亂時,必不肯中途停下來。人們繼續進行代數研究,希望找到更好的解決方法,但是在尋找過程中可能會遇見更為復雜的代數問題,那么為了追尋新的問題就會誕生新的數學理論。可見,《代數術》中的內容是《代數學》中的內容的延續,這不僅僅是簡單的延續，而且還有進一步的擴展。

2.2 范圍的擴展

雖然《代數術》的內容是《代數學》內容的延續,但是在《代數學》的基礎上有所擴展且內容更深更難。擴展內容中有關于連分數理,討論連分數的及其運算。連分數中國傳代數學中都已經出現過,但是在《代數術》中專門討論連分數理論。有不定分析理論,專門討論不定方程的求解問題。雖然中國古代傳統數學中很早就有了不定分析,但是這種討論不定方程正整數解的問題還是在一些簡單方程上,比如勾股定理中的平方關系構成的方程,也是屬于不定分析的范疇。然而,中國傳統數學中對不定方程的研究相對簡單。在《代數術》中有討論解析幾何問題,用代數方程解決幾何問題。雖然《代數學》中出現一些三角函數公式,但是《代數術》中專門研究了三角函數及其運算,特別是關于三角函數展開理論。《代數學》中解決的一元一次方程和一元二次方程,相對來說比較簡單。《代數術》中則出現了一元三次方程求解的卡爾達諾公式,并且還涉及了一元四次及四次以上的高次方程的求解。特變是其中關于一些高次方程的求解,通過變換或者轉化,化成可求解的特殊方程,進而求出原方程的解。另外,《代數術》中非常重視計算問題,如級數計算中展開問題和經濟學中的經濟計算等問題。總之,《代數術》在理論上比《代數學》有很大的擴展,這不僅是表現在其內容體系上,更多的是在研究方法和蘊含的科學思想上，以及各領域的相互滲透。

2.3 術語的變化

比較分析《代數學》和《代數術》術語翻譯,可以發現一些術語翻譯的變化。比如關于“方程”一詞的解釋,二譯著中就有一定的區別。《代數學》在第1卷中給出“并代數之幾數名為式,二式之間作=號,謂之方程式”[2]在《代數術》第6卷中則有這樣的描述“用代數術之本意,乃欲從已知之各數,求其未知之數。惟未知之數本與已知各數不相等,不得已將已知未知之各元,雜糅分合之,做一式令左右兩邊所代之數相等,謂之方程式。”[4]可以看出《代數術》中的這種表述更加的清晰,切合方程的本意。在《代數學》中的“同數”表示的就是未知數的“值”,而在《代數術》中將部分“同數”改為了“值”,并且認為“值者,本式所代之數也,亦名相當數。”可見,《代數術》給出了“值”的數學含義,指出了值就是代數式中所代表的數。此外,還有一些術語也類似發生了改變。對比分析《代數學》和《代數術》中的術語,可以發現后者的翻譯更加嚴格和規范。并且,《代數學》不僅是繼承了《代數學》在術語表述、公式、運算符號、分析作圖等方面的內容體系,還發展和完善了前者的某些方面的表示。《代數術》的翻譯出版,使得國人已經開始接受和認可了西方符號代數學的內容體系,這時中國傳統代數學已經逐漸退出了中國歷史的舞臺。顯然，西方代數學的引入更重要的是推進了代數西化的歷史進程。

2.4 研究的深入

查閱代數學相關史料,可以發現在《數理精蘊》下編第31至36卷為《借根方比例》,其中討論了建立和求解方程的問題。然而,18世紀初期的中國傳統數學尚未具備接受近代西方符號代數的文化基礎。在代數學的研究中,討論代數方程根的問題時為了進一步研究方程的根與系數之間的相互關系,還須要有表示任意常數的符號,通過這種符號表示,使得建立的方程能更具有一般性。然而,在欠缺代數符號法則的情況下,采用傳統表示法來研究代數理論及其相關問題,清代數學家汪萊(1768—1813)在這方面取得了較高成就,他能在“借根方”的基礎上,邁出方程論研究的全新方向,為代數方程論與代數符號法則之間的關系,提供了一個可以賦予不同詮釋的方向。《代數學》和《代數術》的出版使得中國數學家對中外代數理論的本質有了進一步的認識。在方程方面,不僅是方程次數越來越高,而且還討論了根式可解性問題;級數不再只是討論斂散性,還討論收斂值問題;連分數問題、不定分析、經濟計算和三角函數等問題都不再停留在某一個孤立的問題上,而是在不同領域的應用研究和一定的理論分析。

3 幾個問題

通過對比可以發現《代數學》和《代數術》中有相同內容和不同內容,在相同的內容中,后者在其理論研究上有所擴展。特別是其中的幾個數學問題使得近代西方代數學內容的引入具有更高的理論性。特別以卡爾達諾公式、高次方程解法、連分數問題和不定分析為代表的幾個問題,為后來的代數學研究提供了新的方法和方向。

3.1 Cardano公式

關于代數方程根式可解性,指的是對于代數方程有根式解。n次多項式方程有代數表達式為

a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0

3.2 解高次方程

不管是從代數方程根式可解性,還是用構造法來解決高次方程,《代數學》和《代數術》都沒有詳細去論述根式可解性的代數學原因。即方程根式解是一個著名的古典代數學問題,域F上次數大于1的多項式f(x),若方程f(x)=0的每個根都可由f(x)的系數經過加、減、乘、除及開方運算得出,則稱f(x)=0有根式解。換言之,f(x)的分裂域含于F上一個根式擴域,次數大于或等于5的代數方程是否有根式解,這一代數學問題,直到19世紀30年代才得到解決。法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦(évariste Galois,1811—1832)用群論系統化地闡述了五次及五次以上方程不能用公式求解的原因[9]。對于一些特殊的五次及五次以上代數方程則可以根據一些變換或者轉化成可以求解的方程得以解決。

偉烈亞力不僅對西方代數學發展史有所了解,通過與中國學者的交流和查閱中國歷史文獻,對中國代數學發展史也有一定的研究,特別是中國傳統數學中的“天元術”,并且對“天元術”作出了相關論述和研究[10]。中國傳統數學中深入沒有討論根式可解問題,但是有解高次方程的一些方法。中國傳統數學中很早就出現了高次方程的解法,比如朱世杰及其《四元玉鑒》中出現了關于首先用天元術建立了代數方程,然后再用增乘開方法解其根。在其相關計算中出現了兩個方程,將兩個方程聯立后的一方程組,把要求解的值轉化為求出方程組的解:

3.3 連分數問題

連分數很早就出現在中國傳統歷法計算中,連分數運算是為了解決歷法計算中的一些問題。所謂連分數就是一種特殊類型的繁分數,將一個分數經過多次的運算最終化為如形式:

《代數術》第20卷就專門論述連分數相關問題,特別討論了分數和連分數之間的轉化,其中有“凡數之可以平常之分數明之者,亦能以連分數明之。”[4]其中第188款介紹了分數與連分數的相互轉化,第190款論述了“循環連分數”,第191款討論了將無理數化為連分數等問題。《代數學》中出現的是基本的分數運算,而在《代數術》中則出現了連分數運算,特別是把分數運算理論和無理數理論聯系起來。連分數形式有什么意義，對于古人來說，連分數有一個優點是其它簡單分數無法做到，那就是無限逼近，即求近似值。古希臘人發現了平方等于2的一個方程，其解相當于開平方，但是這個2的平方根具體等于多少，卻沒有辦法用整數或者簡單分數來表示，這就要通過循環代換后，用連分數來表示，通過截取其中任意一段連分數，可以求出該平方根的近似值。而且，發現其不能用有簡單分數表示出來，只能用連分數表示，這就是數學史上無理數的起源。古希臘人就是這樣做到徒手開平方的，這對求解一些無理數最佳逼近等相關問題提供了方法和思想。《代數術》中的連分數運算涉及到了很多方面,對數學及相關科學的發展,提供了運算上的理論支持。

3.4 不定分析

中國傳統數學中很早就出現了不定分析,《九章算術》中的勾股定理問題就是最早的不定分析問題之一[12-13]。中國古代的著作《張丘建算經》中的“百雞問題”就是較早的討論不定方程求解問題,屬于不定分析領域的研究。其中求解問題,相當于求解一個不定方程組:

該著作中給出了答案為三組解,第一組解為X=4,Y=18,Z=78,第二組解為X=8,Y=11,Z=81,第三組解為X=12,Y=4,Z=84。對于這三組解是怎么求解出來,該著作中沒有給出求解的過程。《張丘建算經》中的“百雞問題”出現后,數學家甄鸞(535—566)和李淳風(602—670)進行了注釋,但都沒有給出詳細的求解過程。到了宋元時期,數學家遇見到了更為復雜的不定分析,并且對不定分析有了深入的研究。宋元四大家在代數方面的貢獻,還表現在他們所創立的同余理論,特別是以“中國剩余定理”為代表的不定分析理論。中國傳統數學中給出了一次同余方程:

x≡r1(modm1)≡r2(modm2)≡…≡rn(modmn)

4 相關計算

不管是從代數研究的內容上,還是從代數理論的難易程度上,從《代數學》到《代數術》都發生了一定的變化。代數運算從前面的純粹的數學運算變為實際生活中的計算,特別是生活中的經濟計算等問題。級數運算從前面的只討論斂散性,發展為級數的收斂值,收斂半徑和收斂區間等問題上了。另外,三角函數的出現不再是為了純粹的計算問題,而是應用于實際生活之中,以及在各種數學問題中的應用。

4.1 經濟計算

華蘅芳在《代數術》的序言中指出“觀夫市廛貿易之區,百貨羅列、精粗美惡貴賤之不同,則其數殊焉。多寡長短,大小輕重之不同,則此數又殊焉。凡欲與所有易其所無者,必據算而計之,其所斤斤計較者,莫非數之。設有人言吾能以他法以代其數,誰能信之。良以乘除加減不過舉手之勞,頃刻而得,無有奧邃難明之理在其間,本無藉乎代也。惟是數理幽深,最耐探索,疇人演算,務闡精微,于是乎設題愈難,布算愈繁,甚至經旬累月不能畢。一數且其所求之數往往雜糅隱匿于各數之內而其理亦紆遠而不易明。若每事必設一題,每題必立一術,枝枝節節而為之術之多將不可勝記而仍不足以窮數理之變,則不如任數理之萬變而我立一通法以馭之。此中法之天元,西法之代數所由作也。”[4]可以看出在貿易市場上,陳列著各種各樣的貨物。由于精粗、美丑,物品的等級不同,所以價格也各有不同。多少、長短、大小、輕重的不同,按照一定的比例所計算的價錢又不同。凡是想以你所有的物品去交換你所沒有的物品,這其中必然要根據算來計數,通過相關計算你才會獲得一個可靠的數據,這樣也就顯得公平。這說明代數運算在經濟生活中的重要性,如果沒有運算,那么就很困難。在第19卷中“論生息計利”就是討論各種借貸中有關利息算法,涉及單利和復利等問題。《代數術》中有兩種利息計算方法,第一種是“簡利息法”,即按照利息與本金之間的比例來進行計算。第二種利息計算法則是“繁利息法”,指出這是“將其所得之利添入本金之內”,這就是利息加入本金后再算利息,即利翻利或利滾利。在第180款中給出了計算利息的參數為本金、本金所產生的利錢、本金所消耗的時間、本金和利息的總和,這四個參數決定了利息計算。最后,還提及了“保險之事”,但是認為其“算理極深”,故而沒有進行論述和研究。可以看出,《代數學》中沒有涉及到經濟科學,而在《代數術》中涉及到了經濟計算,這可以看出《代數術》是在《代數學》的基礎上,增加了生活實踐的應用問題探究。在《代數術》的序言中就給出了“不如極之于九而以十進其位,則舉手而示,屈指而記,雖然愚魯者皆能之,故可便于民生日用,傳至數千百年至今不變也。”的表述,認為代數運算可以簡化運算的繁雜程度。

4.2 級數運算

在《代數學》中的級數斂散性初步理論基礎上,《代數術》引入了更為復雜的級數理論。在《代數術》第18卷和第25卷中論述了級數的收斂速度和收斂區間等問題。同時,還給出了函數的級數展開式。如y=ax,用y表示x的無窮級數為

x=

logay=

4.3 三角函數

三角函數及其代換在《代數術》中出現,用以解決諸多運算問題。《代數術》第24卷和25卷介紹了三角函數及其相關應用問題。在第24卷中的一開始就介紹了三角函數理論的發展史,接著介紹了余角、外角、余弧、外弧等。第225款討論了正弦和余弦在坐標系中各個象限的符號,何時為正何時為負。還給出了正切、正切線、余切、余切線、正割、正割線、余割、余割線等定義,還給出了正矢和余矢等概念及其數學運算。在第232款中三角函數的“誘導公式”,給出了各三角函數之間的相互轉化。第236款討論了三角函數的定義域,分析了三角函數自變量的取值范圍。隨后各款討論了任意兩角之和差的正弦與余弦推導并給出了相應的公式。第25卷就對前一卷的三角函數理論進行了實際應用分析。

可以看出《代數學》中的三角函數在于去求三角函數的值,而《代數術》中的三角函數更多的是去解決實際應用問題,通過應用問題的求解反過來尋找三角函數的理論意義。另外,還可以把三角函數的運算與求解方程結合在一起,解決求解方程方面的一些困難,這正是三角函數理論進一步應用于實際數學問題的表現,同時,這些應用問題也是三角函數理論得到更進一步深入研究。

5 后續影響

顯然,不管是李善蘭和偉烈亞力合譯的《代數學》,還是華蘅芳和傅蘭雅合譯的《代數術》,二者對清末科學研究和科學教育都有著深刻的影響。特別是作為數學家的李善蘭,他不僅和西方學者合作翻譯出版西方數學著作,他自己還出版數學著作,并且,他在同文館作為算學教習教授數學時,還經常與館內學生研討各種數學問題,與當時的數學家交流數學問題,這本身對清末的科學和教育就產生了直接的影響[15-19]。在數學譯著的翻譯過程中對語言的表述也有著一定的影響,特別是《代數學》和《代數術》中有的數學術語發生了演變,有的術語則賦予了科學的數學涵義。正如當代學者潘文國認為“強調為人先于為譯,主張一切翻譯都要在完整傳達原本意義的基礎上進行文字加工”[20]。這就需要譯者對數學理論本身的掌握,才能表述出科學的理論。在這方面,清末翻譯家在翻譯西方數學著作時對名詞術語的厘定發揮了重要的作用[21]。華蘅芳不僅和西方學者合作翻譯出版西方數學著作,自己對數學也有深入的研究。當然,這種影響有大小之分,有直接和間接之別。李善蘭和偉烈亞力翻譯出版《代數學》后,國人對代數學理論的研究不多。首先,是中國傳統代數學在清末時期沒有得到更為較好的發展。在《代數學》出版后,沒有更多以“代數”或者“代數學”相關的詞匯為名的代數學著作。而在華蘅芳和傅蘭雅翻譯出版《代數術》后,相關代數學著作相繼引入并出版發行。如后來出版的著作《三角數理》(1877)、《代數難題解法》(1879)、《算式要法》(1899)等都受到其影響。當然,這種影響也是二譯著都有的,只是一個相互影響且循序漸進的過程。另外,隨著清末代數學方面的著作或譯著的出版,清末各種學堂中開始開設代數學課程,同時在各種考試的試題中出現了代數學相關理論。可見,《代數學》和《代數術》對清末的教育有著很深的影響。中國在傳統代數學理論有著光輝的成就,宋元之后發展緩和下來[22]。當《代數學》為中國引入了符號代數后,接著《代數術》中的高次方程求解問題則引入了給為高深的代數學理論。從《代數學》和《代數術》之后諸多代數學著作的相繼出版,可以看出二譯著對中國傳統代數學的嬗變和西化作出的貢獻,以及對清末科學和教育的深遠影響[23]。清末綜合性雜志《中西聞見錄》于1873年刊載了劉業全的《立天元一源流考》[24]和艾約瑟(Joseph Edkins,1823—1905)的《阿爾熱巴喇源流考》[25],中西學者對代數學歷史進行論述。于1875年在第36號上發表中國學者殷仲深的《弧弦設題》就涉及到了三角函數計算及其應用問題的研究[26]。在《中西聞見錄》中,相關的論文中涉及到了代數和幾何方面的研究,還有代數和幾何的綜合研究等[27]。清末數學家陳志堅和華世芳(1854—1905)對連分數的研究等[28]。這些都可以看出二譯著對清末科學和教育的影響。譯著不僅對清末科學與教育產生了深遠影響,而且還傳入日本,促進了日本和算的西化[29]。中國傳統數學中的一些理論,從早期誕生以來都還有著研究的生命力。勾股定理從“商高問答”的出現,一直到清末數學家都還在研究其代數運算關系。其中把數學由經驗發展為推導證明的層次,以此奠定了中國傳統數學理論的基石[30]。縱觀西方微積分發展史,中國早期的極限思想,以及后來李善蘭的無限分割求和思想與西方微積分思想在本質上有著異曲同工之妙[31]。通過分析中外歷史文獻,可以看出其理論的基礎。中西在代數學理論上也如此,所以,偉烈亞力還把中國傳統代數學理論及其歷史介紹給了西方學者,特別是《九章算術》為代表的代數理論、“大衍求一術”、“天元術”和“高次方程數值解”等內容[32]。與此同時,還結合中西代數學發展史給予了科學的評價。從科學發展的歷史來看,不管是西方科學還是中國傳統科學,任何歷史發展階段,科學理論總是源于社會與自然,其思想之源是社會和自然,在其中發現相關理論,并在實踐中得到檢驗和逐步發展[33]。不管是“師夷長技以自強”思想還是“中學為體,西學為用”思想,這些都強調了學習西方先進科技的重要性[34]。在《代數學》和《代數術》之前,西方代數學理論已經開始傳入我國,并且得到了一定的發展。隨著二譯著的翻譯出版,代數理論得以系統地引入,同時得到了更高水平的發展。并且,隨之而來的是更多代數學著作的出現。影響著后來代數學的發展,并且一直影響至今。正如吳文俊先生分析中西方在代數學領域的發展模式和理論研究水平等問題后,他指出近代數學能夠發展至今主要是靠中國傳統數學思想[35]。當然,決定數學發展歷史進程的是中外數學思想的總和。并且,中西方數學的融合使得中西方的數學思想相互影響和發展。

6 結 語

作為清末的兩部經典代數學譯著,《代數學》和《代數術》相繼引入了近代西方代數理論。二者有著承前啟后的相互關系。在內容上具有一定的連續性,在理論研究范圍上得到了進一步的擴展,翻譯術語及其表示上有所改進,研究的層次進一步深入等。通過比較分析可以得出《代數術》引入的代數理論要比《代數學》中的更深更難。特別是其中的卡爾達諾求根公式、高次方程解法、連分數及其運算、不定分析等內容。另外,《代數術》中的相關計算問題也很重視應用性,體現在經濟領域的計算,復雜的級數展開,三角函數及其應用等。《代數術》在《代數學》的基礎上，不但理論層次有提高，更重要的是其強調理論的應用性。同時，這些應用問題不僅表現在數學領域，而且還滲透到其他科學領域。因此，這樣的學科滲透深深地影響著其它科學的發展。一前一后的兩部譯著對清末科學與教育有著深遠的影響。特別是其中的幾個相關問題對后來中國學者學習和研究西方代數理論提供了素材和指明了方向,也為中國代數學的西化和引入抽象代數奠定了理論基礎。