非線性能量采集系統(tǒng)的混沌動力學研究

(1.湘潭大學 湖南 湘潭 411105；2.中北大學 山西 太原 030051)

近年來，隨著微電子技術(shù)和無線技術(shù)的發(fā)展，手持型電子設(shè)備和無線傳感器進入了小型、低功耗化的時代。通常情況下，這些設(shè)備都是依靠傳統(tǒng)的電池來提供能量，如鎳氫電池、鋰聚合物電池等。但是，傳統(tǒng)電池存在的缺點在于，一是相對于微型傳感器其體積仍然較大，限制了微傳感器的進一步小型化；二是供能壽命有限，使用一段時間后需要更換或者充電，相對于放置在惡劣環(huán)境或者遙遠地區(qū)的無線傳感器而言，這是個很嚴重的制約條件。因此，人們希望制造出一種可以吸收周圍環(huán)境能量的器件，為電池充電甚至取代傳統(tǒng)電池，這種器件就是能量采集器。如何將環(huán)境中的廢棄機械振動能轉(zhuǎn)換為電能，是亟待研究的科學問題，所以振動能量采集成為微能源研究領(lǐng)域的一個重要方向，振動能量采集為低耗設(shè)備的供能提供了新的可能性。

傳統(tǒng)振動能量采集裝置主要基于線性振動理論，僅在結(jié)構(gòu)的固有頻率附近有較大功率輸出。為了克服線性系統(tǒng)這一缺陷，研究者開始引入非線性因素來拓寬它的工作頻帶，近年來雙穩(wěn)態(tài)以及多穩(wěn)態(tài)裝置能夠利用多勢能阱特點提高能量采集效果。Masana研究了軸向載荷作用下的壓電梁模型，當軸向載荷超過臨界載荷時候，屈曲梁呈現(xiàn)雙勢能阱。通過和單勢能阱系統(tǒng)比較，雙勢能阱系統(tǒng)在大幅低頻激勵下具有良好的能量采集效果。孫舒建立磁力耦合雙穩(wěn)態(tài)能量采集動力學模型，給出了磁力表達式，數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在低頻激勵下發(fā)生大幅運動。陳仲生利用隨機共振機理提高了雙穩(wěn)態(tài)懸臂梁壓電振子在寬帶低頻激勵下的采集效果。

本文的研究對象是軸向載荷作用下的壓電梁，主要工作是推導(dǎo)在考慮重力因素的影響下，軸向載荷作用下壓電梁能量采集系統(tǒng)的動力學控制方程，用Matlab對重力影響作用下壓電梁能量采集系統(tǒng)的非線性振動進行了模擬，并對模擬所得結(jié)果進行詳盡的分析和討論。

一、離考慮重力參數(shù)影響的能量采集系統(tǒng)的同宿分岔

(一)模型建立

圖1(a)為軸向載荷作用下的壓電梁，當載荷大小超過臨界載荷時，梁將呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)，形成雙穩(wěn)態(tài)振動能量采集系統(tǒng)。針對雙穩(wěn)態(tài)特點，將其簡化為斜彈簧支撐的壓電振子。考慮重力因素的影響，壓電能量采集系統(tǒng)的動力學控制方程可以寫成：

圖1 (a)受壓壓電梁模型;(b)壓電耦合振子模型

(1-1)

其中:M為壓電振子的質(zhì)量，X表示質(zhì)量塊的相對位移，K為等效剛度，c為阻尼系數(shù)，L表示彈簧的原長，g為重力加速度常數(shù)，l表示振子質(zhì)心到支點水平距離，u表示外界的振動源位移，Θ機電耦合系數(shù)，C表示等效電容。V表示通過電阻的電壓。

(二)數(shù)值模擬

為了驗證理論分析的結(jié)果，圖2為ρ=0.1;α=1/2;κ=0.5;θ=0.1;ξ=0.1;λ=0.01;ω=1.4。時候，位移關(guān)于基礎(chǔ)激勵幅值的分岔圖。圖2(a)中，在小于混沌閾值(圖中紅色虛線)處沒有混沌響應(yīng)出現(xiàn)，當f 從 0變化到0.38時，系統(tǒng)經(jīng)歷周期，倍化周期，以及混沌，當進一步增大激勵強度，系統(tǒng)通過逆倍化周期分析實現(xiàn)混沌運動到周期運動的變化。

圖2 (a)ρ=0.1時的分岔圖和(b)Lyapunov指數(shù)

圖3 ρ=0.1時相平面圖功率密度圖(a)f=0.32;(b) f=0.34;(c)f=0.35

圖3分別為ρ=0.1，f=0.32，f=0.34和f=0.35時系統(tǒng)的相平面、Poincare截面圖以及功率譜密度圖，當激勵幅值小于混沌閾值時候，系統(tǒng)發(fā)生小幅的阱內(nèi)周期運動，此時各階響應(yīng)頻率成分較低。當激勵強度增大，系統(tǒng)由于獲得輸入能量發(fā)生同宿分岔出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，此時的Lyapunov指數(shù)大于0，頻域響應(yīng)成寬峰分布。當進一步增大激勵的強度，混沌現(xiàn)象消失并最終出現(xiàn)大幅的周期運動。

二、基于諧波平衡法的非線性能量采集系統(tǒng)的動力學分析

現(xiàn)有分析方法大多采用數(shù)值仿真，不便于分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和各種因素對輸出功率的影響。為此，采用諧波平衡分析法。同時有兩種模擬參數(shù)如下：

1)ρ=0，α1=0.97，α2=0.6，α3=-4，θ=0.1，β=0.1，λ=0.01，

2)ρ=0.5，α1=-0.32，α2=3.97，α3=-4，θ=0.1，β=0.1，λ=0.01。

模擬顯示，系統(tǒng)呈現(xiàn)硬的非線性特性。

2)根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)得到解的穩(wěn)定性。實線表示系統(tǒng)的穩(wěn)定解，而虛線代表不穩(wěn)定解。

3)隨著外激勵f的增加，共振幅值和發(fā)生跳躍的頻率增加，并且多解共存區(qū)域和頻帶也逐漸增加。

4)當重力參數(shù)增加時，其共振幅值逐漸減小，共振峰值對應(yīng)的頻率逐漸減小，多解共存的區(qū)域和頻帶逐漸減小。

(a)ρ=0

(b)ρ=0.5

(c)ρ=0和 ρ=0.5的對比圖

圖4(a)和圖4(b)分別表示 ρ=0和 ρ=0.5時不同激勵下的頻率與電壓的關(guān)系曲線。通過對圖進行分析，可得以下非線性動力學結(jié)論：

1)由圖可知，隨著激勵頻率的增加，輸出的電壓增大，多解共存的區(qū)域和頻帶逐漸增大。

2)根據(jù)圖4(a)和圖4(b)可知，當重力參數(shù)增加時，其輸出的電壓減小，共振峰值對應(yīng)的頻率逐漸減小，多解共存的區(qū)域和頻帶逐漸減小。

3)因此，不考慮其重力參數(shù)的影響，可以拓寬其工作頻帶，增加能量的輸出效率。

(a)ρ=0

(b)ρ=0.5

圖5(a)和圖5(b)分別表示 ρ=0和 ρ=0.5時不同頻率下的激勵與幅值的關(guān)系曲線。從圖中可以得到以下非線性動力學結(jié)論：

1)由圖5(a)可知，當ω=0.6時，激勵小于0.08時，系統(tǒng)出現(xiàn)單值低能解的區(qū)域；激勵大于0.32時，系統(tǒng)也出現(xiàn)單值高能解的區(qū)域；系統(tǒng)在激勵為0.08到0.32之間出現(xiàn)多解共存的現(xiàn)象。

2)當ω=0.8時，系統(tǒng)在激勵為0.1到0.48之間出現(xiàn)多解共存的現(xiàn)象。

3)當ω=1.0時，系統(tǒng)在激勵為0.2到0.63之間出現(xiàn)多解共存的現(xiàn)象。因此，當頻率逐漸增大時，出現(xiàn)多解共存的區(qū)域也逐漸增大。

4)當ω=0.6時，系統(tǒng)只有一個單值低能解；當ω=0.8時，系統(tǒng)在激勵為0.04到0.05之間出現(xiàn)多解共存的現(xiàn)象。當ω=1.0時，系統(tǒng)在激勵為0.1到0.15之間出現(xiàn)多解共存的現(xiàn)象。

三、總結(jié)

本文基于軸向載荷作用下的壓電梁，當載荷大小超過臨界載荷時，梁將呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)，形成雙穩(wěn)態(tài)振動能量采集系統(tǒng)。針對雙穩(wěn)態(tài)特點，將其簡化為斜彈簧支撐的壓電振子。考慮重力因素的影響，得到帶有非對稱勢能阱的壓電能量采集系統(tǒng)的動力學控制方程。并利用Melnikov函數(shù)法和諧波平衡法對系統(tǒng)非線性動力學進行了分析，得到如下結(jié)論：

(1)重力參數(shù)和阻尼一樣顯著影響系統(tǒng)發(fā)生同宿分岔的閾值，隨著重力參數(shù)以及阻尼的增大，在相同頻率下發(fā)生同宿分岔所需要的激勵強度也隨之增加。

(2)隨著激勵的增大，系統(tǒng)經(jīng)歷周期，倍化周期，以及混沌，當進一步增大激勵強度，系統(tǒng)通過逆倍化周期分析實現(xiàn)混沌運動到周期運動的變化。

(3)當激勵幅值小于混沌閾值時候，系統(tǒng)發(fā)生小幅的阱內(nèi)周期運動，此時各階響應(yīng)頻率成分較低。當激勵強度增大，系統(tǒng)由于獲得輸入能量發(fā)生同宿分岔出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，此時的Lyapunov指數(shù)大于0，頻域響應(yīng)成寬峰分布。當進一步增大激勵的強度，混沌現(xiàn)象消失并最終出現(xiàn)大幅的周期運動。

(4)隨著外激勵f的增加，共振幅值和發(fā)生跳躍的頻率增加，并且多解共存區(qū)域和頻帶也逐漸增加。隨著重力參數(shù)增加時，其共振幅值逐漸減小，共振峰值對應(yīng)的頻率逐漸減小，多解共存的區(qū)域和頻帶逐漸減小。

(5)當激勵幅值一定時，在低頻范圍內(nèi)隨著激勵頻率的增加，輸出的電壓增大，多解共存的區(qū)域和頻帶逐漸增大。當重力參數(shù)增加時，其輸出的穩(wěn)態(tài)電壓逐漸減小，同時共振峰值對應(yīng)的頻率、多解共存的區(qū)域和頻帶都逐漸減小。因此，考慮實際當中重力參數(shù)的影響，可能減小其工作頻帶，因此需要額外的能量輸入才會達到理想的能量輸出效率。