非線性能量采集系統的混沌動力學研究

(1.湘潭大學 湖南 湘潭 411105；2.中北大學 山西 太原 030051)

近年來，隨著微電子技術和無線技術的發展，手持型電子設備和無線傳感器進入了小型、低功耗化的時代。通常情況下，這些設備都是依靠傳統的電池來提供能量，如鎳氫電池、鋰聚合物電池等。但是，傳統電池存在的缺點在于，一是相對于微型傳感器其體積仍然較大，限制了微傳感器的進一步小型化；二是供能壽命有限，使用一段時間后需要更換或者充電，相對于放置在惡劣環境或者遙遠地區的無線傳感器而言，這是個很嚴重的制約條件。因此，人們希望制造出一種可以吸收周圍環境能量的器件，為電池充電甚至取代傳統電池，這種器件就是能量采集器。如何將環境中的廢棄機械振動能轉換為電能，是亟待研究的科學問題，所以振動能量采集成為微能源研究領域的一個重要方向，振動能量采集為低耗設備的供能提供了新的可能性。

傳統振動能量采集裝置主要基于線性振動理論，僅在結構的固有頻率附近有較大功率輸出。為了克服線性系統這一缺陷，研究者開始引入非線性因素來拓寬它的工作頻帶，近年來雙穩態以及多穩態裝置能夠利用多勢能阱特點提高能量采集效果。Masana研究了軸向載荷作用下的壓電梁模型，當軸向載荷超過臨界載荷時候，屈曲梁呈現雙勢能阱。通過和單勢能阱系統比較，雙勢能阱系統在大幅低頻激勵下具有良好的能量采集效果。孫舒建立磁力耦合雙穩態能量采集動力學模型，給出了磁力表達式，數值模擬發現雙穩態系統在低頻激勵下發生大幅運動。陳仲生利用隨機共振機理提高了雙穩態懸臂梁壓電振子在寬帶低頻激勵下的采集效果。

本文的研究對象是軸向載荷作用下的壓電梁，主要工作是推導在考慮重力因素的影響下，軸向載荷作用下壓電梁能量采集系統的動力學控制方程，用Matlab對重力影響作用下壓電梁能量采集系統的非線性振動進行了模擬，并對模擬所得結果進行詳盡的分析和討論。

一、離考慮重力參數影響的能量采集系統的同宿分岔

(一)模型建立

圖1(a)為軸向載荷作用下的壓電梁，當載荷大小超過臨界載荷時，梁將呈現雙穩態，形成雙穩態振動能量采集系統。針對雙穩態特點，將其簡化為斜彈簧支撐的壓電振子。考慮重力因素的影響，壓電能量采集系統的動力學控制方程可以寫成：

圖1 (a)受壓壓電梁模型;(b)壓電耦合振子模型

(1-1)

其中:M為壓電振子的質量，X表示質量塊的相對位移，K為等效剛度，c為阻尼系數，L表示彈簧的原長，g為重力加速度常數，l表示振子質心到支點水平距離，u表示外界的振動源位移，Θ機電耦合系數，C表示等效電容。V表示通過電阻的電壓。

(二)數值模擬

為了驗證理論分析的結果，圖2為ρ=0.1;α=1/2;κ=0.5;θ=0.1;ξ=0.1;λ=0.01;ω=1.4。時候，位移關于基礎激勵幅值的分岔圖。圖2(a)中，在小于混沌閾值(圖中紅色虛線)處沒有混沌響應出現，當f 從 0變化到0.38時，系統經歷周期，倍化周期，以及混沌，當進一步增大激勵強度，系統通過逆倍化周期分析實現混沌運動到周期運動的變化。

圖2 (a)ρ=0.1時的分岔圖和(b)Lyapunov指數

圖3 ρ=0.1時相平面圖功率密度圖(a)f=0.32;(b) f=0.34;(c)f=0.35

圖3分別為ρ=0.1，f=0.32，f=0.34和f=0.35時系統的相平面、Poincare截面圖以及功率譜密度圖，當激勵幅值小于混沌閾值時候，系統發生小幅的阱內周期運動，此時各階響應頻率成分較低。當激勵強度增大，系統由于獲得輸入能量發生同宿分岔出現混沌現象，此時的Lyapunov指數大于0，頻域響應成寬峰分布。當進一步增大激勵的強度，混沌現象消失并最終出現大幅的周期運動。

二、基于諧波平衡法的非線性能量采集系統的動力學分析

現有分析方法大多采用數值仿真，不便于分析系統的頻率響應和各種因素對輸出功率的影響。為此，采用諧波平衡分析法。同時有兩種模擬參數如下：

1)ρ=0，α1=0.97，α2=0.6，α3=-4，θ=0.1，β=0.1，λ=0.01，

2)ρ=0.5，α1=-0.32，α2=3.97，α3=-4，θ=0.1，β=0.1，λ=0.01。

模擬顯示，系統呈現硬的非線性特性。

2)根據Routh-Hurwitz判據得到解的穩定性。實線表示系統的穩定解，而虛線代表不穩定解。

3)隨著外激勵f的增加，共振幅值和發生跳躍的頻率增加，并且多解共存區域和頻帶也逐漸增加。

4)當重力參數增加時，其共振幅值逐漸減小，共振峰值對應的頻率逐漸減小，多解共存的區域和頻帶逐漸減小。

(a)ρ=0

(b)ρ=0.5

(c)ρ=0和 ρ=0.5的對比圖

圖4(a)和圖4(b)分別表示 ρ=0和 ρ=0.5時不同激勵下的頻率與電壓的關系曲線。通過對圖進行分析，可得以下非線性動力學結論：

1)由圖可知，隨著激勵頻率的增加，輸出的電壓增大，多解共存的區域和頻帶逐漸增大。

2)根據圖4(a)和圖4(b)可知，當重力參數增加時，其輸出的電壓減小，共振峰值對應的頻率逐漸減小，多解共存的區域和頻帶逐漸減小。

3)因此，不考慮其重力參數的影響，可以拓寬其工作頻帶，增加能量的輸出效率。

(a)ρ=0

(b)ρ=0.5

圖5(a)和圖5(b)分別表示 ρ=0和 ρ=0.5時不同頻率下的激勵與幅值的關系曲線。從圖中可以得到以下非線性動力學結論：

1)由圖5(a)可知，當ω=0.6時，激勵小于0.08時，系統出現單值低能解的區域；激勵大于0.32時，系統也出現單值高能解的區域；系統在激勵為0.08到0.32之間出現多解共存的現象。

2)當ω=0.8時，系統在激勵為0.1到0.48之間出現多解共存的現象。

3)當ω=1.0時，系統在激勵為0.2到0.63之間出現多解共存的現象。因此，當頻率逐漸增大時，出現多解共存的區域也逐漸增大。

4)當ω=0.6時，系統只有一個單值低能解；當ω=0.8時，系統在激勵為0.04到0.05之間出現多解共存的現象。當ω=1.0時，系統在激勵為0.1到0.15之間出現多解共存的現象。

三、總結

本文基于軸向載荷作用下的壓電梁，當載荷大小超過臨界載荷時，梁將呈現雙穩態，形成雙穩態振動能量采集系統。針對雙穩態特點，將其簡化為斜彈簧支撐的壓電振子。考慮重力因素的影響，得到帶有非對稱勢能阱的壓電能量采集系統的動力學控制方程。并利用Melnikov函數法和諧波平衡法對系統非線性動力學進行了分析，得到如下結論：

(1)重力參數和阻尼一樣顯著影響系統發生同宿分岔的閾值，隨著重力參數以及阻尼的增大，在相同頻率下發生同宿分岔所需要的激勵強度也隨之增加。

(2)隨著激勵的增大，系統經歷周期，倍化周期，以及混沌，當進一步增大激勵強度，系統通過逆倍化周期分析實現混沌運動到周期運動的變化。

(3)當激勵幅值小于混沌閾值時候，系統發生小幅的阱內周期運動，此時各階響應頻率成分較低。當激勵強度增大，系統由于獲得輸入能量發生同宿分岔出現混沌現象，此時的Lyapunov指數大于0，頻域響應成寬峰分布。當進一步增大激勵的強度，混沌現象消失并最終出現大幅的周期運動。

(4)隨著外激勵f的增加，共振幅值和發生跳躍的頻率增加，并且多解共存區域和頻帶也逐漸增加。隨著重力參數增加時，其共振幅值逐漸減小，共振峰值對應的頻率逐漸減小，多解共存的區域和頻帶逐漸減小。

(5)當激勵幅值一定時，在低頻范圍內隨著激勵頻率的增加，輸出的電壓增大，多解共存的區域和頻帶逐漸增大。當重力參數增加時，其輸出的穩態電壓逐漸減小，同時共振峰值對應的頻率、多解共存的區域和頻帶都逐漸減小。因此，考慮實際當中重力參數的影響，可能減小其工作頻帶，因此需要額外的能量輸入才會達到理想的能量輸出效率。