多項式混沌展開和最大熵原理的結構動力特性不確定性量化

萬華平 邰永敢 鐘劍

摘要： 結構參數不可避免存在不確定性，參數不確定性必然會導致結構動力特性具有不確定性。 量化動力特性不確定性能為結構分析與設計提供準確的動力信息，因此發展快速有效的不確定性量化方法非常必要。提出了一種基于多項式混沌展開和最大熵原理的不確定性量化方法，用于定量參數不確定性傳遞到結構動力特性不確定性的大小。具體是，多項式混沌展開替代模型用來取代耗時的結構有限元模型，并實現解析地計算出結構動力特性的高階統計矩，然后利用統計矩信息并結合最大熵原理推斷出結構動力特性的概率密度函數的解析表達式。最后以一簡支鋼桁架橋為例，驗證多項式混沌展開和最大熵原理的結構動力特性不確定性量化方法的有效性。

關鍵詞： 動力特性; 不確定性量化; 多項式混沌展開; 最大熵原理; 統計矩

中圖分類號： O324; TB123 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2019）04-0574-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.003

引 言

結構動力特性（如固有頻率）對于結構的動力設計和振動分析等均具有重要意義，因此準確表征結構的動力特性非常重要。結構參數的真實值往往很難獲得，引起結構參數不確定性的來源主要包括材料參數和幾何參數不確定性、邊界條件參數的不確定性以及結構外荷載的不確定性等[1]。結構參數不確定性會導致結構動力特性具有不確定性（變異性），欲得到準確的結構動力特性信息，參數不確定性對動力特性的影響不應忽略。 定量參數不確定性傳遞到結構動力特性的不確定性是結構動力分析領域一個重要研究，即結構動力特性不確定性量化[2-3]。

結構動力不確定性量化的目的是為了定量參數不確定性引起的結構動特性不確定性大小，表征動力特性不確定性的量包括統計矩（比如均值、方差）、上下限（或者包絡）和概率密度函數等。蒙托卡羅模擬（Monte Carlo Simulation， MCS）方法是量化結構動力不確定性最為常用的方法，具有易于實現、穩定性好等優勢。MCS 方法是對不確定性參數進行大量采樣，然后計算每次采樣值對應的動力特性，最后對所獲的動力特性樣本進行統計。由于工程結構大多數很復雜和尺寸大，其有限元模型往往很龐大，MCS 方法因高昂的計算花費而很難應用于工程實際[4-5]。攝動法[6-8]和區間分析法[9-12]在結構動力特性量化研究領域得到廣泛應用，它們是基于結構動力方程（涉及質量、剛度和阻尼矩陣）進行分析計算，然而復雜結構有限元模型一般是借助商用有限元軟件建立的，提取結構的系統矩陣并進行后續的迭代計算非常困難。 替代模型（Metamodel）成為解決復雜結構動力不確定性量化的有效手段，其采用低維的和顯式的近似數學模型取代耗時的有限元模型，然后在替代模型框架下進行不確定性量化分析。

多項式混沌展開（Polynomial Chaos Expansion， PCE）模型是在概率框架下建立的，是具有顯式表達式的參數化模型，在工程領域得到了廣泛應用[13-15]。多項式混沌展開模型是一種正交多項式，用于響應統計矩計算具有非常大的優勢，響應統計矩（如均值和方差）可以根據模型系數解析求出。本文基于多項式混沌展開這一優勢，將多項式混沌展開代替有限元模型來進行結構動力不確定量化分析[13]。本文的主要工作包括兩部分： （1） 建立適用于隨機參數服從任意概率分布的多項式混沌展開模型，然后解析地求出動力特性的高階統計矩，并不只限于一階和二階統計矩（即均值和方差）; （2） 基于得到的統計矩信息，采用最大熵原理（Maximum Entropy Principle，MEP）方法推斷動力特性的概率密度函數，概率密度函數為動力特性提供更豐富的不確定性信息。 最后用一簡支鋼桁架橋算例演示本文提出的基于多項式混沌展開和最大熵原理的結構動力特性不確定性量化方法，并通過對比 MCS 方法計算結果來驗證本文方法的有效性。

1 基于多項式混沌展開的統計矩計算

用一下承式簡支鋼桁架橋驗證基于多項式混沌展開的高階統計矩計算和最大熵概原理的率密度函數估計的正確性。 鋼桁架橋長72 m，寬10 m，高16 m，詳細尺寸如圖2所示。 除橋面板為混凝土材料，其他構件均為鋼材，構件規格如表1所示。考慮到材料彈性模量存在變異性，為此視其為隨機變量，假設鋼桁架和橋面板的彈性模量均正態分布，均值為名義值，變異系數為10%。 鋼材的彈性模量名義值為2.1×1011 Pa，混凝土的彈性模量名義值為3.5×1010 Pa。考慮到混凝土橋面板在澆筑過程中存在不確定性因素，其厚度視為隨機變量服從均值為0.3 m，變異系數為15%的均勻分布。圖 3為隨機變量取均值下的有限元分析結果。

文獻[20-21]建議采用10d（d為參數個數）的訓練樣本數，為保險起見，本文采用了100個訓練樣本。然后基于訓練樣本建立表征隨機參數與鋼桁架橋的固有頻率關系的多項式混沌展開模型。MCS方法用來驗證本文方法的計算結果精度，MCS方法的樣本數設定為105。將多項式混沌展開的計算結果和蒙托卡羅模擬計算結果進行對比，結果如圖4所示。由圖4可以看出， 多項式混沌展開計算結果和蒙托卡羅模擬計算結果吻合的非常好，幾乎沒有差別，最大相對誤差為 0.7538%，表明用于高階統計矩計算的多項式混沌展開方法精度非常高。高精度的統計矩對基于最大熵原理的動力特性的概率密度函數的估計具有重要意義。接下來將利用計算得到的結構動力特性前4階統計矩結合最大熵原理得到結構動力特性概率密度函數。同樣的蒙托卡羅模擬方法用來驗證概率密度函數估計結果的準確性，如圖5所示。同樣地，由圖5可知基于最大熵原理得到的鋼桁架橋動力特性的概率密度函數與蒙托卡羅模擬結果非常吻合，說明本文方法用于動力特性的概率密度函數估計精度很高。該數值桁架橋一次特征值分析僅需要0.042 s，MCS方法總耗時約為70 min，而本文方法僅1 min左右。需要指出的是當模型越復雜，有限元分析越耗時，本文方法計算效率優勢則更為明顯。綜合上述結果，表明本文提出的多項式混沌展開和最大熵原理相結合的方法在結構動力特性不確定性量化應用中的有效性。

4 總 結

本文提出了一種多項式混沌展開和最大熵原理相結合的不確定性量化方法，該方法包括基于多項式混沌展開的高階統計矩計算和基于最大熵原理的概率密度函數估計兩部分內容。該方法首先利用多項式混沌展開模型替代原先的復雜的結構系統，用于表征結構系統的不確定性參數與動力特性的映射關系; 然后在替代模型框架下，利用多項式混沌展開系數與單變量數字統計特征的組合關系快速有效地計算出結構動力特性的高階統計矩; 接著將獲得的動力特性的高階統計矩信息作為約束條件，利用最大熵原理估計結構動特性的概率密度函數。最后用一簡支鋼桁架橋算例演示和驗證本文方法，該桁架橋的前4階固有頻率為目標量。采用本文方法可快速計算得到固有頻率的高階統計矩和概率密度函數，其計算結果與蒙特卡羅方法對比。對比結果表明： 基于多項式混沌展開技術得到的高階統計矩結果的精度非常高，最大相對誤差僅為 0.7538%; 以高階統計矩信息為約束條件，基于最大熵原理推斷的固有頻率的概率密度函數與蒙特卡羅方法估計的結果非常吻合。因此，本文提出的基于多項式混沌展開和最大熵原理相結合的方法的計算精度非常高，能夠用于結構動力特性不確定性量化研究。

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Abstract： Structural parameters inevitably involve uncertainty， and the uncertainty of parameters will lead to the variability in the structural dynamic characteristics. Quantification of uncertainty in dynamic characteristics is able to provide accurate dynamic information for structural analysis and design. Therefore， developing a rapid and effective uncertainty quantification （UQ） method is very necessary. This paper proposes an efficient UQ method with combination of polynomial chaos expansion （PCE） and maximum entropy principle （MEP） to measure the uncertainty in dynamic characteristics propagated from parameter uncertainty. Specifically， the PCE surrogate model is used to replace the time-consuming structural finite element model， and the high-order statistical moments of the structural dynamic characteristics are analytically calculated; the obtained statistical moment information and the MEP are used to deduce the probability density function of structural dynamic characteristics. Finally， a simple-supported steel truss bridge is provided to verify the feasibility of the proposed method in UQ for structural dynamic characteristics.

Key words： dynamic characteristics; uncertainty quantification characteristics; polynomial chaos expansion; maximum entropy principle; statistical moments

作者簡介： 萬華平（1986-）， 男， 副教授。電話： 15556928238;E-mail： huaping.wan@hftu.edu.cn

通訊作者： 任偉新（1960-）， 男， 教授，博士生導師。 E-mail： renwx@hfut.edu.cn