一類彈性碰撞振動系統周期倍化分岔預測及其神經網絡控制

張惠 衛曉娟 丁旺才

摘要： 針對一類單自由度含間隙和預緊彈簧的彈性碰撞振動系統的分岔控制問題，提出了一種基于Lyapunov指數及徑向基函數神經網絡的分岔預測及控制方法。首先建立了系統的Poincaré映射，推導了彈性碰撞振動系統周期運動存在的條件，研究了在主要分岔參數平面中的動力學分布;其次利用Lyapunov指數分析了系統的穩定性，提出利用追蹤Lyapunov指數譜分岔點來預測周期倍化分岔發生的方法;最后基于徑向基函數神經網絡設計了參數反饋分岔控制器、基于周期倍化分岔點處的最大Lyapunov指數構造適應度函數，并利用Lyapunov指數判斷是否實現了分岔控制，以引導自適應混合引力搜索算法對控制器的參數進行優選，從而實現周期倍化分岔控制。

關鍵詞： 非線性振動; 非光滑系統; 周期倍化分岔; Poincaré映射; Lyapunov指數譜; RBF神經網絡

中圖分類號： O322; O343.5 ?文獻標志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2019）04-0626-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.009

引 言

分岔是非線性系統所具備的獨特現象且已經成為非線性動力學不可或缺的組成部分，分岔理論的研究不僅揭示了系統的各種運動狀態之間的相互聯系和轉化，而且與混沌密切相關。對于非線性系統，分岔現象可能產生有害的動力學行為，需要避免或抑制;又或為了使系統產生人們所需要的分岔行為，需要設計適當的控制器以改變非線性振動的分岔特性。因此，對非線性系統的分岔分析和控制的研究具有重要的科學意義和廣闊的應用前景[1]。研究分岔控制，可以有效地避免、延緩和消除分岔所導致的不良后果，對提高系統的穩定性和可靠性具有理論指導意義。

非光滑動力系統在機械、電路等領域十分普遍，它會導致類似于復雜非線性系統具有的分岔和混沌運動，然而很多分岔特性及機理又與普通光滑非線性系統完全不同 [2-10]。非光滑系統中含有的間隙、預緊、干摩擦等非光滑因素使其Poincaré映射在控制目標附近不可微，故基于局部線性化映射的各種控制策略及其推廣形式不能勝任這類系統的混沌運動控制[11]。

周期倍化分岔過程是一條通向混沌的典型道路，因此消除或延遲周期倍化分岔的發生是控制混沌發生的一個有效方法。Abed等[12]提出了周期倍化分岔的局部鎮定問題，并采用反饋控制延遲倍周期分岔的發生。唐駕時等[13]研究了Logistic模型的倍周期分岔的控制問題，設計了各種線性控制器，使倍周期分岔延遲或提前出現甚至消失。羅曉曙等[14]利用系統的狀態反饋和參數調節的方法，有效地實現了離散非線性動力系統的倍周期分岔的延遲控制和混沌吸引子中不穩定周期軌道的控制。王學梅等[15]根據一般迭代映射的倍周期分岔定理，從數學上論證了電壓型不連續導電模式（DCM）Boost和Buck變換器中倍周期分岔現象產生的條件， 由此揭示了 DC-DC 變換器中倍周期分岔現象發生的機理。姜海波等[16]基于Floquet理論揭示了Logistic映射周期解的分岔機理。衛曉娟等[17]應用基于RBF神經網絡的智能優化控制方法研究一類含間隙碰撞振動系統混沌運動的控制，將混沌運動控制為預期的規則運動。文[18] 提出了一種不依賴被控系統數學模型的無模型自適應參數反饋混沌控制方法，研究了一類單自由度非光滑系統的混沌控制問題。文[19]通過分析對稱性破缺分岔機制，采用了一個直接的、有效的線性控制器，精確控制了一類三次方對稱離散混沌系統發生對稱性破缺分岔和倍周期分岔時分岔點的位置。Souza 等[20]在碰撞瞬時，引進了具有動態變量的超越映射，計算了碰撞系統的李雅普諾夫指數譜。金俐等[21] 對n維剛性約束和分段光滑非光滑動力系統引進局部映射，利用映射分析方法得出了非光滑系統Lyapunov指數譜的通用計算方法。

本文針對一類單自由度含間隙和預緊彈簧的彈性碰撞振動系統的分岔控制問題，應用智能控制方法，提出了一種基于Lyapunov指數及徑向基函數神經網絡的分岔預測及控制方法。本文內容安排如下：首先建立了系統的Poincaré映射，推導了彈性碰撞振動系統周期運動存在的條件。利用Lyapunov指數分析了系統的穩定性;其次提出追蹤Lyapunov指數譜分岔點來預測周期倍化分岔發生的方法;最后基于徑向基函數神經網絡設計了參數反饋分岔控制器，并基于周期倍化分岔點處的最大Lyapunov指數構造適應度函數（即利用Lyapunov指數預測周期倍化分岔的發生，以及判斷是否實現了分岔的控制），以引導自適應混合引力搜索算法對控制器的參數進行優選，從而實現了周期倍化分岔的控制。

1 系統模型及其運動方程

1.1 力學模型

圖1為一個含間隙及預緊彈簧的彈性碰撞振動系統模型，左邊是質量為M的物塊由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數為R1的線性阻尼器連接于支承，并受到簡諧激勵Fmsin（ΩT+τ）的作用（Fm為簡諧激勵力幅值，Ω為簡諧激勵力頻率，τ為初始相位）。右邊是一個帶有預壓縮彈簧K2和阻尼系數為R2的碰撞面（無質量），用來緩沖碰撞。取物塊靜平衡位置為坐標原點，彈簧K2被預壓縮來緩沖振動，設質量塊的位移為X，間隙為Δ，彈簧K2的預壓縮量為D。

3.2.2 基于AHGSA的控制器參數優化流程

采用AHGSA算法使式（20）取得最小值的全局最優位置g即是RBF神經網絡參數反饋分岔控制器的最優參數w，b和c，其具體優化流程如下：

1） 隨機初始化粒子的位置和速度;

2） 按式（20）計算每個粒子的適應值;

3） 對每個粒子，將其適應值與個體歷史最優、以及與全局最優進行比較，以更新當前的個體最優位置與群體最優位置;

4） 更新每個粒子的速度和位置;

5） 如未達到預先設定的停止準則，則返回步驟2），若達到則停止計算。

4 仿真研究

在確定神經網絡隱層節點數時，在滿足控制系統性能要求的前提下，以取盡可能緊湊的網絡結構為原則，將網絡隱層節點選定為5個。AHGSA算法的參數設置為：種群規模為30，最大迭代次數為100，G0=129，α=17，等比系數r=0.96。利用控制器分別對系統可控參數ω，δ施加微小擾動，以控制系統的周期倍化分岔行為，使系統趨于穩定的q=1/1周期運動狀態。為了清楚地顯示控制效果，前200次迭代不啟動控制項，從第201次開始施加控制，圖7（a）和（b）分別為調整ω和δ時的周期倍化分岔控制效果。由圖可知，系統的q=2/2運動能夠很快地被控制為q=1/1周期運動，實現了周期倍化分岔控制。同樣的，q=4/4及混沌運動也可以很快地被控制為q=1/1周期運動。因調整參數ω和δ的控制效果是類似的，故只呈現了調整參數ω的控制效果圖，如圖8及9所示。

5 結 論

本文研究了一類單自由度含間隙和預緊彈簧的彈性碰撞振動系統模型，針對系統的分岔控制問題，提出了一種基于Lyapunov指數及徑向基函數神經網絡的分岔預測及控制方法。

（1） 建立了系統的Poincaré映射，推導了彈性碰撞振動系統周期運動存在條件，研究了系統不同周期運動狀態在（ω，δ）參數平面的所處參數區域。

（2） 提出追蹤Lyapunov指數譜分岔點來預測周期倍化分岔發生的方法;當周期運動的兩個Lyapunov指數的差值dλ小于突變閾值dλCP時，系統保持穩定的周期運動狀態;隨著系統參數的變化，當dλ逐漸增大到分岔閾值dλPD，即λ1=0時系統開始周期倍化分岔序列，Lyapunov指數突變點的變化倍率為gω≈3.447，gδ≈3.969。

（3） 基于徑向基函數神經網絡設計了參數反饋分岔控制器，并基于周期倍化分岔點處的最大Lyapunov指數構造適應度函數，即利用Lyapunov指數預測周期倍化分岔的發生，以及判斷是否實現了分岔的控制。以引導自適應混合引力搜索算法對控制器的參數進行優選，從而實現周期倍化分岔的控制。

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Abstract： The paper is devoted to a kind of single-degree-of-freedom non-smooth dynamical system with clearance and pre-compressed springs. The Poincaré mapping of the system is established and the existence condition of periodic motion of the elastic vibro-impact system is derived， and the dynamic distribution in the main bifurcation parameter plane is studied. The stability of the system is analyzed by using Lyapunov exponents， and a method of predicting the occurrence of period doubling bifurcation by tracing the spectral bifurcation points of Lyapunov exponent is proposed. The parameter feedback bifurcation controller is designed on the basis of RBF neural network. The adaptive hybrid gravitational search algorithm （AHGSA） combined with RBF neural network is presented to optimize the parameters in bifurcation controller. To control the period-doubling bifurcations， the fitness function is formulated on the maximum Lyapunov exponent of the corresponding bifurcation points.

Key words： nonlinear vibration; non-smooth dynamical systems; period doubling bifurcation; Poincaré mapping; Lyapunov exponent; RBF neural network

作者簡介： 張 惠（1983-），女，講師。電話：（0931）4957093;E-mail：zhanghui_nice@163.com

通訊作者： 丁旺才（1964-），男，教授。電話：（0931）4956108;E-mail：Dingwc@mail.lzjtu.cn