二階控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)分析

熊藜 宋剛 胡榮瀚 張?jiān)?/p>

摘 要：基于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)分析，通過在二階系統(tǒng)的反饋回路中加入了一階未知時(shí)間常數(shù)的微分環(huán)節(jié)，通過構(gòu)建傳遞函數(shù)，做出對(duì)典型輸入信號(hào)在不同未知時(shí)間常數(shù)τ=0，0.0125，0.025下的時(shí)間響應(yīng)曲線。通過Matlab編程求出不同阻尼比ζ=0-2下的二階系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)，進(jìn)而反推出貼近最優(yōu)的瞬態(tài)性能的反饋時(shí)間常數(shù)，其值為τ=0.025。最優(yōu)對(duì)二階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)方法進(jìn)行了分析與描述。

關(guān)鍵詞：時(shí)間響應(yīng);瞬態(tài)性能;反饋時(shí)間常數(shù);穩(wěn)定性判據(jù)

中圖分類號(hào)：TP271+.2? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1671-7988（2019）12-96-03

Abstract： Based on the response analysis of the continuous time system， the first order unknown time constant differential link was added into the feedback loop of the second order system. The transient performance index of the second-order system with different damping ratios was obtained through Matlab programming， and then the feedback time constant close to the optimal transient performance was derived， and its value was. The stability criterion method for optimal second-order systems is analyzed and described.

Keywords： Time response; Transient performance; Feedback time constant; Stability criterion

引言

工程中，大量的控制系統(tǒng)，尤其是機(jī)械系統(tǒng)，都可利用高階微分方程的原理建立起高階系統(tǒng)。對(duì)于這種復(fù)雜的系統(tǒng)，在一定準(zhǔn)確度條件下，可以忽略某些次要因素，將高階系統(tǒng)簡化為二階或一階系統(tǒng)的串并聯(lián)的組合。這樣便可利用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)以及系統(tǒng)偏差的校正，從而做出對(duì)高階系統(tǒng)的分析與研究。為了更好的了解二階系統(tǒng)的特性，對(duì)其做時(shí)間響應(yīng)分析是重要的解決方法。

本文主要對(duì)二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能作時(shí)域響應(yīng)分析和頻率特性指標(biāo)進(jìn)行分析，從而掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準(zhǔn)確性三者之間的制約關(guān)系，對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析有重大意義。

1 時(shí)間響應(yīng)及組成

系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可從兩方面進(jìn)行分類，根據(jù)系統(tǒng)的振動(dòng)性質(zhì)可分為自由響應(yīng)與強(qiáng)迫響應(yīng);按系統(tǒng)振動(dòng)來源可分為零輸入響應(yīng)與零輸入響應(yīng)。

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)一般方程表達(dá)形式有：

系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)由兩部分組成，即：

零輸入響應(yīng)指在沒有輸入激勵(lì)的作用下，僅由初態(tài)引起的自由響應(yīng)。按照求解順序可先求出零輸入響應(yīng)，再求出零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)為無輸入時(shí)系統(tǒng)初態(tài)為零而僅有輸入引起系統(tǒng)的響應(yīng)。本文研究的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。

2 二階系統(tǒng)的典型代表性

現(xiàn)實(shí)條件下二階系統(tǒng)的典型事例有很多，如RCL電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、具有慣性荷載的液壓助力器以及質(zhì)量-彈簧-阻尼機(jī)械系統(tǒng)等。舉例假設(shè)某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示：

該二階系統(tǒng)中在反饋回路處加入了一階未知時(shí)間常數(shù)的微分環(huán)節(jié)，通過構(gòu)建傳遞函數(shù)，取不同的時(shí)間常數(shù) 值，分析輸入單位脈沖與單位階躍信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的影響。求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

其中，運(yùn)算得出系統(tǒng)無阻尼固有頻率值ωn值為31.6s-1，阻尼比ξ值為0.32+15.8τ，τ為時(shí)間常數(shù)，這里分別取值為0、0.0125、0.025，ωn與ξ是二階系統(tǒng)的特征參數(shù)。

在典型輸入信號(hào)單位脈沖與單位階躍的作用下，分別應(yīng)用Matlab軟件中的impulse函數(shù)與step函數(shù)可以得到系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)，響應(yīng)曲線示意圖如圖2所示。

通過圖2可以看出不同的時(shí)間常數(shù)τ對(duì)單位脈沖響應(yīng)以及單位階躍響應(yīng)有著不同的影響。如此一來，這一組時(shí)間常數(shù)更加符合系統(tǒng)的性能指標(biāo)，或者說那組數(shù)據(jù)對(duì)控制系統(tǒng)的三大研究問題，即系統(tǒng)穩(wěn)定性、響應(yīng)快速性、響應(yīng)準(zhǔn)確性的綜合評(píng)價(jià)更高，這就需要考慮二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo)，從而對(duì)比做出判斷。

3 二階系統(tǒng)響應(yīng)瞬態(tài)性能指標(biāo)

大多數(shù)情況下，評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo)一般在時(shí)域范圍內(nèi)研究?？紤]到二階欠阻尼系統(tǒng)過渡時(shí)間的較短，產(chǎn)生單位階躍輸入信號(hào)較為容易且與實(shí)際情況下輸入的信號(hào)更加貼近振蕩，同時(shí)系統(tǒng)在對(duì)單位階躍信號(hào)做出的響應(yīng)可以求出任何輸入下的響應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)，我們對(duì)其作進(jìn)一步分析。

3.1 上升時(shí)間、峰值時(shí)間與頻率調(diào)整時(shí)間

二階欠阻尼系統(tǒng)中，反映響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)定值所需要的時(shí)間即為上升時(shí)間tr;而響應(yīng)曲線第一次達(dá)到峰值的時(shí)間稱為峰值時(shí)間tp。兩者在數(shù)學(xué)關(guān)系上有很大的相似性，當(dāng)阻尼比ξ增大，ωn增大，tr與tp均減小。此外，過渡過程中的x0（t）滿足或不等式所需的時(shí)間定義為調(diào)整時(shí)間ts。

3.2 最大超調(diào)量與振蕩次數(shù)

定義最大峰值相對(duì)與穩(wěn)定值的之差的百分量稱為最大調(diào)整量Mp，即?？梢姡{(diào)量Mp只與阻尼比ξ有關(guān)，而與固有頻率ωn無關(guān)。由此得出最大超調(diào)量的大小直接可以說明系統(tǒng)的阻尼特性。對(duì)于振蕩次數(shù)N，同樣是隨著阻尼比的增加而減少，其大小也直接反映了系統(tǒng)的阻尼特性。

3.3 不同阻尼比下的時(shí)間響應(yīng)

從白車身彎曲剛度計(jì)算公式可看出，影響彎曲剛度的主要是縱梁最大變形量。對(duì)于同一臺(tái)白車身而言，影響縱梁最大變形量的因素有約束方式和駕駛室本身的狀態(tài)是否安裝擋風(fēng)玻璃。

2 約束方式對(duì)白車身剛度的影響分析

2.1 約束方式對(duì)白車身扭轉(zhuǎn)剛度的影響分析

白車身扭轉(zhuǎn)剛度試驗(yàn)按照扭矩施加位置的不同可分為前扭轉(zhuǎn)和后扭轉(zhuǎn)。在白車身前懸施加扭矩，后懸固定為前扭轉(zhuǎn)，側(cè)重考核白車身后部結(jié)構(gòu)的抗扭變形能力，反之則為后扭轉(zhuǎn)。對(duì)于商用車而言，認(rèn)為白車身前扭轉(zhuǎn)剛度比后扭轉(zhuǎn)剛度更值得關(guān)注。本文通過白車身前扭轉(zhuǎn)臺(tái)架試驗(yàn)為例來探討約束方式對(duì)白車身扭轉(zhuǎn)剛度的影響。

選取某款商用車車型白車身1臺(tái)，在白車身靜剛度試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行扭轉(zhuǎn)剛度試驗(yàn)，試驗(yàn)時(shí)選取常用6種約束方式（見表1）進(jìn)行試驗(yàn)，每種約束試驗(yàn)進(jìn)行3次，記錄試驗(yàn)數(shù)據(jù)。為保證數(shù)據(jù)測量的準(zhǔn)確性，毎種約束方式剛度試驗(yàn)完成后將駕駛室拆除再重新安裝。

為保證測量數(shù)據(jù)的可比性，每組試驗(yàn)施加相同扭矩，剛度值計(jì)算按照1.1進(jìn)行，每種約束取3組試驗(yàn)剛度平均值作為最終剛度值，試驗(yàn)數(shù)據(jù)詳見表2所示。

通過對(duì)表2的數(shù)據(jù)分析可知：不同約束方式下扭轉(zhuǎn)剛度值偏差在3%以內(nèi)，該誤差可認(rèn)為是白車身安裝引起的。故認(rèn)為約束方式對(duì)商用車白車身扭轉(zhuǎn)剛度基本無影響。在進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，為方便與CAE對(duì)比和固化試驗(yàn)方法，通常選取約束1。

2.2 約束方式對(duì)白車身彎曲剛度的影響分析

選取某款商用車車型白車身1臺(tái)，在白車身靜剛度試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行彎曲剛度試驗(yàn)，試驗(yàn)時(shí)選取常用2種常見約束方式（見表3）進(jìn)行試驗(yàn)，毎種約束試驗(yàn)進(jìn)行3次，記錄試驗(yàn)數(shù)據(jù)。為保證數(shù)據(jù)測量的準(zhǔn)確性，每種約束方式剛度試驗(yàn)完成后將駕駛室拆除再重新安裝。

為保證測量數(shù)據(jù)的可比性，每組試驗(yàn)施加相同加載力且加載面積和位置一致，剛度值計(jì)算按照1.2進(jìn)行，每種約束取3組試驗(yàn)剛度平均值作為最終剛度值，試驗(yàn)數(shù)據(jù)詳見表4所示。

通過對(duì)表4的數(shù)據(jù)分析可知：不同約束方式下彎曲剛度值偏差為4.8%，該誤差可認(rèn)為是白車身安裝引起的。故認(rèn)為約束方式對(duì)商用車白車身彎曲剛度基本無影響。在進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，為方便與CAE對(duì)比和固化試驗(yàn)方法，通常選取約束方式1。

3 擋風(fēng)玻璃對(duì)白車身剛度的影響分析

白車身剛度測量時(shí)有安裝擋風(fēng)玻璃和未安裝擋風(fēng)玻璃兩種狀態(tài)，未安裝擋風(fēng)玻璃的剛度主要用于與標(biāo)桿車的剛度數(shù)據(jù)作對(duì)比，指導(dǎo)白車身鈑金件設(shè)計(jì)，安裝擋風(fēng)玻璃的剛度與駕駛室總成的剛度更加接近，測量也十分必要。

3.1 擋風(fēng)玻璃對(duì)白車身扭轉(zhuǎn)剛度的影響分析

這里以白車身前扭轉(zhuǎn)剛度試驗(yàn)為例來探討擋風(fēng)玻璃對(duì)白車身扭轉(zhuǎn)剛度的影響。

選取某3款商用車車型白車身各1臺(tái)，在白車身靜剛度試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行扭轉(zhuǎn)剛度試驗(yàn)，每組試驗(yàn)進(jìn)行3次，記錄試驗(yàn)數(shù)據(jù)。為保證數(shù)據(jù)測量的準(zhǔn)確性，未安裝擋風(fēng)玻璃剛度試驗(yàn)完成后，拆除白車身安裝擋風(fēng)玻璃后重新安裝于試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行試驗(yàn)。

為保證測量數(shù)據(jù)的可比性，每組試驗(yàn)施加相同扭矩，剛度值計(jì)算按照1.1進(jìn)行，每種狀態(tài)取3組試驗(yàn)剛度平均值作為最終剛度值，試驗(yàn)結(jié)果詳見表5所示。

通過對(duì)表5數(shù)據(jù)分析可知，安裝擋風(fēng)玻璃與不安裝擋風(fēng)玻璃的扭轉(zhuǎn)剛度值存在著接近2倍的關(guān)系，安裝擋風(fēng)玻璃后白車身扭轉(zhuǎn)剛度提升幅度可高達(dá)111%。說明擋風(fēng)玻璃對(duì)商用車白車身扭轉(zhuǎn)剛度貢獻(xiàn)大。

3.2 擋風(fēng)玻璃對(duì)白車身彎曲剛度的影響分析

這里以在駕駛室主副座椅處加載的彎曲工況為例來探討擋風(fēng)玻璃對(duì)白車身彎曲剛度的影響。

選取某3款商用車車型白車身各1臺(tái)，在白車身靜剛度試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行彎曲剛度試驗(yàn)，每組試驗(yàn)進(jìn)行3次，記錄試驗(yàn)數(shù)據(jù)。為保證數(shù)據(jù)測量的準(zhǔn)確性，未安裝擋風(fēng)玻璃剛度試驗(yàn)完成后，拆除白車身安裝擋風(fēng)玻璃后重新安裝于試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行試驗(yàn)。

為保證測量數(shù)據(jù)的可比性，每組試驗(yàn)施加相同加載力且加載面積和位置一致，剛度值計(jì)算按照1.2進(jìn)行，每種狀態(tài)取3組試驗(yàn)剛度的平均值作為最終剛度值，試驗(yàn)結(jié)果詳見表6所示。

通過對(duì)表6數(shù)據(jù)分析可知，安裝擋風(fēng)玻璃與不安裝擋風(fēng)玻璃的彎曲剛度值較接近，安裝擋風(fēng)玻璃后白車身彎曲剛度提升幅度不超過5%。說明擋風(fēng)玻璃對(duì)商用車白車身彎曲剛度的貢獻(xiàn)較小，是否安裝擋風(fēng)玻璃對(duì)白車身彎曲剛度幾乎無影響。

4 結(jié)語

本文從約束方式和擋風(fēng)玻璃兩個(gè)方面對(duì)商用車白車身剛度的影響進(jìn)行了研究，并進(jìn)行大量的試驗(yàn)。從試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果可知：

（1）約束方式對(duì)商用車白車身扭轉(zhuǎn)剛度和彎曲剛度基本無影響，剛度偏差值保持在5%以內(nèi)。在進(jìn)行剛度試驗(yàn)時(shí)，為方便與CAE對(duì)比和固化試驗(yàn)方法，通常選取對(duì)角約東方式。

（2）擋風(fēng)玻璃對(duì)商用車白車身扭轉(zhuǎn)剛度貢獻(xiàn)大，剛度提升幅度可高達(dá)111%;擋風(fēng)玻璃對(duì)商用車白車身彎曲剛度貢獻(xiàn)較小，剛度提升幅度不超過5%，認(rèn)為擋風(fēng)玻璃對(duì)商用車白車身彎曲剛度幾乎無影響。

本文得出的結(jié)論在一定程度上能夠指導(dǎo)白車身剛度試驗(yàn)和修正白車身設(shè)計(jì)，但因?qū)Π总嚿韯偠扔绊懸蛩乜紤]有限，在后續(xù)的研究中應(yīng)多考慮一些因素，更加全面的對(duì)白車身剛度影響因素進(jìn)行研究分析。

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