一類二元二次不等式問題及其解法的本質探析

張海明

摘? 要：在高中階段處理數學問題時會經常碰到二元二次方程約束下的不等式這類問題。處理這種問題常常用到數形結合的思想，因此解決這類問題應該從兩方面入手。從數的視角看，通常可以通過消元或者換元轉化為單變量函數，或者利用均值不等式實現二元二次與二元一次之間的轉換;從形的視角看，通常可以轉化為定點或者定直線到圓錐曲線上動點的距離的最大值與最小值問題。本文僅從一個典型問題出發，探析解決此類問題及其解法的本質。

關鍵詞：二元二次不等式;問題;解法

一、問題呈現

例題1x2-y2-2x+2y-1=0，求證x2+y2>0.25。

這道題雖然看起來形式復雜，但經過恒等變形，可以將陌生的形式變成我們所熟悉的公式。我們可以通過消元，減少未知數的個數簡化式子，降低試題難度;也可以將公式與圖形相結合，通過圖形的形式將問題簡化。

二、解法探析

思路1：從數的角度看，通過式子恒等變形，將式子中的未知數用三角代數轉化，可以減少未知數的個數，將二元化為一元進行解答。令x=1/cosa，y=tana，那么x2+y2=（1+sin2a）/cos2a。分子為1+sin2a>0，分母也為大于的正數。x2+y2-1=2tan2a>o，經過恒等變形，不等式得證。

思路2：從圖形的角度看，這個問題可以轉化成雙曲線與圓是否相離。x2-y2-2x+2y-1=0的所表示的幾何圖形為雙曲線，x2+y2>0。25為半徑為0.5的圓。將兩個圖象畫在同一個圖中可以看出雙曲線的圖象與圓的最小距離大于零。通過觀察可以迅速得出結論x2+y2>0.25。這兩個轉化的實質是化高次問題為低次問題。

三、反思感悟

通過學習數學，我們可以看出發現問題比解決問題更重要，通過對所學知識的總結，可以及一反三，成倍提高學習效率。很多同學在高中數學的學習中沒有對做題形成正確的認識，采用題海戰術，而且很同學只針對自己會的內容反復練習，對不會的地方卻不會下同樣的精力，這樣做題只能鞏固會的知識，卻不能查缺補漏，系統地整理知識框架。而且題海戰術非常辛苦，不僅需要學生消耗大量的時間和精力，如果缺乏正確的方法指導，學生很容易對數學形成厭倦感，失去對學習數學的興趣，不利于提高數學綜合素質。因此，學習數學要針對自己不會的內容苦下功夫，挖掘題目的本質，這樣才能達到舉一反三的效果，學習起來既有動力又有效率。

1.由表及里，追尋問題及其解法的本質

數學題的量很大，而且有很強的靈活性，如果只是機械地做題，而沒有對題目背后所隱藏的知識點進行挖掘和整合，不但不容易把握數學題目的本質，而且會沉浸在數學的形式之中無法自拔。就如上述例題一樣，如果可以看出題目的本質就是在幾何圖形的引導下將二元二次消元、降階轉化成我們所擅長的一元函數，那么問題就會迎刃而解。可以看出，對本質的把握才是提高解題速度，保證做題質量的關鍵。

如例題：一個以（1，2）為圓心，半徑為2的圓與y軸在第二象限的部分所圍成的面積為S，若直線y=2x+b與圓相交且與圓圍成的面積也是S，求b的具體數值。

分析：該題簡明扼要，將直線與圓的位置關系表達得較為清楚，但很對同學卻對此無從下手，有的計算S的面積，有的講方程聯立，既不能快速解題，又浪費了很多時間計算。但本題考查的數形結合的能力，如果清楚只要保證圓心到直線的距離相等，圓與直線所圍成的面積就是相等的，題目就得到了解答。

解法：要使y=2x+b與圓的圍成面積為S，只要使圓心（1，2）到直線y=2x+b的距離為圓心到y軸的距離，由題容易知道圓心到y軸的距離為1，點到直線的公式為：d=（AX0+BAY0+C）/（A2+B2）0.5。將直線y=2x+b通過恒等變形為2x+b-y=0，其中A=2，B=-1，C=b。（1，2）點即為（XO，YO）點，代入公式得（2*1-1*2+b）/（12+12）0.5=1。得出b=20.5。

2.格物致知，形成解題策略

學習數學講解穩扎穩打，切忌心浮氣躁，學習數學是一個循序漸進的過程。要想培養出出色的數學能力，必須夯實數學基礎，在了解基本原理的基礎上發散，領略數學魅力。解題的過程也因該遵循這個原則，首先要對所做的題目有較深的記憶，因為記憶是理解的基礎，而且有利于將知識整合在一起;在對題目熟練掌握的基礎上可以將所學知識變形達到對質的掌握。最后根據所學知識，總結屬于自己的一套解題方法。

3.闡幽明微，啟迪數學機智

解題的過程是將自己所學知識運用到實踐之中的過程，這個過程需要學生對題目有一個整體把握，需要學生明白題目所考的方向是什么;怎樣將復雜的問題分解成熟知的部分，在理性思維的指引下逐漸接近正確答案。數學問題繁多，機械做題并不可取，只有對數學問題的本質進行把握，達到做一道題會一類題的效果，才能化繁為簡，體驗學習樂趣。正如上述例題，將形式較為復雜的題型經過轉化為我們熟悉的問題，也可以從圖形的角度打開思路，根據題意，對解法進行探析。在對方法的靈活運用的基礎上，加強做題力度，才是提高做題能力的正解。

參考文獻

[1]祝敏芝.一類二元二次不等式問題及其解法的本質探析[J].中學數學教學參考，2018（Z1）：50-52.