知識承載素養，運算指向化歸

邢成云

摘要：用課程意識思考課堂，可以讓數學教學不再是碎片，而是渾然一體的集成塊。“一元一次方程的解法”的教學不可能一步一步地“套”，而會去通盤考慮朝向目標的化解之旅，在一元一次方程的解法（數學運算）中滲透所承載的簡化意識、轉化思想。具體地，可以設計“開放問題”“挑戰任務”“練中感悟”“慧眼識誤”等環節。由此得到教學啟示：因需開啟思路;化歸貫穿始終;技中蘊能，相諧思維;知識產生力量。

關鍵詞：課程意識一元一次方程的解法化歸思想

一、教學前思

用課程意識思考課堂，可以讓數學教學不再是碎片，而是渾然一體的集成塊。何為用課程意識思考課堂？章建躍博士給出了最通俗的闡釋：（1）我教的是一門怎樣的課？（2）它能發揮怎樣的育人功能？在學生發展中所起的不可替代的作用是什么？（3）如何教這門課？應采取怎樣的教學策略？（4）這樣教在多大程度上實現了它的育人功能？

若用這樣的自問去思考“一元一次方程的解法”的教學，就不可能一步一步地“套”，而會去通盤考慮朝向目標的化解之旅，并且途徑應然不一，思路或可多條，歷程中充滿著探索的印跡。

（一）“一元一次方程的解法”該教什么？

張奠宙先生說過：教什么永遠比怎樣教更重要。那“一元一次方程的解法”該教什么？要回答這個問題，筆者認為，首先要有一個課堂的價值定位，其落實的載體要歸于課型：是技能課、方法課，還是其他類型的課？首先，它應該是知識的教學，這是根基。不過，我們要樹立正確的知識觀，這里的知識指的是全面的知識——顯性和隱性的結合，包含了具體知識所承載的思想方法、理性精神以及來龍去脈、思考方式等。進一步說，教知識就是要培好根、固好元，否則不會有認知結構的形成，自然就沒有認知結構的完善，那數學素養的培養豈不成了無本之木、無源之水？基于以上認識，教的內容便落地了：一元一次方程的解法（數學運算）以及它所承載的簡化意識、轉化思想。

（二）它能發揮怎樣的育人功能？

簡化與轉化均是育人的朝向，是數學知識所承載的數學素養。其中還有模型思想：求解就是朝向“x=a”的模型建構。

（三）如何教這節課？應采取怎樣的教學策略？

開放學生的思維，給時空讓學生先獨立思考，再小組交流，最后全班交流，歸納沉淀，形成解方程的基本思路。

（四）這樣教在多大程度上實現了它的育人功能？

這樣教規避了循規蹈矩式的亦步亦趨，讓價值更豐滿，在獲得解方程技能的同時，滲透了數學的求簡意識、化歸意識，指向了數學運算，朝向了核心素養，落實了育人功能。

二、教學設計

基于上述思考，筆者把“一元一次方程的解法”的6個課時（從移項、合并同類項、去括號到較復雜的去分母）整合成3個課時：第一課時為新授教學，第二、三課時是不同層級的習題演練課（鞏固本節所學，熟練運算技能，提升運算能力）。第一課時教學環節如下：

（一）開放問題

問題請你寫出一個簡單的一元一次方程并寫出它的解。

預設教學程序：

層級1：學生寫出x+1=2，2x-1=3等方程。求解完成后，教師追問：你是如何思考（想）的？為什么這樣思考（想）？

層級2：學生沒有寫出2x+1=4x-3這類等號兩邊均有未知數的方程。教師直接出示這個方程，提出問題：你會解這個方程嗎？你是如何思考（想）的？為什么這樣思考（想）？

[設計意圖：本環節意在溫故與喚醒，通過與目標比對，指向“x=a”，沿著“確定目標→發現差異→分析差異→消除差異”的思維脈絡，引導學生實現已知與未知的分離，將移向、合并同類項嵌入其中，滲透轉化思想，為后續學習奠基。]

（二）挑戰任務

例題嘗試解方程 x-14-1=2x+16。

預設教學程序：

步驟1：獨立嘗試。學生嘗試解此方程。教師巡視，重點幫助“學困生”點撥思路。

步驟2：匯報交流。學生展示解題過程。教師適時追問：（1）求解的每一步進行了怎樣的變形？變形的依據是什么？（目的是歸納解方程的一般步驟，理解每一步的運算依據）（2）你是怎么想到這樣做的（或為什么要這樣做）？（目的是落實遷移：解方程的最終目標是得到“x=a”的形式，要緊盯目標實施變形）

步驟3：回顧反思。教師追問：整個解方程的過程體現了什么思維策略和數學思想？（目的是著眼于總體的趨簡策略，根植落實好化歸的思想方法）

預設解題引領：

通過與環節1中簡單方程的比對，發現差異：外形復雜了，干擾因素多了。順勢提出問題：面對這樣的現狀，根據以前的經驗，我們一般會怎樣思考？有了教師的“遙指”，學生不難想到指向目標一步步消除差異。

第一個突出的差異是“含分母”。根據前面學過的等式性質，學生能夠利用“兩邊同時乘以同一個數，等號不變”，從嘗試中發現找分母的最小公倍數，可一次性去分母，得到3（x-1）-12=2（2x+1）。至此，或有錯誤出現：括號外的數漏乘括號里后面的項，而成為3x-1-12=4x+1;最小公倍數漏乘不含分母的項，而成為3x-1-1=4x+1或3（x-1）-1=2（2x+1），等等。如此，以錯引思的教學契機來了。可以通過追問，讓學生自我發現、糾錯;再通過跟進講解，引起學生的關注、警惕。

第二個突出的差異是“有括號”。接下來的任務自然是去括號。這已經不成問題（在前面《整式的加減》一章中已經解決）。若仍有各類錯誤，還是通過反問、追問等手段，進一步澄清，讓“誤區”成為“悟區”。

如此，復雜的問題變成了類似環節1中簡單的問題，轉化大功告成。

（三）練中感悟

（四）慧眼識誤

[設計意圖：為使問題討論更全面，特設反例引起學生的警覺，用來幫助學生進一步感悟轉化思想，感知去分母的目的性，完善去分母的方法，并且沉淀如下解方程的注意事項：①不漏乘不含分母的項;②分數線有括號的作用，分子是多項式時，去分母后，要用括號把分子括起來參與運算;③系數化1時，要弄清分子與分母的真實身份（容易顛倒分子、分母）。]

三、教學反思

（一）因需開啟思路

教材上給定了一元一次方程的求解思路：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數化1。解方程有法可依，但并非圭臬，若機械套用，就固化了學生的化歸思維，容易使思考淪為“死循環”的程序。因此，把化歸意識很強的解方程運算，降格為套用固有步驟的程序運算，是數學教育的“低矮化”。基于這樣的思考，上述教學設計首先利用一個開放性問題，喚醒學生的目標意識，接著給出一個挑戰性任務，誘動學生自己找想法，而不是搭小臺階，步步為營地碎步前進。其間的探索關隘疊嶂，由于前有目標的導引，后有教師的跟進，不難出現循階而上的行為。如此組織教學，讓學習因需而生、因用而生、因矛盾而生，整個歷程就變得順其自然了。

（二）化歸貫穿始終

化歸是數學家們最為重視的數學思想方法之一，因為在解決問題的過程中，數學家們往往不是直接對問題展開攻擊，而是對問題進行變形、轉化，直至化歸為某個已經解決或容易解決的問題。史寧中教授指出：“在中小學數學中，三元一次方程可以化歸為二元一次方程，二元一次方程可以化歸為一元一次方程，一元一次方程最終化歸為x=a的形式。”可見，在初中階段的方程教學中，化歸思想是核心的、本質的東西。解方程的過程就是不斷化歸的過程：化繁為簡，指向最簡形式“x=a”。化歸觀念（意識）是解方程過程中，思維活動的主導觀念（意識）。化歸需要目標（方向），然后才是方法（途徑）的探尋，最簡方程就是解方程中變形的目標;有了目標意識，剩下的事就是消除差異、趨向目標。

（三）技中蘊能，相諧思維

在解較復雜的一元一次方程的教學中，教師通常通過例題總結出解一元一次方程的五大步驟，然后通過大量的練習讓學生按照這些步驟亦步亦趨地解方程。這樣的教學可以達到讓學生熟練地解方程的目的，但是往往強化了程序性、機械性的練習，讓學生不假思索地套用，不明算理地搬用，忽略了學生思維能力的培養。對此，上述教學設計的重點，是讓學生理解方程解法的自然由來，體會目標意識和化歸思想的應用，將其沉淀下來、扎下根來，從而在后續學習中遇到相關問題、情境，如解其他類型的方程（組）及不等式（組）時能夠順利地遷移應用。授思維之道，價值不菲也！ 本節課的重心就是知法明道。至于解方程的熟練程度，則是下一節課的核心任務了。

（四）知識產生力量

“一元一次方程的解法”這部分內容，從知識的分類來看，屬于程序性知識，是一種智慧技能，其掌握的關鍵是對操作方法及步驟的熟練。這一點任何時候都是不可小視的。因為知識教學（傳授）是奠基工程、教育常識，是學校的基本功能、教師的神圣職責。人類要進步、發展，需要優秀“基因”的延續，即需要人類創造的文化知識的代代傳承、生生不息。知識與能力是不可分割的統一體，離開了知識的積淀，何以有能力的發展？我們不能把知識傳承與能力發展對立起來，輕視知識，倚重能力。當然，這里的知識不是窄化的狹義知識，而是顯性知識與緘默知識的統一體，不僅包括表層的符號形式和中層的邏輯形式，而且包括內隱于符號形式和邏輯形式背后的本質、規律和思想等深層次的意義。

此即為：咬定知識不放松，立根原在思想中;化歸意識要樹立，方法技能不可輕。

*本文系山東省社科聯人文社會科學課題（基礎教育專項）“‘快慢相宜的整體化教學模式之延伸研究”（編號：16-ZX-JC-37）的研究成果。

參考文獻：

[1] 章建躍.樹立課程意識 落實核心素養[J].數學通報，2016（5）.

[2] 陳棉駒，董磊.在方程知識中實施數學思想方法教學的思考——以“一元一次方程”為例[J].中學數學教學參考（中旬），2019（3）.

[3] 王秀彩.目標導向，差異分析——數學解題的有效策略[J].教育研究與評論（中學教育教學），2017（12）.