例談用“退”的思想設計解題教學

肖文軍

【摘要】：“問題”是數學教學的心臟。解題教學是數學教學的核心之一，是落實新課程標準的顯性標志，如何提高學生解題能力是數學課堂的主要任務。本文通過具體課例說明如何采用“退”的思想，稚化問題起點，通過逐步“疊加”的方式體現數學之間的內在聯系，點燃學生思維的火花，激發求知欲，提高解題能力，使得數學解題教學扎實高效。

【關鍵詞】：問題設計 “退”的思想

一、從復雜問題“退”到簡單問題

復雜問題有時是簡單問題的疊加，即條件不斷增加構成，我反其道行之，將問題“退”到比較容易入手的問題進行分析，再逐步向復雜問題過渡。

本學期，我上八年級，教《一次函數》這個章節時，一次備課，我做題、選題時發現了這樣一個問題：

問題呈現（2014四川內江）如圖，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x軸上的點，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分別過點A1、A2、A3、…、An、An+1作x軸的垂線交直線y=2x于點B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，連接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于點P1、P2、P3、…、Pn.△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面積依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則Sn為__________.

問題分析：這是2014年四川內江中考題選擇題的壓軸題，圖形復雜，計算量大，如果直接給學生做，以我校學生的基礎和能力，能把題目看懂都很不錯了。我考慮到這是一次函數與面積的綜合題，解題思路和方法使用比較多，于是按照由復雜“退”到簡單的思想，進行了如下教學設計：

1、如圖1，在平面直角坐標系中，點A1在x軸上，OA1 =1，過A1

作x軸的垂線交直線y=2x于點B1，求△A1B1O的面積。

2、如圖2，在平面直角坐標系中，點A1在x軸上，OA1= A1A2=1，分別過點A1、A2作x軸的垂線交直線y=2x于點B1、B2，連接A1B2、B1A2相交于點P1，求（1）點P1的坐標，（2）求△A1B1P1的面積？

設計說明：先將圖形變為最基本的Rt△A1B1O的面積，將n個點變為1個點，將問題“退”到最起點（如圖1）。在圖1在基礎上，疊加新的條件，逐步向要達成的目標過渡，為了更準確的提示學生，特別加上了求點P1的坐標這一個小問，使得問題再次被“退”到更底的臺階。

教后反思：學生在經歷了1、2兩個小題的探究學習后，學會了解決問題的方法。達到了克服難題恐懼心理的情感目標，可以讓更多的學生收獲成就感，為促進學生的進一步發展奠定了基礎。

二、 從一般位置“退”到特殊位置

特殊圖形具有特殊的數量關系和位置關系，在解決有關動點的問題時，經常需要從特殊圖形入手，利用特殊圖形蘊含的數量關系和位置關系去尋找解題的思路與方法。

問題呈現：如圖3，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點P是邊AD上的一個動點，過點P分別向對角線AC，BD作垂線，垂足分別為E、F.求PE+PF的值.

問題分析：從結論分析，這是要求點到直線的距離的和的問題，點P的位置又不是特殊的位置，學生很難直接求解。但考慮到P是動點，所以可以將點P的位置特殊化。于是按照由一般“退”到特殊的思想，進行了如下教學設計：

1、如圖4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，過點D向對角線AC，BD作垂線，垂足為G.求DG的值.

設計說明：將點P的位置“退”矩形ABCD的頂點D后，問題由兩條線段的和“退”為一條線段的長，解題方法也凸顯——等積法。為我們找到一般解法提供了思路，即在圖3中連接P和對角線的交點O。

課堂收獲：學生在經歷了矩形中的問題后，化“退”為“進”提出了這樣的新問題：

問題1、如圖5，在□ABCD中，對角線AC⊥AB，AB=3，AD=4，點P是邊AD上的一個動點，過點P分別向對角線AC，BD作垂線，垂足分別為E、F.求PE+PF的值.

問題2、如圖6，在菱形ABCD中，∠ABC=60°， AD=4，點P是邊AD上的一個動點，過點P分別向對角線AC，BD作垂線，垂足分別為E、F.求PE+PF的值.

正方形、梯形呢？還有類似的圖形、結論、解法嗎？留給學生課后繼續拓展。

教后反思：我們將問題“退”到最基本圖形、最核心的方法后，學生不僅收獲了這個題目的解法，還創造性的提出了這個問題在特殊四邊形的系列化問題，產生一個個既類似又有區別的問題，將之作為師生講練的載體和思維雙向交流、演繹的基礎，通過這一“退”，即復習了知識點又提高了學生的思維能力。

三、用“退”的思想設計解題教學的感悟

1、積累解題方法

“退”的思想，是一種思考解題教學設計的方法，什么樣的問題值得“退”。“退”到什么程度，能否體現方法。是否具有推廣意義。都是今后在教學實踐中值得繼續思考的問題。像問題2這樣，一種方法解決多個類似圖形的問題，這樣可以有效構建知識之間的體系，將特殊四邊形，等積法，勾股定理等知識一次性復習到位，提升了解題教學的效能。

2、避免題海戰術

避免題海戰術的最好方法就是進行問題串設計：我在執教八年級一次函數一節時，上了一節《一次函數與三角形面積》的公開課。