整體設計：為不教而教

潘海波

人民教育出版社中學數學研究室的章建躍博士認為：數學整體觀就是“從整體出發，逐漸分化”，他指出，教學中可以引導學生“從宏觀到微觀，逐步尋找知識發展所需要的邏輯基礎，然后按知識的邏輯順序逐步展開學習?！笔艽藛l，筆者結合最近執教的“銳角三角函數”（第1課時），從數學整體觀上反思這節課，以期提升自我。

一、“銳角三角函數（1）”教學課例

（一）教學設計流程

1、情境引入

展示直角三角形，提出問題：你已經懂得了直角三角形的那些性質？你是從哪些角度來歸納的？

預設意圖：引導學生思考回顧，并為知識的整體建構做準備。

2、新知探究

（1）明確研究對象與任務，整體感知邊角關系研究的各種情況：

對邊/鄰邊，鄰邊/對邊，對邊/斜邊，斜邊/對邊，鄰邊/斜邊，斜邊/鄰邊。

（2）選擇一種情況重點研究（對邊/鄰邊），由特殊引發猜想，并進行證明。

（3）抽象命名，揭示課題。

預設意圖：引導學生通過整體感知直角三角形邊角關系研究的各種情況，明確研究問題的方向和方法;通過“由特殊引發猜想，并進行證明”的過程經歷，進步一步深化學生探究數學問題的一般思路和策略。

3、成果擴大

（1）給出正切的定義與符號表示。

（2）舉例、驗證、歸納正切的有關性質。

預設意圖：引導學生準確表述正切的定義，發展學生數學語言規范表達的能力;探究性質時，在學生舉例的基礎上，進行嚴格的推理證明，讓學生的概念學習因過程經歷而體驗豐富。

4、小結延伸

（1）小結學習正切的方法;

（2）把“鄰邊/對邊”稱為余切，自己學習余切，小組交流，全班匯報。

預設意圖：基于這種“生長式”小結，進一步梳理正切的學習方法，并發展學生遷移、類比的數學學習能力，引導學生課后自己學習其它銳角三角函數。

（二）教學片斷展示

片段1：開課階段

教師：這節課我們來研究直角三角形的邊角關系。想研究邊角關系，首先要確定一個角，再研究其它兩邊的關系。前面研究過任意兩邊的和、差關系，接下來該研究什么關系呢？

學生1：積、商關系。

教師（追問）：你已經知道那兩條邊的乘積關系了？

學生1：直角三角形的面積等于兩條直角邊乘積的一半！

教師：很好！這就是直角三角形的邊的積（重音表達）的關系！

教師：我們有沒有學過邊的商的關系？

眾生：沒有。

教師：兩邊之商就是兩條邊相除，也叫兩邊之比。你們認為存在哪幾種兩邊之比的關系？

學生2：……

（學生2站在位置上，卻又表達不方便，教師察覺）

教師：你上去演示一下。

學生2：這條邊比這條邊，這條邊比這條邊，……（顯得表達較為啰嗦）

教師：為了方便表達，我們確定∠A，BC叫做∠A的對邊，AC叫做∠A的鄰邊，AB則稱斜邊。（同時在圖中標出）。請你再說一遍！

學生2：對邊/鄰邊，對邊/斜邊，鄰邊/斜邊。

教師：（板書）其他同學有沒有補充？

學生3：老師還有，鄰邊/對邊，斜邊/對邊，斜邊/鄰邊。

教師：正確！（繼續板書）

教師：我們研究這些比，是否要6種比逐個研究？

能否減少點？最少要研究幾種比？

學生4：最少研究3種！

教師（追問）：為什么？

學生4：它們中有些互為倒數！

……

片段2：課堂小結

教師：今天我們學習了正切，我們從哪幾個方面來展開學習的？

學生1：（讀板書）定義、表示、求法、性質。

教師：余下5種比中，哪種最容易了？

眾生：鄰邊/對邊。

教師：如果我們把這組比稱為余切，現在請大家小組學習余切的知識，待會進行全班交流！

（學生分組學習，氣氛熱烈。）

教師（巡視后）：學習中要不要老師幫忙？

眾生：余切怎么表示？

教師（板書cot）：讀作……

（學生繼續分組學習，氣氛更加熱烈。）

大約5分鐘后，全班交流。

教師：現在各小組交流學習成果。

小組1：我們很快得出了定義……、表示……、求法……，性質①cotA·cotB=1，②cot隨著的增大而減小。

教師：你們小組學習很認真！非常好！其他組有沒有補充？

小組2：性質加一條：tanA·cotA=1.

教師：正確！（追問）怎么證明？

小組2：……

教師：課后請大家繼續研究剩下4種比中的2種，“對邊/斜邊，鄰邊/斜邊”下節課我們交流！

二、從整體觀看數學課堂

葉瀾教授領銜的“新基礎教育”認為：“教學活動的組織與開展要關注整體策劃與綜合設計。”本課例正是“新基礎教育”的概念課型，下面圍繞數學整體觀給出相關解讀和思考。

1、基于數學現實，巧妙構建知識框架

本課教學內容，教材上是從樓梯的陡峭程度切入的，當前絕大部分教師的公開課上，也都喜歡使用或借鑒這樣的生活情境作為課堂導入。在備課時，筆者也做了思考，是否真的需要生活情境？其意義又何在？我認為，情境可以是實際生活情境，也可以是學生已有的數學知識情境（簡稱“數學現實”），在本節課中，通過對直角三角形已有性質的回顧，巧妙地構建了直角三角形的知識框架，即研究直角三角形，不僅要研究邊的關系和角的關系，還要研究它的邊角關系，是學生瞬間就清晰了知識脈絡和研究內容，這樣的數學現實情境為何不用呢！

2、實現整體感知，先見森林后見樹木

銳角三角函數是這個角的正切、正弦、余弦的總稱。教材對這一內容的安排是，第一課時教學正切的概念，第二課時教學正弦、余弦的概念。這樣編排的教學容易出現“只見樹木，不見森林”的現象，導致學生對銳角三角函數的認識割裂。因此我在教學時，引導學生明確在一個銳角大小確定的前提下，研究直角三角形任何兩邊的長度的比值，整體感知各種情況，進而選擇其中一種情況進行重點研究，就好比是帶領學生郊游，先看到大片的森林，再走進森林，去觸摸一棵棵的樹木。這樣處理的目的在于使學生在整體認識的基礎上進行主動的和進入有意義的學習過程。

3、注重前后關聯，先教結構后用結構

關于怎樣上好一堂課，著名特級教師于漪老師曾提出要善于“聯系、擴展，增添感情濃度，形成余音繚繞”。本課案例主要教學了“正切”的內容，但教師在課堂小結時，巧妙地利用了“知識之間是相互聯系的”這一特點，給出“小組學習余切”的任務，這不僅是對“正切”知識的回顧，更是對“銳角三角函數”學習方法的深化。然而課堂并沒有就此罷休，教師在全班交流“余切”知識后，進一步提出課后自主研究其它兩組三角函數，這種極具 “生長力”的課堂小結，就有一種“余音繚繞”之感。當學生繼續學習其它三角函數時，就會發現今天的“正切”知識結構可以遷移使用至其它各種三角函數。