一類壓縮型映射的不動點定理

李新宇 王藝

摘要：在完備的b-度量空間中，利用Picard迭代的方法，證明了一類特殊的壓縮型映射不動點的存在性和唯一性。

關鍵詞： b-度量空間;不動點;壓縮映射

1.引言

不動點理論是非線性分析發展的重要課題之一，1922年，Banach在完備的度量空間中證明了著名的Banach壓縮映像原理。其后，關于不動點理論的研究集中在完備的度量空間中。1993年，Banach[1]和Czerwik[2]提出b-度量空間的概念，并在此空間證明了壓縮映射存在著唯一不動點。1993年，Vasile[3]推廣了Banach和Czerwik的結果，證明了在完備的度量空間中一類壓縮型映射的不動點唯一。2013年，Mehmet和Hiikmi[4]研究了Kannan[5]型和Chatlerjea[6]型壓縮映射的不動點問題。在完備的b-度量空間中，利用Picard迭代的方法，證明了一類特殊的壓縮型映射不動點的存在性和唯一性。

2.預備知識

定義2.1[4]設X是一個非空集合，映射X×X→R+，對滿足：

① ② ③

則（x，d）是一個b-度量空間。

定義2.2[4]設（X，d）是一個b-度量空間，X上的序列{xn}叫柯西序列，當且僅當如果對任意，存在N，對任意，有.若柯西序列收斂，則b-度量空間完備。

定義2.3[4] 設E是一個任意集合，T∶E→是一個自映射。對任意的，序列，，，稱為從初始值x0開始的Picard迭代序列。

3.b-度量空間中的不動點定理

定理3.1 設（X，d）是一個系數s≥1的完備的b-度量空間， T是X的自映射，滿足

其中h∈（0，1）的常數，hs∈（0，1），則存在唯一的一點x*，使得。

證明 令x0∈X且定義為X中的序列，滿足，

由T可得，使

由于h∈（0，1），顯然上式中最大值為d（x0，x1），所以

同理得。下證為柯西序列，令m>n>0，則

當n，m趨近于∞時，xn與xm之間的距離趨近于零，故該序列為柯西列。

設次序列收斂于.下證x*為T的不動點

若上式中最大值為則

由序列收斂于x*，所以x*與xn+1之間的距離趨近于零。又，故x*與Tx*之間的距離趨近于零，即Tx*=x*

若最大值d（x*，Tx*）為則

即Tx*=x*，所以x*是T的一個不動點。

設x'是另一個不動點，即Tx'=x'. 由不等式（3.1）

所以x*=x'，即x*為唯一的不動點.

參考文獻：

[1] Bakhtin， I.A.The contraction mapping principle in quasimetric spaces. Funct.Anal. Unianowsk Gos. Ped. Inst. 30，26- 37 （1989）.

[2] Czerwik，S. Contraction mappings in b-metric spaces.Acta Mathematica Et Informatica Universitatis Ostraviensis 1，5-11 （1993）.

[3]Vasile I. Istratescu，Fixed Point Theory，An Introduction， D.Reidel，the Netherlands （1981）.

[4]Mehmet，Hükmi.On Some Well Known Fixed Point Theorems in b-Metric Spaces[J]. Turkey，2013.13-16.

[5]Kannan，R. Some results on fixed points.Bull. Calcutta Math.Soc.60， 1968.71-76.

[6]Chatterjea， S. K. Fixed point theorems，C.R. Acad. Bulgare Sci. 25，1972. 727-730.

[7]張石生.不動點理論及其應用[M].重慶：重慶出版社.1984.8-50.