概率動態認知邏輯綜述

張志金

摘要：認知邏輯首先是由欣提卡提出的，他的目的是為了用邏輯的方法來刻畫知識與信念，并建立相應的形式系統，它可以用來處理主體關于當前世界的信息狀態，也可以處理主體關于當前世界信息的信息，即所謂的高階信息，但這種邏輯是一種靜態的邏輯，它無法處理信息之間的流動與交互，因此基于認知邏輯，引入更新算子，即發展為動態認知邏輯，它是認知邏輯的簡單擴充，通過動態算子，主體間的信息交互便可以得到精確地刻畫，它的作用機制就是通過一個公式，達到對當前信息狀態的更新，從一個舊的世界模型過渡到一個新的世界模型，但它處理的信息都是確定的，現實中充滿了不確定性，為了更好地處理這種不確定性，借鑒概率論這一有力的工具，通過引入概率算子，發展為概率認知邏輯，并將其與動態認知邏輯相結合，即得到所謂的概率動態認知邏輯，既可以用來處理信息的發展變化，又可以處理信息的隨機性與不確定性。

關鍵詞：概率;更新;動態認知邏輯

1.引言

認知邏輯開始于Hintikka，他的主要目的是為了概念性地分析知識和信念。認知邏輯特別地用來處理給定當前的信息，一個主體認為什么是可能的，這種信息也包含關于其他主體所具有的信息的信息，從這種意義上來說，認知邏輯也可以處理高階信息，即關于信息的信息。盡管認知邏輯提供了一種處理高階信息的方法，但信息變化卻不在它研究的范圍之內。動態認知邏輯是基于認知邏輯的擴張，并且可以處理信息變化，一方面受到自然語言語義的啟發，句子的意義被看做是一種改變聽話者信息的方式，另一方面是受到博弈理論的啟發，信息交換發生并且高階信息扮演一種重要角色。

2.動態認知邏輯的產生與發展

信息是用來交流的，因此知識和信念不是靜態的，許多邏輯學家都注意到了這點，在認知邏輯語境下，動態認知邏輯是基于認知邏輯的擴張，其中動態算子可以使我們形式化地推理關于信息的變化。它的產生來自于形式語言學、計算機科學和哲學邏輯等學科的發展。

動態認知邏輯研究的信息變化不同于科學哲學中的劇烈的信息變化，在那里整個理論被替代，也不同于信念修正中的信息變化，在那里主體認為不可能的事情卻發生了，世界觀也由此而徹底改變，動態認知邏輯關注的是日常的平靜的信息變化，類似于概率論和博弈論中信息變化，以一種零散的方式處理碎片化的信息。

在動態認知邏輯中，引入新的信息稱之為更新，一個簡單的例子是一個主體學到了某個特定的句子成立，更新這個句子指的是主體認為這個句子不成立的狀態被移除，從而產生一個新的狀態的集合。更新的方式不限于句子，還可以由其他更復雜的更新方式。

動態認知邏輯的發展部分地受到Groenendijk和Stokhof在語言哲學和語言語義學方面關于信息變化的動態解釋語義工作的啟發。另一個導致動態認知邏輯的發展是動態模態邏輯，它包含形如[π]φ的公式，讀作“成功地執行一個程序π，到達一個φ可滿足的狀態”，它同時還包含認知算子，用來推理信息及其變化。

進一步的啟發來自于信念修正，這是哲學邏輯的一個分支，用來處理信念方面的變化，但修正與更新在處理問題方面是有不同的，一個側重于信念，一個關注于信息的事實的變化。

動態邏輯認知化的第一步是有van Benthem 作出的，他建議用動態模態邏輯來刻畫信息變化，使用動態算子表述事實的改變，即把變量看作命題變量。

認知邏輯動態化的第一步是由Plaza作出的，獨立地，Gerbrandy 和Groeneved得到了同樣的結果。Plaza為公開宣告定義了一個邏輯，他的算子不是一個動態模態算子，而是一個二元的命題連接詞。Gerbrandy 和Groeneved的文章被認為是公開宣告邏輯的更新語義歷史的基石。

進一步的發展是刻畫比公開宣告更復雜的行為，例如紙牌游戲中的行為，不同的主體對于某個行動會有不同的觀點，即某個主體可以看到某個行動在進行而其他主體卻知道到底發生了什么。

最近的發展包括將事實的變化引入到表達認知變化的語言中，使用動態模態算子刻畫基于偏好的信念修正，以及其他將動態認知邏輯與AI語義結合起來刻畫行動以及行動的變化的許多不同的方案。

3.概率與認知邏輯的結合

概率論是一門發展的很充分的學科，在概率哲學中，對客觀概率和主觀概率做出了區分，或者說統計概率和命題概率，一個統計概率陳述是關于具有某種性質的個體的比值，一個命題概率陳述表達的是某個個體具有某種性質的概率。從可能世界語義的觀點來看，一個統計概率是一個可能世界的一種性質，具有某種性質的個體的比值是或者不是一個特定的實數，在這種意義上一個統計概率是物理現實的一部分。另一方面，命題概率似乎是一個涉及多個可能世界的模態概念。如果一個個體在不同的可能世界中具有不同的性質，則他具有某有性質的概率是他在具有這種性質的可能世界的集合的比，在這種意義上命題概率不是物理現實的一部分，如果可能世界之間的可及關系解釋為認知可及，則命題概率表達的是關于命題的信念度。

隨著人工智能的發展和廣泛應用，關于不確定知識的推理日益成為學者們研究的重要課題，為了適應這種需要，Nilson[1]基于經典邏輯的二值語義，將命題的真值推廣到[0，1]區間的任意實數，從而給出了概率的語義解釋。

綜合以上分析可知，概率公式的語義解釋無非就兩種類型，一種是將概率賦值給非空域中的狀態，然后對概率分布進行求和，就得到當前狀態所求事件的概率;另一種是將概率直接賦值給非空域的子集，根據子集的可測與否，又分為兩種不同的情況。無論是哪一種解釋類型，在給出概率公式的語義時，其底部的框架都是標準的克里普克結構，然后直接引入概率空間或概率函數形成新的概率模型。當然這種做法是很自然的。但是也可以基于一般框架而引入概率測度，因為一般框架具有良好的代數性質，其中的可允許賦值集自然的滿足集合運算的封閉性，本質上就是一個σ-代數，由此可以直接引入概率測度而生成一個概率空間，并且直接地可以將概率指派給賦值，即可允許賦值集中的元素，從而自然的給出概率公式的語義解釋。然后利用一般框架所具有的良好性質，進而可以研究邏輯系統的相關性質，例如完全性與可判定性。

參考文獻

[1]Nilsson N J. Probabilistic logic[J]. Artificial Intelligence， 1986， 28（1）：71-87.

[2]Kooi B P. Probabilistic Dynamic Epistemic Logic[J]. Journal of Logic Language & Information， 2003， 12（4）：381-408.

[3]Fetzer J H， Nute D E. Syntax， semantics， and ontology： A probabilistic causal calculus[J]. Synthese， 1979， 40（3）：453-495.

[4]Fagin R， Halpern J Y. Reasoning about Knowledge and Probability[J]. Journal of the Acm， 1994， 41（2）：340--367.

[5]Fagin R， Halpern J Y， Megiddo N. A logic for reasoning about probabilities[M]. Academic Press， Inc. 1990.

[6]Baltag A， Smets S. Probabilistic dynamic belief revision[J]. Synthese， 2008， 165（2）：179.

[7]Halpern J Y， Tuttle M R. Knowledge， probability， and adversaries[J]. Journal of the Acm， 2001， 40（4）：103-118.

[8]Ikodinovi， Neboj， Ognjanovi， et al. Hierarchies of probabilistic logics[J]. International Journal of Approximate Reasoning， 2014， 55（9）：1830-1842.

[9]Cross C B. From worlds to probabilities： A probabilistic semantics for modal logic[J]. Journal of Philosophical Logic， 1993， 22（2）：169-192.

[10]Sack J. Extending probabilistic dynamic epistemic logic[J]. Synthese， 2009， 169（2）：241-257.

[11]Benthem J V， Gerbrandy J， Kooi B. Dynamic Update with Probabilities[J]. Studia Logica An International Journal for Symbolic Logic， 2009， 93（1）：67-96.

[12]Halpern J Y. An analysis of first-order logics of probability [J]. Artificial Intelligence， 1990， 46（3）：311-350.

[13]Demey L. Agreeing to Disagree in Probabilistic Dynamic Epistemic Logic[J]. Synthese， 2014， 191（3）：409-438.

[14]Jaeger M. A Logic For Inductive Probabilistic Reasoning[J]. Synthese， 2005， 144（2）：181-248.

[15]Gerbrandy J， Groeneveld W. Reasoning about Information Change[J]. Journal of Logic Language & Information， 1997， 6（2）：147-169.