高溫作業(yè)專用服裝設(shè)計(jì)

鄭鈺亭 唐祖江

摘 要：本文主要對(duì)高溫作業(yè)下專用服裝設(shè)計(jì)進(jìn)行研究，根據(jù)模擬實(shí)驗(yàn)給出的條件為環(huán)境溫度75℃、Ⅱ?qū)雍穸?mm ，Ⅳ層厚度5mm 、工作時(shí)間為90分鐘，所測(cè)假人皮膚外側(cè)的溫度見附件2。通過建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算專用服裝每層的溫度分布。

首先，以附件2中外層皮膚溫度與時(shí)間的數(shù)據(jù)為依據(jù)，并根據(jù)熱量在相同時(shí)間內(nèi)，熱流速率相等的條件下，物質(zhì)所吸收熱量相等原理，推導(dǎo)出一維熱傳導(dǎo)偏微方程，然后利用逆向思維法即就是以第Ⅳ層為起始點(diǎn)來推導(dǎo)出前三層的溫度分布情況，建立第Ⅰ層、第Ⅱ?qū)印⒌冖髮雍偷冖魧痈髯缘囊痪S熱傳導(dǎo)偏微方程組模型，利用MATLAB 軟件對(duì)模型進(jìn)行求解得出每層的溫度分布情況（見支撐材料中Excel 文件），求出第Ⅰ層與外界環(huán)境交界處的溫度為74.11℃ ，而該溫度與題中環(huán)境溫度75℃ 有一定誤差，誤差率為0.011% 。

關(guān)鍵詞：一維熱傳導(dǎo)偏微方程

一、基本假設(shè)

1.專用服裝的每一層處處都是均勻分布的。

2.專用服裝的每層之間的溫度是連續(xù)的變化不會(huì)發(fā)生突變情況。

3.外界溫度與專用服裝的傳遞過程視為溫度垂直于隔熱服傳遞，即為一維熱傳遞。

二、問題模型建立與求解

2.1問題分析

專用服裝并不是由單一的材料組成而是由三層織物材料構(gòu)成，且在附件2中可知每層材料的密度、厚度、比熱和熱傳導(dǎo)率的數(shù)值。由于環(huán)境溫度大于專用服裝的溫度則會(huì)發(fā)生熱傳導(dǎo)。熱傳導(dǎo)的規(guī)律是從高溫流向低溫，因此環(huán)境溫度中的熱量必然會(huì)流向?qū)Ｓ梅b并依次穿過每層。

為了簡便問題，只考慮熱量垂直穿過服裝。因?yàn)闇囟扰c時(shí)間、位置有關(guān)，由于外層皮膚溫度已知，每層材料的密度、厚度、比熱和熱傳導(dǎo)率已知，利用逆推思想先對(duì)第Ⅳ層建立一維熱傳導(dǎo)偏微方程模型，之后把所求的第Ⅳ層偏微方程作為求第Ⅲ層的偏微方程條件，依此類推，求出第Ⅰ、Ⅱ?qū)拥钠⒎匠獭Ｍㄟ^所求出的一維熱傳導(dǎo)偏微方程計(jì)算出第Ⅰ層的溫度，并把該溫度與溫度 為做比較，最后進(jìn)行誤差分析。

2.2熱方程的推出

首先，假設(shè)所研究的對(duì)象是一根由單一材料組成的細(xì)桿，記桿的任意一點(diǎn)為x，桿的總長記為L，則：0≤x≤L 。t時(shí)刻△V內(nèi)的熱量Q為：△Q=cρu△V

由于溫度u與位置x、時(shí)間t有關(guān)，設(shè)截面積為s，初始位置為a，末位置為b，長度元為△x=b-a，得到熱量的積分式：

因溫度u的熱流速度跟u的長度成反比，與截面積s成正比，所以記 時(shí)刻的位置為a，在t+△t時(shí)刻的位置為b，且a位置的溫度大于b位置的溫度。由此得出熱量的表達(dá)式： ，令 ，根據(jù)微分基本定理可得：

2.3 一維熱傳導(dǎo)偏微方程建立

由于構(gòu)成每一層的織物材料是不相同的，因此每層的屬性不同其吸收的熱量也就不同則隔熱效果就會(huì)有差異。分析可知，環(huán)境溫度中的熱量與專用服裝進(jìn)行熱傳導(dǎo)的過程是大面積的發(fā)生，為了使問題簡單化，把穿過衣服的一條直線作為研究對(duì)象。已知Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的密度、厚度、比熱和熱傳導(dǎo)率，根據(jù)推出的一維熱傳導(dǎo)偏微方程建立第Ⅰ層、第Ⅱ?qū)印⒌冖髮雍偷冖魧拥拿總€(gè)一維熱傳導(dǎo)偏微方程組。

根據(jù)上面的分析，當(dāng)?shù)冖魧优c外層皮膚的交界點(diǎn)溫度趨于穩(wěn)定時(shí)，溫度為48.08℃ 。

k4——第Ⅳ層的導(dǎo)熱系數(shù)與比熱和密度的比值

把第Ⅳ層所求的結(jié)果作為求第Ⅲ層的偏微方程的條件，則可推出第Ⅲ層的偏微方程組，把第層Ⅲ所求的結(jié)果作為求第Ⅱ?qū)拥钠⒎匠痰臈l件，則可以推出第Ⅱ?qū)拥钠⒎匠探M，又把第Ⅱ?qū)铀蟮慕Y(jié)果作為求第Ⅰ層的偏微方程的條件，其中邊界條件為，當(dāng)則l=0時(shí)，t=75℃，則第Ⅰ層的偏微方程組為：

2.4模型求解

經(jīng)過分析，第Ⅰ層與第Ⅱ?qū)咏唤琰c(diǎn)處的溫度，正好是熱量穿過第Ⅰ層末的溫度也是熱量穿過第Ⅱ?qū)映跏紩r(shí)的溫度；第Ⅱ?qū)优c第Ⅲ層交界處的溫度，正好是熱量穿過第Ⅱ?qū)幽┑臏囟纫彩菬崃看┻^第Ⅲ層初始時(shí)的溫度；第Ⅲ層與第Ⅳ層交界處的溫度，正好是熱量穿過第Ⅲ層末的溫度也是熱量穿過第Ⅳ層初始時(shí)的溫度；第Ⅳ層與外層皮膚交界點(diǎn)處的溫度，正好是熱量穿過第Ⅳ層末的溫度也是熱量穿過外層皮膚初始時(shí)的溫度。因此，把每一層的偏微方程進(jìn)行合并，成為一個(gè)偏微分方程組，并把該方程組看成一個(gè)整體求解。求解如下：

1、根據(jù)附件所給出第Ⅰ層、第Ⅱ?qū)印⒌冖髮雍偷冖魧拥拿芏取⒑穸取⒈葻岷蜔醾鲗?dǎo)率。可以求解出ki 的數(shù)值。

2、通過泰勒展開式處理技術(shù)得到離散化計(jì)算公式：

3、由 ，令上述兩個(gè)方程組對(duì)應(yīng)相等，利用MATLAB 軟件對(duì)偏微方程進(jìn)行求解，求解出最外層與環(huán)境交界點(diǎn)的溫度為：74.11℃ 。

2.5誤差分析

實(shí)際環(huán)境溫度：75℃ ，所求出的環(huán)境溫度74.11℃ ，誤差率0.011% 。

把逆推求出的外界初始度與原初始溫度相互比較，發(fā)現(xiàn)有誤差 ，通過對(duì)建模和求解過程的思考，發(fā)現(xiàn)除了采用差分法計(jì)算產(chǎn)生的誤差外，還有在計(jì)算過程中產(chǎn)生的誤差，在熱傳導(dǎo)過程中，能量從第Ⅰ層到第Ⅱ?qū)右约皞鞯降谒膶訒r(shí)有一定的傳導(dǎo)時(shí)間，在逆推計(jì)算時(shí)，從第四層推到第三層時(shí)，我們是從0時(shí)刻就開始逆推，所以會(huì)有誤差。

參考文獻(xiàn)：

[1]張艷，黃震，葉萌，李澤妤.利用分?jǐn)?shù)階微分方程模擬一維熱傳導(dǎo)問題[J].北京建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，29（04）：62-64.