利用理論力學知識對紙飛機飛行距離的研究

尚余祥

摘 要：紙飛機為多數人都玩過的一個玩具，本文利用理論力學知識，把紙飛機作為研究對象，探究其飛行原理、飛行過程以及飛行距離和各類因素之間的相關關系，最終得出紙飛機飛行距離的表達式。

關鍵詞：理論力學;紙飛機;飛行距離

世界上有若干具有一定影響力的紙飛機比賽，通常的參賽規定是使用一張特定規格的紙，例如 A4 大小的紙張，折成一架紙飛機。折好后在無風的室內環境投擲，并測量其留空時間和飛行距離等成績。一種叫做 Suzanne 的折法曾創下飛行距離的吉尼斯世界紀錄，現以 Suzanne 紙飛機為例（圖1），探究飛機飛行距離表達式。

一、紙飛機重心分析

紙飛機的平衡關鍵因素是它的重心，如果重心在中心對稱點上，那么紙飛機將更加平衡。根據對稱性原理，紙飛機的中心點一般就是飛機前端到尾翼的中間之處，這樣飛機就可以十分穩定。紙飛機重心點的位置會影響到飛行的距離。如果我們折的紙飛機重心點位置適中，在紙飛機的下滑過程中，紙飛機機翼會受到均勻的空氣動力，保證了飛行的穩定性，能飛得更久。機翼在機身上的位置決定了紙飛機重心的位置，如果重心太過靠前，就很難獲得空氣的反作用力，從而有可能加劇了飛機下落的速度，這種情況下重心與升力之間有偶力矩作用，飛機前部會重于后部，使飛機前部向下俯沖。重心靠后的情況下重心與升力產生的力矩會使飛機迅速爬升，但是隨之阻力增加而失速墜落。如果能控制機翼的位置使重心點位置準確，則會增加紙飛機的穩定性，從而使飛機飛得更遠。

所以在疊紙飛機的時候應該盡量將重心靠近最佳位置升力點上（即升力的合力作用點），如此才能保持紙飛機的穩定。[1]升力主要是靠空氣給機翼反作用力的向上分力，假設這些力量是均勻分布在機翼表面，那升力的合力應該作用在飛機機翼的幾何重心位置。由于紙飛機是左右對稱的，所以重心一定在中間的對稱面上，把紙飛機對折起來，然后利用理論力學上常用的細繩懸掛法來求出紙飛機的重心，如圖2所示。

二、建立力學模型分析飛機飛行表達式

紙飛機的機翼是平整的，上下表面氣流流速相同，無壓力差，因此我們不能利用伯努利原理去求解紙飛機的升力，只能利用牛頓第三定律來求解。

對紙飛機的機翼做受力分析，投擲紙飛機的時，一般都會與水平面形成一定的角度，斜向上投擲。這時機身與水平線的夾角稱為投擲角。當紙飛機前進時會給空氣一個垂直于機翼的力量，相對的空氣也會給機翼一個反作用力，這個力量的垂直分力即為飛機的升力，水平分力成為阻力的一部分。[2]

紙飛機的飛行，在不考慮其形狀變化，同時認為折疊完全理想的狀態下，其飛翔可以看作是給定一定動能的飛機滑翔，即紙滑翔機，因我們研究的是紙飛機的水平飛行距離，所以暫且假設紙飛機在飛行過程中左翼和右翼受力均勻，而且手在投擲時也是水平向前發力，最終紙飛機不會發生偏轉，可看作飛機在一個平面內做上升和滑翔運動。但是由于紙飛機飛行過程中受力大小和方向在改變，導致其加速度在改變，進一步使得飛機速度在改變，其實質為變加速曲線運動，研究該類運動，則需利用高等數學中微積分的知識，建立加速度、速度和距離之間的關系。

從x 和 y 兩個維度去考察紙飛機上升和滑翔兩個階段，在紙飛機離手的時候，飛機獲得一定的初速度，初速度與水平方向存在一定的角度，即迎角，當紙飛機上升到最高點時，紙飛機在y方向的速度分量變為0，在水平方向的分量為vx1，在滑翔一段時間后，紙飛機落地，落地時刻水平方向的速度為vx2，y方向的速度分量為0。

上升階段：

受力分析圖3如圖所示。

下降階段：

受力分析如圖4所示：

三、結語

本文主要進行了紙飛機的飛行原理的探究，在求得重心的基礎上，運用理論力學關于物體運動方面的知識，并結合高等數學以及非線性目標規劃的方法，建立使得投擲距離最遠的函數，然后根據牛頓第二定律及物體運動規律等知識建立相應的約束條件，建立完整的飛行距離與起飛角度等因素之間的函數。紙飛機雖然很小，但是蘊含著豐富的力學和物理學知識，讓我們體回到科技的無窮奧妙。

參考文獻：

[1]賈躍華.理論力學小論文紙飛機[J].OL，2014-01-14.

[2]陳立群.《理論力學Ⅰ，Ⅱ》評介[J].力學與實踐，2013，35（04）：98+94.