射影幾何觀點下的橢圓蝴蝶定理對合證明的討論

王婷 趙臨龍

摘 要：利用射影幾何的對合交比不變量關系，給出二次曲線的蝴蝶定理證明，并且利用中心投影和仿射變換，證明橢圓蝴蝶定理。

關鍵詞：射影幾何;對合;交比;不變量;蝴蝶定理;證明

《高等幾何》在幾何問題研究中，發揮重要的工具作用。如利用對合“交比”研究“蝴蝶定理”的證明，可以給出有趣的證明方法。

1 交比概念

1.1 點列交比[1]

設A、B、C、D為一直線點列中的四點，則有交比（AB;CD）=AC·BDAD·BC。式中線段都為有向線段，其中A、B稱為基點偶，C、D分點偶。

1.2 線束交比[1]

設a、b、c、d為一點為線束中的四條直線，則有交比（ab;cd）=sin（a，c）·sin（b，d）sin（a，d）·sin（b，c）。式中角度為兩直線夾角，其中a、b稱為基點偶，c、d分點偶。

交比有如下性質：交換基點偶和分點偶的位置，交比不變。[1]

點列交比與線束交比有關系：[1]

（1）若線束中的四條直線a、b、c、d被任意一直線s截于A、B、C、D四點，則（ab;cd）=（AB;CD）。

（2）二次曲線上的兩線束的交比為不變量。

1.3 射影對合[1]

非恒等的一維射影變換，若任意一對對應的元素都交互對應，則該射影變換稱為對合變換（簡稱對合）。

對合有如下性質：[1] 對合式可以寫成下列兩種范式之一：（1）μμ'=k（常數，且k≠0）;（2）μ+μ'=0。

2 蝴蝶定理介紹

蝴蝶定理 如圖1.設O為圓內弦MN的中點，過O作弦AB和CD。設AD和BC各相交MN于點P和Q，則O是PQ的中點。

圖1圖2 圖3

蝴蝶定理最早出現在1815年在英國的一份通俗雜志《先生日記》（Gentleman's Diary）征解欄內刊出，不知是編輯大意還是其它原因，未能提供命題人的姓名。1944年第2期的《美國數學月刊》，由其外形結構將它稱為“蝴蝶定理”。[2]

在蝴蝶定理中，如去掉“中點”的條件，結論變為一個一般關于有向線段的比例式。它最早于1896年，由A.L.Candy給出。

Candy蝴蝶定理[3] 如圖1設O為圓內弦MN上任意一點，過O作弦AB和CD。設AD和BC各相交MN于點P和Q，則1OM+1ON=1OP+1OQ，其中等式中線段均為有向線段。

1995年，趙臨龍給出蝴蝶定理蝶心Q離開MN的有趣結論。

廣義蝴蝶定理[4] 如圖1過二次曲線Γ弦MN外一點O引Γ的兩弦AB，CD分別交弦MN于G、H，AD、BC分別交MN于P、Q，則1PG+1QH=GQHQ1MG+HPGP1NH，其中等式中線段均為有向線段。

“蝴蝶定理”所反映的二次曲線割線線段度量關系，引起人們的極大興趣，直到今日人們從未間斷對它的討論，近3年就要文獻。[5-12]

3 二次曲線蝴蝶定理證明

現在給出二次曲線蝴蝶定理的射影幾何對合證明。

3.1 射影方法證明

如圖1，若將點A、C看成二次曲線Γ上的2個對應線束，則

（MPON）∧=A（MDBN）∧-C（MDBN）∧=（MOQN）=（NQOM）

即有射影對應關系：M→N，N→M，P→Q，O→O。

由于這是一個交互對應，即為對合射影對應。于是，由于對應點M、N關于點O為對稱，即為對合范式（1），則對應點P、Q關于點O也為對稱。即OP=OQ。

當二次曲線Γ為圓⊙O時，蝴蝶定理相應結論成立。

3.2 中心投影方法證明

如圖3，在不屬于⊙O'所在平面的空間上任取一點T作為投影中心，用平行于直線M'N'的平面截影，則圓O'被射影為橢圓O''（圖2），線段M'N'被射影為與之平行的M''N''，根據中心投影關系，得到對應線段P''O''= Q''O''。即橢圓蝴蝶定理相應結論成立。

3.3 仿射方法證明

如圖2，將圖2的橢圓仿射為圓（圖1），由仿射不變性知P''O''= Q''O''。

（致謝：感謝張鴿同學對本文所提供的研究思路材料）

參考文獻：

[1]周振榮，趙臨龍.高等幾何[M].華中師范大學出版社，2014.

[2]Leon，Bankoff文，蔣聲，譯.蝴蝶定理的演變[J].美國數學月刊，1987.10：195-210.

[3]趙臨龍.蝴蝶定理的最終形式[J].數學教師，1995.4：27.

[4]趙臨龍.“三割線定理”的新認識[J].甘肅科學學報，2015，27（01）：41-45.

[5]成開華.探析以圓錐曲線蝴蝶定理為背景的高考題[J].中學數學研究，2015（06）：28-29.

[6]趙臨龍.蝴蝶定理的再推廣及其應用——數學問題2109和2137的統一解決[J].河南科學，2015，33（06）：899-903.

[7]趙臨龍.“廣義蝴蝶定理”的本質結構及新的不變量關系[J].河南科學，2015，33（12）：2071-2074.

[8]曹嘉興.蝴蝶定理的新證法[J].中學數學雜志，2016（06）：38+28.

[9]朱先東.蝶翩躚 思飛揚——一節關于“蝴蝶”的數學綜合實踐課[J].中學數學雜志，2016（12）：27-30.

[10]黃一德，田秀蓉.蝴蝶定理在仿射幾何中的推廣[J].赤峰學院學報（自），2017，33（04）：4-5.

[11]趙臨龍.蝴蝶定理解高考數學解析幾何題的再探討[J].中學數學教學，2018（05）：73-76.

[12]金彪，鄒生書.蝴蝶翩翩進考苑 魅力四射迷人眼[J].河北理科教學研究，2018（04）：7-9.

指導教師：趙臨龍。