射影幾何觀點(diǎn)下的橢圓蝴蝶定理對合證明的討論

王婷 趙臨龍

摘 要：利用射影幾何的對合交比不變量關(guān)系，給出二次曲線的蝴蝶定理證明，并且利用中心投影和仿射變換，證明橢圓蝴蝶定理。

關(guān)鍵詞：射影幾何;對合;交比;不變量;蝴蝶定理;證明

《高等幾何》在幾何問題研究中，發(fā)揮重要的工具作用。如利用對合“交比”研究“蝴蝶定理”的證明，可以給出有趣的證明方法。

1 交比概念

1.1 點(diǎn)列交比[1]

設(shè)A、B、C、D為一直線點(diǎn)列中的四點(diǎn)，則有交比（AB;CD）=AC·BDAD·BC。式中線段都為有向線段，其中A、B稱為基點(diǎn)偶，C、D分點(diǎn)偶。

1.2 線束交比[1]

設(shè)a、b、c、d為一點(diǎn)為線束中的四條直線，則有交比（ab;cd）=sin（a，c）·sin（b，d）sin（a，d）·sin（b，c）。式中角度為兩直線夾角，其中a、b稱為基點(diǎn)偶，c、d分點(diǎn)偶。

交比有如下性質(zhì)：交換基點(diǎn)偶和分點(diǎn)偶的位置，交比不變。[1]

點(diǎn)列交比與線束交比有關(guān)系：[1]

（1）若線束中的四條直線a、b、c、d被任意一直線s截于A、B、C、D四點(diǎn)，則（ab;cd）=（AB;CD）。

（2）二次曲線上的兩線束的交比為不變量。

1.3 射影對合[1]

非恒等的一維射影變換，若任意一對對應(yīng)的元素都交互對應(yīng)，則該射影變換稱為對合變換（簡稱對合）。

對合有如下性質(zhì)：[1] 對合式可以寫成下列兩種范式之一：（1）μμ'=k（常數(shù)，且k≠0）;（2）μ+μ'=0。

2 蝴蝶定理介紹

蝴蝶定理 如圖1.設(shè)O為圓內(nèi)弦MN的中點(diǎn)，過O作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交MN于點(diǎn)P和Q，則O是PQ的中點(diǎn)。

圖1圖2 圖3

蝴蝶定理最早出現(xiàn)在1815年在英國的一份通俗雜志《先生日記》（Gentleman's Diary）征解欄內(nèi)刊出，不知是編輯大意還是其它原因，未能提供命題人的姓名。1944年第2期的《美國數(shù)學(xué)月刊》，由其外形結(jié)構(gòu)將它稱為“蝴蝶定理”。[2]

在蝴蝶定理中，如去掉“中點(diǎn)”的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線段的比例式。它最早于1896年，由A.L.Candy給出。

Candy蝴蝶定理[3] 如圖1設(shè)O為圓內(nèi)弦MN上任意一點(diǎn)，過O作弦AB和CD。設(shè)AD和BC各相交MN于點(diǎn)P和Q，則1OM+1ON=1OP+1OQ，其中等式中線段均為有向線段。

1995年，趙臨龍給出蝴蝶定理蝶心Q離開MN的有趣結(jié)論。

廣義蝴蝶定理[4] 如圖1過二次曲線Γ弦MN外一點(diǎn)O引Γ的兩弦AB，CD分別交弦MN于G、H，AD、BC分別交MN于P、Q，則1PG+1QH=GQHQ1MG+HPGP1NH，其中等式中線段均為有向線段。

“蝴蝶定理”所反映的二次曲線割線線段度量關(guān)系，引起人們的極大興趣，直到今日人們從未間斷對它的討論，近3年就要文獻(xiàn)。[5-12]

3 二次曲線蝴蝶定理證明

現(xiàn)在給出二次曲線蝴蝶定理的射影幾何對合證明。

3.1 射影方法證明

如圖1，若將點(diǎn)A、C看成二次曲線Γ上的2個(gè)對應(yīng)線束，則

（MPON）∧=A（MDBN）∧-C（MDBN）∧=（MOQN）=（NQOM）

即有射影對應(yīng)關(guān)系：M→N，N→M，P→Q，O→O。

由于這是一個(gè)交互對應(yīng)，即為對合射影對應(yīng)。于是，由于對應(yīng)點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)O為對稱，即為對合范式（1），則對應(yīng)點(diǎn)P、Q關(guān)于點(diǎn)O也為對稱。即OP=OQ。

當(dāng)二次曲線Γ為圓⊙O時(shí)，蝴蝶定理相應(yīng)結(jié)論成立。

3.2 中心投影方法證明

如圖3，在不屬于⊙O'所在平面的空間上任取一點(diǎn)T作為投影中心，用平行于直線M'N'的平面截影，則圓O'被射影為橢圓O''（圖2），線段M'N'被射影為與之平行的M''N''，根據(jù)中心投影關(guān)系，得到對應(yīng)線段P''O''= Q''O''。即橢圓蝴蝶定理相應(yīng)結(jié)論成立。

3.3 仿射方法證明

如圖2，將圖2的橢圓仿射為圓（圖1），由仿射不變性知P''O''= Q''O''。

（致謝：感謝張鴿同學(xué)對本文所提供的研究思路材料）

參考文獻(xiàn)：

[1]周振榮，趙臨龍.高等幾何[M].華中師范大學(xué)出版社，2014.

[2]Leon，Bankoff文，蔣聲，譯.蝴蝶定理的演變[J].美國數(shù)學(xué)月刊，1987.10：195-210.

[3]趙臨龍.蝴蝶定理的最終形式[J].數(shù)學(xué)教師，1995.4：27.

[4]趙臨龍.“三割線定理”的新認(rèn)識[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2015，27（01）：41-45.

[5]成開華.探析以圓錐曲線蝴蝶定理為背景的高考題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015（06）：28-29.

[6]趙臨龍.蝴蝶定理的再推廣及其應(yīng)用——數(shù)學(xué)問題2109和2137的統(tǒng)一解決[J].河南科學(xué)，2015，33（06）：899-903.

[7]趙臨龍.“廣義蝴蝶定理”的本質(zhì)結(jié)構(gòu)及新的不變量關(guān)系[J].河南科學(xué)，2015，33（12）：2071-2074.

[8]曹嘉興.蝴蝶定理的新證法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（06）：38+28.

[9]朱先東.蝶翩躚 思飛揚(yáng)——一節(jié)關(guān)于“蝴蝶”的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（12）：27-30.

[10]黃一德，田秀蓉.蝴蝶定理在仿射幾何中的推廣[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)（自），2017，33（04）：4-5.

[11]趙臨龍.蝴蝶定理解高考數(shù)學(xué)解析幾何題的再探討[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2018（05）：73-76.

[12]金彪，鄒生書.蝴蝶翩翩進(jìn)考苑 魅力四射迷人眼[J].河北理科教學(xué)研究，2018（04）：7-9.

指導(dǎo)教師：趙臨龍。