用Lagrange方程求自由質點在球坐標系中運動微分方程

張剛臺

摘 要：利用Lagrange方程和坐標變換的方法，本文詳細地給出了自由質點在球坐標系中運動微分方程的求解過程.在求解過程中，數學推導嚴密，過程詳盡，并且思路清晰，這對于理解和掌握這部分知識有一定的指導和參考意義。

關鍵詞：球坐標系;Lagrange方程;質點;微分方程

在分析力學中，利用Lagrange方程求解力學體系的運動微分方程是非常方便的。因為只要知道這個力學體系用廣義坐標和廣義速度所表示的動能以及作用在此力學體系的廣義力，就可以寫出力學體系的動力學方程。[1]然而，在理論力學教程（周衍柏編）第五章第三節中，作者在講授利用Lagrange方程求解自由質點在球坐標系中的運動微分方程時發現，雖然教材中已經給出了結果，但推導過程不夠詳盡，且推導速度表達式所采用的方法不易理解。一般求解速度的方法通過對位置矢量關于時間求一階導數即可得到。另外，教材也是直接給出了力學體系廣義力的表達式，并沒有詳細說明廣義力的表達式是如何推導出來的，這使得完全理解更加的困難。本文采用基本的坐標變化方法，并給出了詳細的推導過程和最終結果。雖然數學推導較多，但推導嚴密、解題思路清晰，這對于更好理解和掌握這部分知識有一定的指導和參考意義。

1 球坐標系與直角坐標系的基矢變換關系

5 結論

本文從球坐標系與直角坐標系的基矢變換關系出發，詳細地給出了球坐標系中用廣義坐標和廣義速度所表示的力學體系的動能及廣義力表達式的推導過程，然后將此結果代入基本形式的Lagrange方程，從而得到了自由質點在球坐標系中的運動微分方程。在求解過程中，力求數學推導嚴密和過程詳盡，同時也注重解題思路澄清，這對于理解和掌握應用Lagrange方程求解自由質點在球坐標系中運動微分方程有一定的指導和參考價值。

參考文獻：

[1]周衍柏.理論力學教程[M].北京：高等教育出版社，2009：210-220（3）.

[2]李宏，許文龍.空間直角坐標系與球坐標系變換研究[J].牡丹江師范學院學報，2017，2：49-51.

[3]丁光濤.理論力學[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2013：58-65（1）.