打破砂鍋問到底
——一道習題的追問與變式

文劉玉兵

例［蘇科版八（上）第一章第31頁習題1.3第8題］已知：如圖1，在△ABC中，AB=AC，BD、CE為高，求證：BD=CE。

圖1

【分析一】由三角形面積的兩種不同表示方法可以得到：當三角形的面積和底邊分別相等時，高一定相等。

【分析二】把BD、CE分別放到兩個三角形中，證明三角形全等，再由全等三角形的對應邊相等推出BD=CE。

【小結】在幾何學習中，由于慣性思維，很多同學不易想到分析一，其實面積法往往更簡潔、高效。分析二關鍵在于把BD、CE分別放到哪兩個全等的三角形中去，選擇何種全等三角形的證明方法，這里要注意公共角∠A的作用。

【追問一】如圖2，在例題的基礎上，試問△BDC和△CEB是否全等？

【分析】要證△BDC和△CEB全等，首先要判斷這是兩個直角三角形，其次看它是否可以用特殊方法（HL）來證明，最后再看一般方法是否也可以證明。

解法1：用“HL”證明Rt△BDC≌Rt△CEB。

解法2：用“SAS”證明△BDC≌△CEB。

解法3：用“AAS”證明△BDC≌△CEB。

【追問二】如圖2，在例題的基礎上，試證明△BOE≌△COD。

圖2

圖 3

解法說明：在例題已證明結論的基礎上，可用“AAS”證明△BOE≌△COD。

【追問三】如圖3，在例題的基礎上，試證明AO平分∠BAC。

【分析】要證明AO平分∠BAC，就是要證明∠BAO=∠CAO。我們既可以把這兩個角放在△EAO、△DAO中，也可以放在△BAO、△CAO中。

證法1：用“HL”證明Rt△EAO≌Rt△DAO，推出AO平分∠BAC。

證法2：用“SSS”證明△BOA≌△COA，推出AO平分∠BAC。

【追問四】如圖4，在例題的基礎上，試證明AF⊥BC。

圖4

圖5

證明：在△BAF和△CAF中，

【變式一】如圖5，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是中線，請問圖中有幾對全等三角形？如何證明？

【分析】本題應先用“SAS”證明△AEC≌△ADB，再去證明其他三角形全等。

答：七對。

【變式二】如圖6，在△ABC中，AD、CE是高，AD、CE交于點O，AE=CE，試證明：AO=BC。

圖6

圖7

【分析】要證明結論，我們需要把問題“AO=BC”和條件“AE=CE”結合起來看，由此可以判斷應該證明△AEO≌△CEB。

解法說明：應該用“同角（或等角）的余角相等”先證出∠EAO=∠ECB，然后用“ASA”證明△AEO≌△CEB，最后推出AO=BC。

【小結】本題在形式上與前面幾題有所區別。我們運用“分析法”把結論和條件結合起來找出全等的兩個三角形，進而運用“綜合法”證明。

【變式三】如圖7，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC、BD相交于點E，找出圖中相等的銳角，并加以證明。

【分析】此題是教材P36復習鞏固中的第9題。從形狀看，本題似乎與例題關系不大，但當延長BA、CD時，“形”就相同了。（解略）

【小結】針對一個圖形，條件相同時，問題可能不同；改變條件后，結論也有可能不會改變。不同的問題起初圖形不盡相同，當把它補充完整時，就會給人“神似形也似”的感覺。方法上，此題與變式一又是相同的。

【變式四】如圖8，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點，AE⊥BD交BD的延長線于E，且求證：BD是∠ABC的角平分線。

圖8

【分析】所給圖形有點“殘缺”，若延長BC、AE相交于點F，問題就變得明晰起來。

證明：在△BCD與△ACF中，

∵∠DCB=∠ACF=90°，∠F=∠BDC，AC=BC，

∴△BCD≌△ACF，∴BD=AF。

再由BE=BE，∠AEB=∠FEB，

∴△AEB≌△FEB，

∴BD平分∠ABC。

【小結】解答本題的關鍵是把“殘缺”圖形進行“完善”，使圖形又與例題相類似，問題轉化為尋找全等三角形。