一種線性相位LC濾波器的設計

魏 強

(中國電子科技集團公司第二十六研究所, 重慶 400060)

0 引言

LC濾波器電路拓撲結構靈活，封裝方式多樣，在相對帶寬BW≥5%(窄帶)及BW≥100%(寬帶)、頻率4 GHz以下彈載、機載、雷達和星載設備中均能發揮作用，具有目前其他無源濾波器無法替代的行業地位。

濾波器群時延是接收鏈路導致信號延遲和失真的主要因素[1-2]。濾波器帶外抑制和線性時延是一對矛盾的指標[3]。傳統的LC濾波器多采用橢圓函數型實現，近端帶外衰減高，但群時延波動大；而采用線性相位函數貝塞爾型或高斯型的濾波器,存在帶外衰減緩慢的問題。因此,傳統的設計方法已經無法滿足系統需要，線性相位濾波器的研究越來越受到重視。

1969年，Rhode提出利用等間距線性相位多項式設計線性相位濾波器低通原型和綜合過程[4]，根據低通原型傳輸函數，通過復平面上設置實零點或復零點，即可實現平坦的群時延特性。2003年，Cameron提出了交叉耦合技術，利用多項式迭代，通過改變濾波器傳輸極點的分布，極大提高了類切比雪夫濾波器帶外抑制[5-6]。文獻[7]發現,廣義切比雪夫濾波器傳輸零點的實部和虛部主要分別影響濾波器群時延的時延幅值和線性度，調整濾波器傳輸零點的虛部，可以改善群時延的線性。文獻[8]采用無約束優化算法來優化濾波器群時延波動，并使濾波器具有幅相對稱性。但這些文獻中均未研究LC線性相位濾波器的設計，未涉及線性相位和群時延波動的關系。

本文介紹了一種線性相位濾波器設計方法，采用零點放置技術、級聯混合網絡來設計電路拓撲，實現具有高矩形系數、相位波動小的LC濾波器。

1 線性相位濾波器

1.1 濾波器傳輸零點

濾波器的傳輸函數H(S)可表示為2個復變量S的多項式之比：

(1)

對于一個可實現的濾波網絡，式(1)中系數ai、bi必須為實數。E(S)多項式的根pk稱為傳輸極點，只能位于復平面的左半開平面。F(S)多項式的根zi稱為傳輸零點，其根的分布有5種情況：

1) 虛軸上共軛對。

2) 實軸上正、負對。

3) 以原點對稱分布的四組合共軛對。

4) 原點。

5) 無限遠。

每種情況零點的階數n、極點的階數m都可以是多階的。以中心頻率1 GHz、帶寬200 MHz的五階濾波器為例，設置不同傳輸零點，推導出濾波器歸一化低通原型傳輸函數，并分析了對其選擇性和群時延的影響。濾波器歸一化低通原型傳輸函數Hl(S)(l=1,2,…,5)為

H1(S)=0.580 8/[(s2+0.382 6s+1.288)·(s2+1.002s+0.728 7)(s+0.619)] (零點在原點處，五階)

(2)

H2(S)=[1.41×10-3×(s2+9)(s2+49)]/[(s2+0.354 4s+1.273)(s2+0.995 9s+0.76)(s+0.642 9)]

(零點在虛軸上(±3j,±7j))

(3)

H3(S)=[1.236×10-3×(s2-49)(s2-9)]/[(s2+0.409 2s+1.302)(s2+1.006s+0.700 5)(s+0.597 7)]

(正負零點在實軸上(±3,±7))

(4)

H4(S)=[8.885×10-2×(s2-4)(s2-1)]/[(s2+0.611 2s+1.401)(s2+0.999 5s+0.531 8)(s+0.477 2)] (正負零點對在實軸上(±1，±2))

(5)

H5(S)=[0.368 3×(s2-1)(s2-0.64)]/

[(s2+0.893 6s+1.493)(s2+

0.925 2s+0.394 9)(s+0.399 9)]

(正負零點對在實軸上(±1，±0.8))

(6)

其中，H1(S)和H2(S)分別是典型的切比雪夫和橢圓函數濾波器的頻響。在傳輸函數中引入不同的傳輸零點可改善濾波器的選擇性或群時延特性(見圖1)。在選擇性改善的同時，群時延特性惡化了。而當零點在復平面的實軸上時，可得到通帶內較平坦的群時延，其值越小，群時延波動也越小，但當其取值小于1時，群時延波動反而增大，呈凸形狀。

圖1 傳輸函數對濾波器帶外抑制、群時延特性和相位波動的影響

表1為傳輸函數對濾波器性能的影響。由表可見，選擇性越好，帶內群時延波動越大。

表1 傳輸函數對濾波器性能的影響

表2為切比雪夫響應函數±5°相位相對帶寬和3 dB相對帶寬間的關系。如三階、插損為1.2 dB條件下，在3 dB相對帶寬66%內其相位線性波動絕對值小于5°。

表2 ±5°相位相對帶寬和3 dB相對帶寬間的關系

1.2 群時延和線性相位波動的關系

群時延是每個頻率分量通過濾波器的實際延遲時間，反映的物理含義是濾波器的相位線性度。

將相位函數θ(ω)在中心頻率ωc處泰勒展開：

θ(ω)=c0+c1(ω-ωc)+

c2(ω-ωc)2+c3(ω-ωc)3

(7)

群時延定義為相位對頻率的一階導數，即對式(7)求導，則

τg=dθ(ω)/dω=-d1-2d2(ω-ωc)-

3d3(ω-ωc)2

(8)

式中：ci,di分別為相位函數θ(ω)和群時延τg的系數；d1為通常定義下的群時延，即零階群時延；d2、d3為一階、二階群時延。圖2為非線性系統相位和各階群時延特性曲線。

圖2 非線性系統相位和各階群時延特性曲線

式(8)說明，d1值可能很小，但d2、d3等高階分量可能很大，導致濾波器相位曲線的波動大。即零階群時延和線性相位波動并不是絕對的對應關系。與零階群時延相比，相位波動的定義更能準確反映濾波器的非線性。

為了描述系統相位畸變引起的相位失真，通過去除相移的線性部分(即零階群時延)，就可得到線性相位波動。線性相位波動可直觀地觀察相位數據，對于傳輸調相信號的濾波器，相位數據更有用。這也是越來越多的電子系統(如相控陣雷達系統)強調相位波動的原因。

1.3 零點放置技術

在濾波器中，可通過交叉耦合及LC諧振電路兩種方法來引入傳輸零點。

對于集總參數電路拓撲結構而言，常采用LC諧振回路方式。串、并聯LC電路互為對偶電路。串聯電路諧振時，阻抗無窮大，表現為帶外衰減，利用這一原理并根據指標要求靈活設置串聯LC諧振回路諧振點的位置，從而產生帶外抑制點，改善帶外抑制和線性相位的矛盾。

在圖3中以一個常用的濾波電路拓撲結構對零點放置技術加以說明。如果在1處串聯1個適當的電容到地，在低端會產生1個傳輸零點。如果在1處串聯1個適當的電感到地，在高端會產生一個傳輸零點。如果在2和3之間放置一個串聯LC諧振回路，在低端或高端會產生一個傳輸零點。調節電容、電感值可改變傳輸零點的位置。由于實際的LC濾波拓撲電路結構多樣，在工程設計中可靈活設置零點產生電路的位置。

圖3 零點位置放置示意圖

由于諧振回路的加入，改變了電路的阻抗特性，需要重新調整元件值，通常采用優化的方法達到指標要求，但元件值的選取和零點位置一定便于工程調試。

1.4 均衡電路

濾波器的群時延通常呈凹形的拋物線形狀，可采用群時延特性呈凸形拋物線的均衡電路補償時延波動，起到調平時延的作用。

均衡一般采用全通網絡實現，其幅度變化與頻率無關，相位和頻率成線性關系[9]，理想的全通網絡結構如圖4所示，其傳輸函數可定義為

(9)

式中E(S)為嚴格的胡氏多項式，其根的分布只能在復平面的左半開平面，有在實軸上和以原點對稱分布的共軛對兩種情況,即

(10)

sq=δq+jωq

(11)

式中:δo,sq為E(S)的根;p,r為階數;δo,δq,ωq只能是正實數，同時要求傳輸函數幅度和相位滿足：

(12)

圖4 二階格型均衡網絡

圖4中，電感L1、L2及電容C1、C2取值滿足：

(13)

式中K為任意給定整數值，根據給定零點位置，由此確定均衡網絡元件參數。

2 設計實例

線性相位濾波器設計有外均衡、內均衡兩種方法。外均衡法是通過設計一種與濾波器時延特性相反的時延均衡器來與濾波器級聯，從而實現帶內較平坦的相位特性。內均衡法是在傳輸函數的實軸上放置傳輸零點來實現通帶內線性相位。外均衡設計更靈活。但兩種方案均增加了元器件，在小體積、低損耗的場合受限。

2.1 外均衡法

濾波器指標要求如下:

1)f0為21.4 MHz。

2) 0.5 dB帶寬≥10 MHz。

3) 中心插損≤2 dB。

4) 帶內相位非線性波動≤±5°(16.4～26.4 MHz)。

5) 帶內群時延波動≤15 ns。

6) 帶內駐波≤1.5。

7) 帶外抑制≥45 dBc@12 MHz和≥45 dBc@32 MHz。

由于指標要求相對帶寬大于10%，12 MHz和32 MHz處帶外抑制大于45 dBc，因此選用9節橢圓濾波電路(見圖5)實現。電路串臂上第一、三個串聯諧振分別實現通帶高端44.6 MHz、32 MHz傳輸零點,電路串臂上第二、四個串聯諧振分別實現通帶低端10.28 MHz、12 MHz傳輸零點。但單純采用這樣的拓撲結構，群時延波動大于100 ns，相位波動大于15°，不能滿足要求。

圖5 采用外均衡電路拓撲結構

本文設計的二階均衡電路(見圖5)串臂上第一對零點對應峰值頻率31.1 MHz，用來補償高于中心頻率處的相位波動；均衡電路串臂上第二對零點對應峰值頻率16.6 MHz，用來均衡低于中心頻率處的相位波動。最后級聯上述兩部分電路，結合計算機輔助設計軟件優化元件取值，仿真結果如圖6所示。采用均衡電路后，濾波器的群時延波動小于14 ns，濾波器的相位波動由16°提高到7°，帶外抑制滿足要求。

圖6 外均衡帶外抑制和相位波動仿真結果

2.2 內均衡法

濾波器指標要求如下：

1) 中心頻率f0為1 300 MHz。

2) 1 dB帶寬≥200 MHz。

3) 帶內損耗≤2 dB。

4) 帶內相位非線性波動≤±5°(1 200 MHz～1 400 MHz)。

5) 帶外抑制≥35 dB@1 100 MHz，≥35 dB@1 500 MHz，≥60 dB@1 700 MHz，≥60 dB@300 kHz～700 MHz，≥60 dB@1 900 ～3 000 MHz。

由于要求f0±200 MHz處帶外抑制大于35 dB，因此采用9節橢圓濾波電路(見圖7)實現。和外均衡法不同,改變了傳輸零點的位置，電路串臂上第一、四個并聯諧振分別實現通帶高端1 960 MHz、1 678 MHz陷波點,電路串臂上第二、三個并聯諧振分別實現通帶低端946 MHz、956 MHz的陷波點，但單純采用這樣的拓撲結構，無法滿足遠端帶外大于60 dB的要求。因此,設計PI型低通網絡，通過電容耦合級聯拓撲結構來改善傳統橢圓濾波電路遠端帶外抑制差的缺點，滿足高端抑制要求。采用內均衡混合電路拓撲結構如圖7所示。

圖7 采用內均衡混合電路拓撲結構

采用內均衡法和采用純切比雪夫電路拓撲結構對比(見圖8)，濾波器的群時延波動由50 ns減小為25 ns，相位線性波動由25°減小為5°，兼顧了帶外抑制和相位線性的要求，滿足指標。

圖8 內均衡帶外抑制和相位波動仿真結果

2.3 優化

雖然在原型電路拓撲和均衡電路連接時已做了阻抗匹配，但由于原型電路設計應用綜合法，而均衡電路的設計應用分析法，因此，在連接時存在一定程度的阻抗失配，有必要進一步對電路進行仿真優化處理。步驟為：

1) 設置優化目標。按技術條件要求設置：通帶頻率范圍內衰減不大于設計值；阻帶頻率范圍內衰減不小于設計值。

2) 確定需要優化的元件，設置其變化的范圍。

設置完成后即可進行優化，完成濾波器的設計。

3 結束語

采用零點放置、混合網絡拓撲技術設計線性相位濾波器，具有較好的工程應用價值。在科研生產中，我們多次采用這種設計方法，在不犧牲幅頻特性的同時，提高了濾波器的相位線性度，均取得了滿意的效果。但由于內、外均衡網絡的加入，增加了通帶損耗和設計的復雜度。研究表明，深刻理解濾波器傳輸函數零極點特性是設計出高性能線性相位LC濾波器的關鍵，對濾波器的生產性、可靠性都有很好的保證。