大視場高像質簡單光學系統的光學-算法協同設計

鄭云達，黃 瑋，徐明飛，潘 云，賈樹強，張曉菲，盧勇男

(1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學， 北京 100049)

1 引 言

高像質、低成本、小型化相機在遙感測繪、安防、醫療等領域的需求日益增加。而對于光電成像系統而言，高像質與低成本小型化是相互矛盾的。如要滿足高像質的需求，光學設計者們要在光學系統中加入多個鏡片來校正像差，這就導致光學系統體積、重量、成本增加，難以滿足低成本、小型化的需求。

近年來，不少研究者利用圖像復原的方法校正光學像差，從而提高圖像質量[1-4]。經典的方法有逆濾波法、維納濾波法[5]、Richardson-Lucy算法[6-7]等，然而這些方法易受噪聲影響，容易產生振鈴效應，不能很好地去除光學像差。為了減輕噪聲干擾，復原更多的圖像細節，基于自然圖像規律先驗[8-10]和基于光學成像規律先驗[11-12]的圖像去卷積算法相繼被提出。這些方法引入先驗知識作為正則項，將病態的去卷積問題轉化為良態問題，使恢復結果具有清晰圖像的特性，同時抑制振鈴效應。

Schuler等人[13]最早利用圖像復原的方法簡化光學系統，提出單透鏡計算成像系統的概念。他們將前端的鏡頭簡化為單透鏡，利用相機拍攝了模糊圖片后，最終通過圖像復原算法有效地消除了像差模糊。Heide等人[14]提出了基于交叉通道先驗的圖像去卷積算法，大幅減弱了色差引起的模糊及彩邊現象，并通過自制的單透鏡相機獲得了較高質量的圖像。在國內，李衛麗等人[15]也通過計算成像原理實現了單透鏡相機。王嬌陽、譚政等人[16-17]提出了光學成像系統與圖像處理系統的聯合優化方法。崔金林[18]在單透鏡成像技術中引入字典學習和卷積神經網絡的方法，提升了點擴散函數的獲取速度及單透鏡相機的成像質量。

然而，大部分研究者選用的前端光學系統都過于簡單，導致圖像模糊程度大，信息丟失嚴重，難以復原出高像質圖像。針對這一問題，本文提出了一種大視場簡單光學系統的光學-算法協同設計方法。在圖像復原算法方面，改進了空間變化的交叉通道去卷積算法，加入倍率色差校正，以確保圖像復原算法在大色差情況下的有效性，顯著地去除了色差帶來的圖像模糊。在光學設計階段，由于算法可以明顯減弱色差的影響，放開了色差的約束，并專注優化綠色通道的像質，使該通道成像銳利，從而在后期交叉通道去卷積算法中，更有效地幫助紅、藍兩通道圖像復原，實現高像質成像。本文利用該方法設計了一套僅由兩片鏡組成的大視場簡單光學系統，系統焦距為50 mm，全視場為46°，F數為5.6，探測器分辨率為1 000萬像素。該系統采用全球面設計，兩片鏡材料均為K9玻璃。

2 光學降質的圖像復原算法

2.1 交叉通道去卷積算法

在光學系統中，鏡頭所成的模糊圖像可以看成是真實圖像與光學系統的點擴散函數(Point Spread Function,PSF)卷積的結果，成像模型可表示為：

y=k?i+n,

(1)

其中，y表示模糊圖像，k表示光學系統的PSF，i表示真實圖像，n表示系統噪聲。根據模糊圖像求取清晰圖像的問題是一個去卷積問題。然而，去卷積是一個病態問題，會有無窮多解，需要引入適當的先驗作為正則項，從無窮多解中選出最優的一個。

對于簡單光學系統，由于存在較大的色差，不同顏色光的波長不同，焦距不同，其理想的聚焦位置也有很大差異。當像面處于某一顏色通道的理想聚焦位置時，其他顏色通道將出現嚴重的離焦，這就造成了彩邊現象。Heide提出了交叉通道先驗理論[14]，即“物體的邊緣會出現在紅、綠、藍3個顏色通道相同的位置”，利用聚焦的理想顏色通道所成的銳利圖像，可幫助另外兩個離焦通道的模糊圖像復原，在消除軸向色差的同時，使復原效果明顯提升。交叉通道先驗可表示為:

(2)

其中，j和l表示兩個顏色通道。

結合交叉通道先驗，去卷積算法的最優化公式的矩陣形式可表示為:

(3)

其中，第一項為最小二乘法擬合項，第二項表示清晰圖像梯度和二階導數服從重尾分布，第三項是交叉通道先驗。公式中，H{1,2}表示計算一階導數的卷積矩陣，H{3…5}表示計算二階導數的卷積矩陣，λc和βcl∈R分別是圖像先驗與交叉通道先驗的權重。上述優化問題可由原始對偶算法解出[19]，此處不贅述。

2.2 空間變化方案

傳統的圖像復原算法一般認為PSF是空間不變的，即PSF在全視場內是一致的。然而，光學系統的點擴散函數是隨著視場的變化而變化的。圖1(a)(彩圖見期刊電子版)展示了一個兩片鏡簡單光學系統各視場的PSF分布圖。可見，隨著視場的增大，PSF在形狀和強度分布有著明顯的變化，但是對于兩個相近的視場，PSF的差異又很小。

圖1 空間變化方案示意圖 Fig.1 Diagram of the space-variant strategy

針對光學系統PSF的空間變化特點，本文使用一種矩形重疊分塊的辦法，如圖1(b)(彩圖見期刊電子版)所示。將模糊圖分成重疊的矩形小塊，并假設在每個分塊內，PSF空間不變。每個分塊分別進行去卷積計算后拼接得到復原圖像。

對于PSF在分塊內具有一致性的假設會產生邊界誤差。故本文在邊界重疊區域使用線性過渡方式，以有效減輕邊界誤差。引入了增益因子G，在圖片的非重疊區域，增益因子G是常數1，在重疊區域，它會線性下降直至分塊邊界處，變為零。如圖2所示(彩圖見期刊電子版)，G1和G2分別是兩個相鄰分塊Patch 1和Patch 2的增益因子，它們重疊區域的圖像ioverlap是兩個分塊圖像的線性混合：

ioverlap(x,y)=G1(x,y)·ipatch1(x,y)+

G2(x,y)·ipatch2(x,y) ,

(4)

其中，x和y是所計算像素的坐標。

圖2 圖片分塊重疊部分的拼接示意圖 Fig.2 Diagram of stitching method of image overlapping parts

2.3 倍率色差的校正

倍率色差廣泛地存在于光學系統中，尤其是大視場光學系統。當存在倍率色差時，對于軸外同一物點，光學系統在紅、綠、藍三通道的成像位置會存在明顯差異，導致三通道圖像中物體的邊緣發生錯位。盡管交叉通道去卷積算法可以有效消除軸向色差，但當光學系統存在較大倍率色差時，交叉通道去卷積算法將會失效。

圖3(彩圖見期刊電子版)為交叉通道先驗的示意簡圖，圖中橫坐標為像素的位置，縱坐標為像素灰度值。如圖3(a)和3(b)所示，當系統不存在倍率色差或倍率色差很小時，交叉通道先驗可以使模糊通道的邊緣更加銳利。如圖3(c)和3(d)所示，當倍率色差很大時，紅色和藍色通道的邊緣與綠色通道邊緣的位置會發生嚴重偏離，導致交叉通道先驗失效。因此，本文在交叉通道去卷積前，引入倍率色差校正，以減弱三通道圖像邊緣的分離程度，保證交叉通道先驗的有效性，如圖3(e)、3(f)和3(g)所示。

圖3 交叉通道先驗示意圖 Fig.3 Scanline diagrams of cross-channel prior

倍率色差實際上是由不同波長的光畸變程度不同導致的，將不同顏色通道圖像的實際像點拉伸或收縮至同一波長(如綠光)的近軸像高位置，即可校正倍率色差。

倍率色差呈旋轉對稱分布，帶有倍率色差的光學系統中，物點的實際像高和近軸像高的關系可用下列多項式近似表示[20]：

(5)

其中，rj表示校正前顏色通道j的物點的實際像高，rcorr表示物點某一波長光(如綠光)的近軸像高，a、b和c是多項式的系數。

本文以綠光的近軸像高為校正標準，對公式(5)中的多項式進行擬合，并校正倍率色差，步驟如下：

(1)使用光學設計軟件提取系統的綠光畸變信息和倍率色差信息。

(2)根據畸變和倍率色差信息計算三色光的實際像高與綠光的近軸像高，并結合探測器像元尺寸，將像高轉化為像素數。

(3)使用最小二乘法分別擬合求取3種色光的多項式系數。

(4)計算校正后圖像的每一個像元到圖片中心的距離，作為該點的近軸像高像素數。將近軸像高的像素數代入多項式求取實際像高的像素數。

(5)步驟(4)中求取的實際像點位置可能會出現亞像素情況，本文使用雙線性插值的方法估計該位置的灰度值，并將其替換至校正后圖像對應的像素位置。

校正色差后，模糊圖像被拉伸，因此，在去卷積前，所使用的PSF也應根據公式(5)拉伸。本文將空間變化的PSF按實際成像位置置于一幅空白圖片中，形成PSF陣列圖。然后使用前文所述的校正倍率色差的方法對PSF陣列圖進行處理，以實現PSF的拉伸。

3 簡單光學系統設計

圖4 簡單光學系統結構圖 Fig.4 Layout of simple optical system

目前，在簡單光學系統成像技術的研究中，學者們廣泛使用的是只含一片平凸透鏡的單透鏡系統，該系統分辨率低，像質差，而且隨著視場角的增加，單透鏡的場曲會顯著增長，如圖4(a)所示。邊緣視場的點擴散函數變得太大會導致信息丟失嚴重，很難成功復原邊緣視場的圖像。因此，單透鏡系統的視場也受到了嚴重的限制。

為了獲得更大的視場和更高的分辨率，本文采用一個由兩片對稱的彎月透鏡組成的系統作為初始結構，如圖4(b)所示。這個結構對于軸外像差有良好的校正效果，全視場的PSF都很容易控制在合理的尺寸內，這樣有利于圖像算法復原高質量圖像。

由于前面描述圖像復原算法可以顯著地消除色差，本文在優化過程中利用多重結構的方法進行優化，放開色差的約束，并增加綠色波長的權重，使綠色通道的成像質量比普通光學系統更加銳利，保留更多信息，便于圖像恢復。同時，沒有了色差的約束，PSF的尺寸也更容易控制。為了進一步降低系統的成本，本文只使用HK9L玻璃作為鏡片的材料。

本文的設計結果如圖5所示。系統焦距是50 mm，全視場46°，F數是5.6。鏡頭參數見表1。可以看到綠色通道的彌散斑非常小，盡管系統的倍率色差很嚴重，但是紅、藍兩個模糊通道的彌散斑的尺寸也得到了很好的控制。

圖5 簡單光學系統設計結果 Fig.5 Designed results of simple optical system

表1 簡單光學系統的鏡頭參數

4 實驗與結果

為了測試大視場簡單光學系統的成像質量，本文利用CODE V軟件的成像模擬功能獲得光學系統的成像結果，再用圖像復原算法對模糊圖進行復原。本文還獲取了庫克三片式鏡頭和兩種純圖像復原算法方案的結果，并與本文的結果做了定量比較。

4.1 仿真實驗測試

首先，使用高像質相機拍攝現實中的場景作為原始清晰圖片，圖片分辨率是3 840 pixel×2 560 pixel，約為1 000萬像素。然后，使用光學設計軟件CODE V仿真生成光學系統所成的模糊圖像。本文所使用的空間變化的PSF同樣是通過CODE V軟件仿真的方法獲取的，如圖6所示。

圖6 簡單光學系統的空間變化PSF Fig.6 Space-variant PSFs of the simple optical system

在MATLAB上使用本文圖像復原算法對模糊圖像進行復原，模糊圖像與復原圖像的對比結果見圖7。可以看到，本文圖像復原算法可以有效去除光學系統的倍率色差，圖像邊緣視場的彩邊現象明顯減弱。同時，復原結果展示了更多的圖像細節信息，邊緣銳利，清晰度明顯提高，無論是邊緣視場還是中心視場都沒有出現振鈴效應。實驗結果表明，使用本文提出的光學-算法協同設計方法設計出的大視場簡單光學系統能夠獲得高像質、高分辨率的圖像。

圖7 圖像復原結果 Fig.7 Image restoration results

4.2 結果對比

首先，將本文提出的方法與Krishnan[9]和 Heide[14]的兩種純圖像復原算法的解決方案進行了對比。純算法方案對于光學系統沒有特殊優化，因此，采用常規方法為這兩種方案設計了一個兩片鏡的光學系統，其與本文方案具有相同的初始結構、孔徑、焦距、材料和視場。在優化過程中，為了同時校正色差與場曲，常規設計系統后面的鏡片變得很大，并且靠近像面。考慮倍率色差也會使系統對其他像差妥協，導致彌散斑增大。常規系統的設計結果及PSF如圖8所示。可以看出，與本文的系統相比，常規系統的倍率色差雖然很小，但是PSF的尺寸卻更大了。

圖8 常規設計的兩片鏡系統 Fig.8 Conventional designed two-lens optical system

兩種純算法解決方案都采用了與本文相同的分塊方法，復原結果見圖9、圖10。可以看出，Krishnan和Heide的兩種純算法解決方案復原結果非常模糊，信息丟失嚴重，分塊邊緣出現明顯的不自然的豎直彩色條紋。而本文的結果由于在設計系統時忽略了倍率色差，PSF更小，像質明顯優于Krishnan和Heide的解決方案，保留了更多的細節和信息，良好地抑制了彩邊效應和振鈴效應。

圖9 鮮花圖像復原結果對比 Fig.9 Comparison of restoration results of a flower image

圖10 校園圖像復原結果對比 Fig.10 Comparison of restoration results of a campus image

為了定量評價圖像質量，本文使用了兩種無參考圖像評價方法，盲/無參考圖像空間質量評價法(Blind/Referenceless Image Spatial Quality Evaluator,BRISQUE)[21]和自然圖像質量評價法(Natural Image Quality Evaluator,NIQE)[22]。BRISQUE用局部歸一化亮度系數的場景統計來量化圖片自然性的損失，NIQE估計了被測圖片與自然圖片在統計規律上的可測偏離。兩種方法的評價結果見表2和表3，分數越低表示像質越好。從數據結果來看，本文復原圖像的定量評價指標明顯優于Krishnan和Heide的解決方案。

表2 BRISQUE評價結果對比

注意，由于本文使用的是大視場光學系統，存在一定的畸變，因此不能采用峰值信噪比(PSNR)和結構相似度(SSIM)這類全參考的像質評價方法。

表3 NIQE評價結果對比

本文還將復原結果與光學結構更為復雜的庫克三片式鏡頭的成像結果進行了對比，結果見圖9、圖10。所選用的庫克鏡頭與本文設計的簡單光學系統具有相同的孔徑、焦距和視場。但相比于本文設計的大視場簡單光學系統，庫克鏡頭的鏡片數量更多，并且使用了3種不同的玻璃材料。庫克鏡頭的結構和PSF見圖11，可以看出庫克鏡頭像質非常出色，其PSF在各視場都很小，幾乎是一個點。

圖11 庫克三片式鏡頭 Fig.11 Cooke triplet lens

從視覺上看，兩種結果都很清晰，圖像自然，細節豐富。本文的結果雖然存在輕微的彩邊現象，但是具有更高的對比度，像質可以媲美庫克鏡頭。從表2、表3中的定量評價數據也可以看出，本文的結果接近于庫克鏡頭的結果。

5 結 論

本文提出了一種大視場簡單光學系統的光學-算法協同設計方法。在算法方面，針對大視場光學系統的成像特點，采用交叉通道先驗，去除圖像的倍率色差，給出了空間變化的圖像復原算法。在光學設計方面，忽略了色差的約束，專注于單一顏色通道的像質優化，使系統得到的模糊圖更有利于圖像算法復原。最終，設計了一個由兩片鏡組成的大視場簡單光學系統。實驗結果證明：配合圖像復原算法，本文所設計的大視場簡單光學系統能夠獲得高分辨率、高像質圖片，有效地保留了圖像的邊緣細節，抑制振鈴效應，成像質量明顯優于純圖像復原的解決方案，媲美庫克三片式鏡頭。