利用直觀想象結合鄰域分析解決參數問題

金聲

近年來，教育界對于培養高中生數學核心素養問題日益重視。數學學科提出 “數學抽象”、“邏輯推理”、“直觀想象”、“數學建模”、“數學運算”、“數據分析”這六大學科核心素養。高中數學學科核心素養是在學生數學學習過程中逐漸形成的，滿足學生終身學習和社會發展需求的綜合能力與品質，是高中數學學科課程目標的集中體現。

在學習函數的過程中，通過圖像的直觀想象能夠將復雜的函數“看”簡單，還能夠架起方程（不等式）通往函數的橋梁。近幾年的高考函數壓軸題中涉及求參數值、參數范圍的問題，標準解答往往能夠一針見血地將參數的臨界值找到，并證明其滿足條件，而老師和學生看解答總是不明覺厲，嘆為觀止，但親自動手做題卻只能束手無策。本文正是利用直觀想象結合鄰域分析，探尋參數的臨界值。

一、鄰域的概念與解題的價值

為研究一些關鍵點x0（比如極值點、最值點和零點等）附近的情況，可取區間（x0-δ，x0+δ）叫作x0的鄰域（不妨理解為區間，下文不再另外說明），其中δ>0可以非常小。（x0-δ，x0）和（x0，x0+δ）分別叫x0的左右鄰域。

由初等函數的連續性（即圖象連續不斷，高中階段大部分學習的函數都是簡單的初等函數的復合，在不間斷的區間內是連續的），導函數也常常是連續的，由函數在x=x0滿足性質，可以取某個δ，使得函數在區間（x0-δ，x0+δ）也具有相同的性質。這樣就把在整個函數的定義域上比較復雜的問題，轉化到了某個小區間上，為研究問題提供了更強的條件。

本文畫出函數在小鄰域處的草圖，通過直觀想象，將圖像與其對應函數的性質的分析過程呈現，實現了化抽象為具體。其中使用到一些簡單的高數知識，僅作為分析使用，不在書面解答中呈現。

四、方法綜述

這樣的直觀想象結合鄰域分析不失為一件解決與關鍵點x0附近的情況有關的問題的神兵利器，將參數問題中諱莫如深的臨界值猜測出來。但此方法通過分析，只能找到結論的充分條件或必要條件，并不能保證它是充要條件，需要對其充要性進行檢驗。

直觀想象與邏輯推理也是密不可分的，直觀想象會把看到的與以前學習的結合起來，猜想出一些可能的結論和論證思路，但這僅僅是合情推理，還要靠邏輯推理支撐，不能把直觀想象與其他核心素養割裂。

【備注：本文系福建省中小學名師名校長工作室專項課題，課題名稱：互聯網自媒體環境下高三數學解題教學的微課應用研究，課題編號：GZS180104】