金聲

近年來,教育界對于培養高中生數學核心素養問題日益重視。數學學科提出 “數學抽象”、“邏輯推理”、“直觀想象”、“數學建模”、“數學運算”、“數據分析”這六大學科核心素養。高中數學學科核心素養是在學生數學學習過程中逐漸形成的,滿足學生終身學習和社會發展需求的綜合能力與品質,是高中數學學科課程目標的集中體現。
在學習函數的過程中,通過圖像的直觀想象能夠將復雜的函數“看”簡單,還能夠架起方程(不等式)通往函數的橋梁。近幾年的高考函數壓軸題中涉及求參數值、參數范圍的問題,標準解答往往能夠一針見血地將參數的臨界值找到,并證明其滿足條件,而老師和學生看解答總是不明覺厲,嘆為觀止,但親自動手做題卻只能束手無策。本文正是利用直觀想象結合鄰域分析,探尋參數的臨界值。
一、鄰域的概念與解題的價值
為研究一些關鍵點x0(比如極值點、最值點和零點等)附近的情況,可取區間(x0-δ,x0+δ)叫作x0的鄰域(不妨理解為區間,下文不再另外說明),其中δ>0可以非常小。(x0-δ,x0)和(x0,x0+δ)分別叫x0的左右鄰域。
由初等函數的連續性(即圖象連續不斷,高中階段大部分學習的函數都是簡單的初等函數的復合,在不間斷的區間內是連續的),導函數也常常是連續的,由函數在x=x0滿足性質,可以取某個δ,使得函數在區間(x0-δ,x0+δ)也具有相同的性質。這樣就把在整個函數的定義域上比較復雜的問題,轉化到了某個小區間上,為研究問題提供了更強的條件。
本文畫出函數在小鄰域處的草圖,通過直觀想象,將圖像與其對應函數的性質的分析過程呈現,實現了化抽象為具體。其中使用到一些簡單的高數知識,僅作為分析使用,不在書面解答中呈現。
四、方法綜述
這樣的直觀想象結合鄰域分析不失為一件解決與關鍵點x0附近的情況有關的問題的神兵利器,將參數問題中諱莫如深的臨界值猜測出來。但此方法通過分析,只能找到結論的充分條件或必要條件,并不能保證它是充要條件,需要對其充要性進行檢驗。
直觀想象與邏輯推理也是密不可分的,直觀想象會把看到的與以前學習的結合起來,猜想出一些可能的結論和論證思路,但這僅僅是合情推理,還要靠邏輯推理支撐,不能把直觀想象與其他核心素養割裂。
【備注:本文系福建省中小學名師名校長工作室專項課題,課題名稱:互聯網自媒體環境下高三數學解題教學的微課應用研究,課題編號:GZS180104】